热学2ppt课件

1、1第二章第二章平衡态系统的统计分布率平衡态系统的统计分布率(Statistics in equilibrium systems)第一节第一节 无序系统无序系统 (disorder system)热学系统的无规律性，使得我们不能用确定性的物理语言去描述。热学系统的无规律性，使得我们不能用确定性的物理语言去描述。如果系统的微观运动是如果系统的微观运动是的（平衡态），它正好能用另外一套数学语言去研究。这就是的（平衡态），它正好能用另外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。概率论与数理统计。在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规律，就是平衡态系统的统计规律。在完全无序这一假设下得

2、到的关于微观无序系统的一些物理规律，就是平衡态系统的统计规律。判据：统计规律的宏观表现应符合试验结果。（例：状态方程，扩散方程）判据：统计规律的宏观表现应符合试验结果。（例：状态方程，扩散方程）2统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）有一定数值和规律的现象为统统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）有一定数值和规律的现象为统计规律。计规律。伽尔顿板实验伽尔顿板实验过程：过程： （重复）两步：（重复）两步： (1) 单个小球下落单个小球下落 (2) 多个同时下落多个同时下落结果：结果： 第一步，完全随机。第二步，有规律分布。第一步，完全随机。第二步，有规律分布。

3、如：理想气体的压强、温度、等等。如：理想气体的压强、温度、等等。3例一、醉鬼问题例一、醉鬼问题一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走，我们想知道一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走，我们想知道他走了他走了 M 步后离路灯的距离。步后离路灯的距离。基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计。基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计。设设 Xi, Yi 是醉鬼第是醉鬼第 i 步位移在步位移在 X, Y 方向上的投影，在第方向上的投影，在第 M 步后，步后，他离路灯距离他离路灯距离 R 为：为：21212MiiMiiYXR22122312121221.).(MMXXXXXXXXXXXXXi 完全随机，完

4、全随机，Xi 与与 Xj 完全独立。完全独立。0 , 0jiiXXXMiiiMYXR1222)(设醉鬼的步长为设醉鬼的步长为1。MR 221iiXY221iiXY4数学讨论数学讨论直观计算直观计算:0, 0 0iiXYR(1) 一维系统有道理一维系统有道理向右走向右走Nx 步步的几率的几率:1(), ()2xxxxNNNNNxNxxNxxP NCppCNNN发现醉鬼位置的平均值发现醉鬼位置的平均值:21( ), ()2Nl NNNNxxNNDlP llClNN(2) 推广到二维出现错误推广到二维出现错误 原因原因: 两个方向上的随机变量不独立两个方向上的随机变量不独立:221iiXY此时一个方

5、向的色散对双变量函数有重要贡献。此时一个方向的色散对双变量函数有重要贡献。举例：举例：麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布5性质讨论性质讨论统计性质。计算只能给出醉鬼平均距离。计算结果不意统计性质。计算只能给出醉鬼平均距离。计算结果不意味肯定在味肯定在 的位置上找到醉鬼，而只意味着在这的位置上找到醉鬼，而只意味着在这些位置上找到他的平均几率。这并不排除在其他位置上些位置上找到他的平均几率。这并不排除在其他位置上找到醉鬼的可能性。找到醉鬼的可能性。MR 各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动，在各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动，在 位置上找到醉鬼的数目最多。它与一个

6、醉鬼重位置上找到醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。复多次游走的结果一致。M统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入计算的不确定性。计算的不确定性。统计误差的规律：统计误差的规律：NRR/1/N 为醉鬼个数。为醉鬼个数。6例二、布朗运动例二、布朗运动(Einstein 1905, Smoluchowski 1906, Langevin 1908)基本图像：粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。基本图像：粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。牛顿定律：牛顿定律：)(622tFdtrdadtrdm对直角坐标系中任一方向

7、，记对直角坐标系中任一方向，记zyxs,)(622tFdtdsadtsdms条件：条件：, 0)(tFs22111222mBdsdsmmk Tdtdt自由能均分原理自由能均分原理a: 粒子平均直径；粒子平均直径；: 粘滞系数。粘滞系数。22211132222BdxdydzEmmmk Tdtdtdt介质粒子的轨迹介质粒子的轨迹7数学技巧：数学技巧：2222222)(22)(dtsdsdtdsdtdssdtddtsddtddtsddtsdatsFdtdsmdtsdms)(3)()(222222做平均后做平均后=kBT做平均后做平均后=0)(622tFdtdsadtsdms222222()2d sd

8、sdssdtdtdt牛顿方程：牛顿方程：2222()()32Bm dsd sk Tadtdt 方程两边同乘方程两边同乘 s8)1 (3)(6tmaBeaTktZ解微分方程得：解微分方程得：分析迟豫时间：分析迟豫时间：173156102/6 ),/(1010 ,10smasmKggmma在在1微秒以后后项可以被忽略。微秒以后后项可以被忽略。DttaTksB232aTkDB6Einstein 扩散系数扩散系数ts2和醉鬼一样和醉鬼一样令令dtsdtZ)()(2得方程得方程ZaTkdtmdZB329第二节第二节 概率论简介概率论简介一、事件及其概率一、事件及其概率随机事件：随机事件： 随机实验中，对

9、试验可能出现的事情称为事件。随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一事件的机会或可能性。概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一事件的机会或可能性。对事件对事件Ai (i=1,2,k)，测量总数为，测量总数为N, 出现事件出现事件 Ai 的次数为的次数为 N(Ai)，则事件则事件 Ai 的概率为的概率为()()limiiNN AP AN必然事件：必然事件：P(Ai)=1；不可能事件：；不可能事件：P(Ai)=0；随机事件：如果；随机事件：如果0P(Ai) 1/314二、随机变量与分布函数二、随机变量与分布函数随机变量：对

10、一系列事件，如果一些量的数值随机变量：对一系列事件，如果一些量的数值是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。,:21 ixxxx连续随机变量分立随机变量随机变量随机变量的分类：随机变量的分类：掷硬币，接电话掷硬币，接电话醉鬼走的距离醉鬼走的距离对分立随机变量对分立随机变量 xi，相应于某随机变量，相应于某随机变量 xi 的概率为的概率为 P(xi), 其概率分布为其概率分布为),(,),(),()(21 iixPxPxPxP概率分布满足归一律：概率分布满足归一律：1)(iiXP1、分立随机变量、分立随机变量15随机变量

11、的特征数值：随机变量的特征数值：iiixxPx)(（2）n 次矩次矩nnxxx)( （1）平均值）平均值平均值是连续变量平均值是连续变量一次矩一次矩0 xxxxxx二次矩二次矩iiixxxPxx22)()(对于二次矩有对于二次矩有:022)(2222222xxxxxxxxxxxx它是随机变量偏离平均值的度量，又叫色散，其平方根为均方差。它是随机变量偏离平均值的度量，又叫色散，其平方根为均方差。有意义的统计系统必须要求各次矩有限，各次矩无限的系统是复杂系统。有意义的统计系统必须要求各次矩有限，各次矩无限的系统是复杂系统。162、连续随机变量及其分布函数的概念、连续随机变量及其分布函数的概念例如醉

12、鬼问题。我们不能测量在例如醉鬼问题。我们不能测量在 距离找到醉鬼的概率，能够测量的是在随机变量区间距离找到醉鬼的概率，能够测量的是在随机变量区间 找到醉鬼的概率。找到醉鬼的概率。iiiRRRiR需要定义新的函数：分布函数需要定义新的函数：分布函数对于连续随机变量，随机变量的个数无穷大，因而在有限次数实验中得到任何变量的概率对于连续随机变量，随机变量的个数无穷大，因而在有限次数实验中得到任何变量的概率都为都为 0。分布函数为随机变量分布函数为随机变量 x 处单位区间内的概率，所以处单位区间内的概率，所以 分布函数又称为概率密分布函数又称为概率密度。度。0()( )limxP xxxdPf xxd

13、x 17以伽尔顿板实验为例以伽尔顿板实验为例设粒子总数为设粒子总数为 N，i 为小槽的序号，为小槽的序号，Ni为落入第为落入第i个个小槽的粒子数，小槽的粒子数，Ai为落入第为落入第i个小槽的粒子所占的面积个小槽的粒子所占的面积（或体积），其宽度为（或体积），其宽度为 xi，高度为，高度为hi，则，则iiiiiiixhCACNN粒子落入第粒子落入第i个小槽的概率为个小槽的概率为iiiiiiiixhxhAANNP细化细化dxx dxxhdxxhNdNdp)()(18dxdPdxxhxhxf)()()(令令分布函数分布函数连续随机变量的特征数值连续随机变量的特征数值平均值：平均值：dxxxfx)(对

14、力学量对力学量G=G(x)dxxfxGG)()(归一律：归一律：1)(dxxf均方差：均方差：dxxfxxxxxx)( ,22222例：平均能量例：平均能量dxxfx)()(简单系统简单系统:lim0N复杂系统复杂系统:limN 19三、一些常见的分布三、一些常见的分布所以出现宏观态所以出现宏观态 n1, n2 的概率为的概率为1、二项式分布、二项式分布 （掷钱币，分配小球）（掷钱币，分配小球）体积为体积为 V 的容器由隔板分为左右两部分，左边有的容器由隔板分为左右两部分，左边有 n1 个粒子，右边有个粒子，右边有n2个粒子，个粒子，n1+n2=N。微观概率：粒子微观可分。若将粒子编号以区分哪

15、微观概率：粒子微观可分。若将粒子编号以区分哪 n1 个在左边，则共有个在左边，则共有 2N 中可能分布。记一个粒中可能分布。记一个粒子在左右两边的概率分别为子在左右两边的概率分别为 p、q, 则则 n1 个特定粒子在左边，个特定粒子在左边，n2个特定粒子在右边的概率为：个特定粒子在右边的概率为：21nnqp宏观分布：粒子宏观宏观分布：粒子宏观“不可分不可分”（没有物理意义）。共有（没有物理意义）。共有 N+1 种宏观分布方式：种宏观分布方式：N, 0, N-1, 1, , 1, N-1, 0, N。 从从 N 中取出中取出 n1 个粒子的方式为个粒子的方式为)!( !111nNnNnNC111

16、)(1nNnnNqpCnP独立事件独立事件不相容事件不相容事件20性质：性质：归一归一1)()!( !)(011011111NNnnNnNnNqpqpnNnNnP平均值平均值pNqpppnPppnnPnNNnNnNN)()()(0011111111221111002212211( )( )() ()(1)NNNNNnnNnP n nppP npppqppppppN pqpNp N NnpNp NnNpqp涨落：涨落：NpqNpqnnnnn ,)()(2121211212相对涨落相对涨落:21121)(1)(pqNnn相对涨落：分子散射，乳光现相对涨落：分子散射，乳光现象象21二项式分布的两个极

17、限形式二项式分布的两个极限形式)(N当当 时，趋于高斯分布时，趋于高斯分布qp 222)(exp21)(axxfNpqNpnanx , ,11当当 时，趋于泊松分布时，趋于泊松分布NNpp| , 0ennPn!)(111在空间或时间上的等几率事件。接电话，放射性蜕变，反应碰撞几率在空间或时间上的等几率事件。接电话，放射性蜕变，反应碰撞几率.由于多种因素造成的完全随机的不确定性。身高分布，实验误差，由于多种因素造成的完全随机的不确定性。身高分布，实验误差，.222、高斯分布、高斯分布一维无规行走（醉鬼）一维无规行走（醉鬼）质点自原点出发在质点自原点出发在 沿沿X方向无规行走，步长不限，等概率，且

18、后一步与前一步无关，经方向无规行走，步长不限，等概率，且后一步与前一步无关，经 N 步后，质步后，质点出现在位置点出现在位置x附近附近dx元内的概率为元内的概率为( )( )dP xf x dx意义：意义： 做多次无规行走试验，走做多次无规行走试验，走N步后，质点落在步后，质点落在dx内的次数占总实验次数的比率；内的次数占总实验次数的比率； 大量质大量质点同时从原点出发作无规行走，走点同时从原点出发作无规行走，走N步后，落在步后，落在dx内的质点数占总质点数的比率。内的质点数占总质点数的比率。分布函数分布函数 f(x) 的确定的确定各向同性各向同性醉鬼向哪个方向行走是随机的。醉鬼向哪个方向行走

19、是随机的。2( )()f xf x23分布函数延径向指数减小分布函数延径向指数减小 22ln()()f xx 2( )xf xCe解方程得解方程得如果起始位置不在如果起始位置不在 x=0处，而在处，而在 x=m m处，则分布函数为：处，则分布函数为：2()( )xf xCemC由归一化条件确定：由归一化条件确定：2()1, xCedxCm高斯积分高斯积分222222222()000000/20000, 42xxyxyrxgedxedxedyedxdydredrgedx 24平均值：平均值：22222222()2222222211() 2211 + 22xrrrxx edxredrr edred

20、rmmmm奇对程奇对程 与均方差有关：与均方差有关：22222()22()()11, 22xxxxedxx edxmmm2121( )2xf xem高斯分布高斯分布,232)(4022dxexgx25高斯分布中高斯分布中 表示实验数据的可信程度。实验数据在表示实验数据的可信程度。实验数据在 m,m m,m 的几率为的几率为mmdxxfP)( )68%, (2 )95.4%, (3 )99.7%, (4 )99.9936%, (5 )99.999994%PPPPP令令rxm高斯分布变为正态分布：高斯分布变为正态分布：2121( )2xf xe26醉鬼的径向分布函数醉鬼的径向分布函数 （灯柱为原点

21、）灯柱为原点）2222222222001ZG( )( , )2rrrrf rdr ede2222222221( , )( ) ( )212xyrf x y dxdyg x g yedxdyerd dr单方向的概率单方向的概率:对方向积分得到径向分布函数对方向积分得到径向分布函数2121( )2xg xemX,Y 方向上的联合概率。利用方向独立假设：方向上的联合概率。利用方向独立假设：27第三节第三节 麦克斯韦麦克斯韦 (Maxwell) 速度分布和速率分布速度分布和速率分布 （理想气体）（理想气体）一、麦克斯韦速度分布一、麦克斯韦速度分布 (Maxwell, 1859)基本假设：气体分子通过碰

22、撞达到并维持平衡态。此时分子的位置分布和速度分布都不随时间变。基本假设：气体分子通过碰撞达到并维持平衡态。此时分子的位置分布和速度分布都不随时间变。位置分布为平均分布，速度分布为高斯分布。位置分布为平均分布，速度分布为高斯分布。分布函数的确定分布函数的确定各向同性（旋转不变性）各向同性（旋转不变性）速度分布只与速率有关。速度分布只与速率有关。222(,)()xyzxyzf v v vf vvv分布函数延径向指数减小分布函数延径向指数减小 数学推论（史寒朵，雷进，等数学推论（史寒朵，雷进，等) 22222222ln()ln()ln()ln()()yxzxyzf vf vf vf vvvvv 方向

23、独立方向独立 222222()() () ()xyzxyzf vvvg vg vg v28222222()() () ()xyzxyzf vvvg vg vg v两边取对数两边取对数222222ln()ln ()ln ()ln ()xyzxyzf vvvg vg vg v222222222222222ln()ln()ln()ln ()xyzxyzxyzxxxxf vvvf vvvf vvvvg vvvvvv方向独立方向独立同理同理2222222ln()ln ()ln ()ln ()xyzxxxxxxf vvvg vg vg vvvvv由于由于 是相互独立的变量，上式的值只能是常数。再考虑到实际

24、物理情形下，粒子的概是相互独立的变量，上式的值只能是常数。再考虑到实际物理情形下，粒子的概率密度应沿径向减少，故此值为负。率密度应沿径向减少，故此值为负。222,xyzv v v22222222ln ()ln()ln ()ln ()()yxzxyzg vf vg vg vvvvv 29zyxievguvii, ,21)(221对于各向同性的速度分布对于各向同性的速度分布0ivuTkEmTkmEvmmvBiBiii21 ,2212,222动动 TkmvTkmvgBiBi2exp2)(2能量安自由度均分能量安自由度均分应用推导高斯分布的过程应用推导高斯分布的过程确定参数：确定参数：30(1) 有极

25、大值。随有极大值。随 增大，增大， 减小。减小。 )0( vfMv)(vfM性质：性质：(2) 随随T增大，增大， 变化渐缓。变化渐缓。)(vfM(3) 随随m增大，增大， 变化加剧。变化加剧。)(vfM带入上式并考虑分子运动在三个方向上互相独立带入上式并考虑分子运动在三个方向上互相独立)(22/32222)()()(),(zyxBvvvTkmBzyxzyxeTkmvgvgvgvvvf31速度分布的极坐标表示速度分布的极坐标表示ddvdvvfdvdvdvvvvfvdPzyxzyxsin),(),()(2 TkmvTkmTkvvvmTkmvfBBBzyxB2exp22)(exp2),(22/32

26、222/332二、麦克斯韦速率分布二、麦克斯韦速率分布速率分布：只管大小不管方向。速率分布：只管大小不管方向。dvvfNdN)(对速度分布在方向上用积分加和对速度分布在方向上用积分加和TkmvBTkmvBBBeTkmvdveTkmdvf22/320222/3202224sin2)(性质性质33数学工具：高斯积分数学工具：高斯积分,2002dxegx,232)(4022dxexgx,252)(83044dxexgx,21012dxxegx,2221033dxexgx可以得到速率分布满足归一性可以得到速率分布满足归一性23/23/2223/200( )4412242Bmvk TBBBmmf v d

27、vv edvk Tk Tmk T34最概然速率：最概然速率：f(v) 的极大值。的极大值。 0)(dvvdf2/12mTkvBp平均速率：平均速率：2/10232/38242mTkdvevTkmvBTkmvBBmTkdvevTkmvBTkmvBB3240242/322方均速率：方均速率：414. 1:596. 1:732. 12:/8:3:prmsvvv方均根速率：方均根速率：2/13mTkvBrms35实验检验实验检验 （O. Stern, 1920)银分子走过距离银分子走过距离 所需时间所需时间 与银分子的与银分子的速率速率 有关：有关：rRtvvrRt/ )(以以 表示弧表示弧PP的长度

28、，则速率为的长度，则速率为 的银分子的落点的银分子的落点P离开离开P点的弧长为点的弧长为:dvvrRRtRRd)(或者：或者：drRRv)(36三、应用三、应用1、逃逸速率、逃逸速率计算在计算在 0 0C 时时 N2, O2, H2 的气体分子均方根速率。的气体分子均方根速率。MN2=28 g/mol, MO2=32 g/mol, MH2=2 g/mol。MRTMTkNmTkvBAB3332代入代入 ,/1845)( ,/461)( ,/493)(222smHvsmOvsmNvrmsrmsrms与粒子的逃逸速度相比。与粒子的逃逸速度相比。逃逸速度：分子动能等于星球引力势能逃逸速度：分子动能等于

29、星球引力势能222 ,2 21gRvRGMgRGMvRmGMmveee22222, 22.0, 23.5,5.8833eNOHrmsBgmRgM Rvkkkkvk TRTm37用用 做速度单位，引出无量纲速率：做速度单位，引出无量纲速率：2/pBvk T m/puv v223/2222( )( )4 24 ( )Bmvk TBumf u duf v dvvedvk Tf uu e计算无量纲速率大于计算无量纲速率大于 k 的气体分的气体分子比率：子比率：3322eeprmsgM RvvkkvvRTm()( )kN ukf u duN38234027, /10NkN N例如在地球上：例如在地球上：

30、以太阳系年龄以太阳系年龄60亿年计算，可以把临界无量纲逃逸速率定为亿年计算，可以把临界无量纲逃逸速率定为10，因而红点的气体已经基，因而红点的气体已经基本逃离星球。本逃离星球。地球大气层中的氮分子逃出地球吸引的几率小地球大气层中的氮分子逃出地球吸引的几率小于于10-340/s，即，即10-333/年。在大于年。在大于10333年后氮年后氮气消失。气消失。在月球上：在月球上：2155.2, /10NkN N月球中的氮分子逃出月球吸引的几率大于月球中的氮分子逃出月球吸引的几率大于10-15/s，即，即10-8/年。在小于年。在小于108年（一亿年）后氮年（一亿年）后氮气消失。气消失。392、泻流速

31、率、泻流速率泻流：对面积为泻流：对面积为dS的小孔，当的小孔，当dS的线度小于粒子的平均自由程时，粒子束流从小孔的线度小于粒子的平均自由程时，粒子束流从小孔dS射出的射出的现象称为泻流，用现象称为泻流，用 表示。表示。分析：对于速度处于分析：对于速度处于 的粒子，在的粒子，在 时间内碰到器壁时间内碰到器壁 上的粒子数为上的粒子数为dtdSvdvdvdvvndtdSdxzyx)(vdvvdtdS其中其中 为速度为为速度为 的数密度：的数密度：)(vnv),()(zyxvvvnfvnzyxxzyxdvdvdtdSdvvvvvnfdtdSd),(40vnmTknmTkTkmndvevTkmnBBBx

32、TkmvxBBx41841222/12/122/1221/22()2xBmvk TxBmf vek T00,)(),(dtdSdvvfvndtdSdvdvdvvvvfvndtdSxxxxzyzyvvxxzy在标准情况下：在标准情况下：19323213 10, 300/ , 2 10ncmvm scm s ,21012dxxegx41zyxxzyxdvdvdtdSdvvvvvnfdtdSdvdN),()(计算泻流粒子的速率分布：计算泻流粒子的速率分布：换成球坐标：换成球坐标：dvddvdvdvdvzyxsin2又考虑到：又考虑到：2( )4(,), cosxyzxf vv f v v vvv1(

33、 )( )cossin, 44ndN vvf vd d dvdtdSNdtdSnvdtdS dddvvfvvNvdNsincos)()(对角度积分：对角度积分：（正方向）（正方向）dvvfvvNvdN)()(1/21/223898/8BBBBk Tk Tk Tk Tvvvvmmmm泻流3224Bk Tvvvvm泻流泻流出去的粒子平均能量比在容器中的粒子平均能泻流出去的粒子平均能量比在容器中的粒子平均能量高。量高。42122121mmnnvn41不同质量的物质泻流量不一样。经过泻流质量小的物质得到富集。不同质量的物质泻流量不一样。经过泻流质量小的物质得到富集。例：例：235U, 238U 分离。

34、气体物质：分离。气体物质：UF6。天然丰度：。天然丰度：238U: 99.3%, 235U: 0.7%。一次泻流：一次泻流：7 . 03 .99 ,3523496192386192351221nnmm22111299.297141.250.703nmnm要想富集到要想富集到 99% 235U:2232 9913523497 . 03 .992/KK43第四节第四节 近独立子系统的最概然分布近独立子系统的最概然分布 (Maxwell-Boltzmann distribution)统计物理的基础。所有物理系统的统计统计物理的基础。所有物理系统的统计规律都以它为出发点。规律都以它为出发点。一、基本概

35、念一、基本概念相空间相空间微观粒子运动状态的经典描述。广义坐标微观粒子运动状态的经典描述。广义坐标 广义动量广义动量 哈密顿量哈密顿量, q, p),.,.,(2121ddpppqqqHH 运动方程运动方程,iipHq,iiqHp,221 .,.22mpmvHgexxxxpHv, .,.mgzHge mgzHfz粒子的运动规律满足牛顿定律粒子的运动规律满足牛顿定律44广义坐标和广义动量构成的广义坐标和广义动量构成的 2d 维直角坐标空间称为相空间。（例：质点的相空维直角坐标空间称为相空间。（例：质点的相空间维数为间维数为6）一个粒子的状态可以用向空间的一个点代表。粒子运动时，其代表）一个粒子的

36、状态可以用向空间的一个点代表。粒子运动时，其代表点在相空间中的轨道称为相轨道。相轨道在给定初始条件后由牛顿力学决定。反点在相空间中的轨道称为相轨道。相轨道在给定初始条件后由牛顿力学决定。反之，相轨道确定后，粒子的哈密顿量就确定了。之，相轨道确定后，粒子的哈密顿量就确定了。对于多粒子系统，确定这个系统的状态需要知道所有粒子在相空间的位置和轨道。对于多粒子系统，确定这个系统的状态需要知道所有粒子在相空间的位置和轨道。这一般是不可能的，也是没有必要的。这一般是不可能的，也是没有必要的。45当粒子在相空间中的分布确定时，系统的统计性质就确定了，进而系统的所有宏观当粒子在相空间中的分布确定时，系统的统计

37、性质就确定了，进而系统的所有宏观性质也随之确定。性质也随之确定。子空间子空间为了确定系统的宏观统计性质，将相空间划分为若干个子空间。知道分子在这些子空间的分布，为了确定系统的宏观统计性质，将相空间划分为若干个子空间。知道分子在这些子空间的分布，就知道了系统在这个精度下的统计性质。例：二项分布里子空间个数为就知道了系统在这个精度下的统计性质。例：二项分布里子空间个数为2。为了使用微积分，将子空间的体积减小到适合于进行微分运算。为了使用微积分，将子空间的体积减小到适合于进行微分运算。统计物理的处理方法：确定粒子在相空间中的统计分布。统计物理的处理方法：确定粒子在相空间中的统计分布。46微观状态。微

38、观状态。 以二项分布中的小球方法为例。小球微观可分，以二项分布中的小球方法为例。小球微观可分，N 个小球有个小球有 2N 种排列方法。我们说种排列方法。我们说这个系统的微观状态数有这个系统的微观状态数有 2N 个。个。宏观状态。将任意一对小球调换一下位置，系统的宏观状态不发生变化。从这个意义上说，小球是宏观状态。将任意一对小球调换一下位置，系统的宏观状态不发生变化。从这个意义上说，小球是宏观不可分的。系统的宏观状态数为宏观不可分的。系统的宏观状态数为 N+1 个。个。每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计性质。性质。在小球的例子

39、中，系统处在宏观在小球的例子中，系统处在宏观 n1,n2 的微观状态数为：的微观状态数为：NnnnnNnn212121 ,!),(47对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率都相等。对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率都相等。 Boltzmann如果平衡态下孤立系统的相空间体积为如果平衡态下孤立系统的相空间体积为 ，则粒子在子空间，则粒子在子空间 的概率均为：的概率均为：lklPll.1 ,/)(1)(1kllP二、等概率原理二、等概率原理 （统计物理的最基本假设）（统计物理的最基本假设）数学表达：数学表达：48理想气体的分布理想气体的分布 对于理想气体，由于分

40、子间无相互作用力，一个分子在对于理想气体，由于分子间无相互作用力，一个分子在 一子空间的存在不会影一子空间的存在不会影响其他粒子占据各个子空间的概率响其他粒子占据各个子空间的概率 （独立事件）。（独立事件）。微观状态微观状态N 个分子在个分子在 k 个子空间的总微观状态数为个子空间的总微观状态数为 kN。(两个子空间两个子空间:二相分布二相分布2N)宏观状态宏观状态1l 2345. . .kN13a 22a 30a 44a 51a kaK-1 个隔板与个隔板与N个粒子混合的组合数，就是宏观状态数。个粒子混合的组合数，就是宏观状态数。宏观状态数为：宏观状态数为：(1)!(1)!aNkNk 49K

41、lalakaalkPPPPP121)()(.)()()(21从宏观看，对于一个分布从宏观看，对于一个分布 al，任意一对粒子交换不会改变系统的宏观性质。这种交换有，任意一对粒子交换不会改变系统的宏观性质。这种交换有 种，种，!.!21kaaaN因此出现宏观状态因此出现宏观状态al 的概率为：的概率为：klalklllNlPaNPaP11)(!)()(k=2回到二项分布。回到二项分布。系统出现微观状态分布：系统出现微观状态分布：a1, a2, . ak 的概率为：的概率为：等概率原理等概率原理+独立事件独立事件50三、最概然分布（不是假设，可以证明）三、最概然分布（不是假设，可以证明）论断论断:

42、 在平衡状态下，如果分子数目足够大，宏观系统的状态可以用最大概然分布代表，其他在平衡状态下，如果分子数目足够大，宏观系统的状态可以用最大概然分布代表，其他分布的情况可以忽略不计。分布的情况可以忽略不计。计算理想气体的最大概然分布计算理想气体的最大概然分布0)(ln 0)(lNlNaPaP)(ln!ln!ln)(!ln)(ln111llkllklalklllNPaaNPaNaPlN个粒子个粒子,在在 k个子空间中的宏观状态数为个子空间中的宏观状态数为:但他们出现的几率是不同的但他们出现的几率是不同的.(1)!(1)!aNkNk 51Stirling 公式公式11ln!ln1ln2lnln ln(

43、ln1)1mmmmxdxxxxmm更精确的更精确的Stirling公式：公式：)2ln(21) 1(ln!lnmmmm当当m足够大时，第二项相比第一项可以忽略。足够大时，第二项相比第一项可以忽略。52111ln( )ln!ln!ln()(ln1)(ln1)ln()kNlllllkkllllllPaNaaPNNaaaP应用应用Stirling公式：公式：ln!(ln1)mmmklllllNaPaaP10)(/ln)(ln()/lllaP 11klla显然不对！显然不对！53la11; kklllllNaEE a粒子数守恒：能量守恒：用拉格朗日用拉格朗日 (Lagerangien) 乘子法：乘子法

44、：1( )ln( )klNlllllLaPaaE a0)(ln)(1lklllllaEPaaL解得最大概然分布：解得最大概然分布：)(*lElPeal/)(llP其中其中原因：原因： 不是独立变量，分布必须满足守恒律不是独立变量，分布必须满足守恒律粒子数守恒，能量守恒粒子数守恒，能量守恒54令令 ：lnlElle*Maxwell-Boltzmann 分布分布lElllEllleEeN ,几点说明：几点说明：（1） 只给出粒子的极限分布，需要证明只给出粒子的极限分布，需要证明MB分布是所有分布的最大概然分布，分布是所有分布的最大概然分布，即即0)(ln2lNaP0)(lnlNaPklklllll

45、lklllkllllNaaaPaPaaaNNaP1121120)()(/ln)() 1(ln) 1(ln)(ln0la55（2）在推导中对于所有的）在推导中对于所有的 都用到了都用到了Stirling公式，这要求所有的公式，这要求所有的 都远大于都远大于1。这个条件在。这个条件在实际中往往并不满足。严格意义的推导需要系综理论，在统计物理课程中要详细讨论。实际中往往并不满足。严格意义的推导需要系综理论，在统计物理课程中要详细讨论。lala（3）在讨论中假设系统只含有一种粒子，即系统是单元系。这个限制不是原则性的，可以把理论）在讨论中假设系统只含有一种粒子，即系统是单元系。这个限制不是原则性的，可

46、以把理论推广到含有多个组元的情形。推广到含有多个组元的情形。（5）当系统粒子数充分大时，）当系统粒子数充分大时，MB分布就是系统在平衡态时所取得分布形式。分布就是系统在平衡态时所取得分布形式。可以证明：当可以证明：当 N 充分大时，所有对最大概然分布的偏离的分布出现几率都趋于充分大时，所有对最大概然分布的偏离的分布出现几率都趋于0。（4 4）守恒量问题。动量守恒，角动量守恒。）守恒量问题。动量守恒，角动量守恒。56估计一个对估计一个对 al* 分布的小的偏离分布的小的偏离:)()(ln21)(ln)(ln)(ln3*2*llNlNlNllNaOaPaPaPaaP=0kllllkllllllll

47、NlNllNaaaaaaPaaPaPaaP1*2*1*2*2*2121)(ln21)(21)()(ln对于宏观系统对于宏观系统 ，设对最大概然分布的偏离为，设对最大概然分布的偏离为2310N9*10llaa5181*181*291*2*101010)10(Naaaaakllkllkllll57偏离出现的相对几率：偏离出现的相对几率：021exp)()(50000*21*eaaaaPaaPlkllllNllN可以认为：对于平衡态系统，当系统的粒子数很大时，最大概然分布的出现几率为可以认为：对于平衡态系统，当系统的粒子数很大时，最大概然分布的出现几率为1，其他分，其他分布的出现几率为布的出现几率为

48、0。(5) 当系统粒子数不太大时，粒子数分布可能明显偏离当系统粒子数不太大时，粒子数分布可能明显偏离MB分布，这种情况被称为涨落。分布，这种情况被称为涨落。MB分布分布在几何空间为均匀分布，因而张罗表现为密度涨落。大气中的密度涨落效应是是引起光散射的主在几何空间为均匀分布，因而张罗表现为密度涨落。大气中的密度涨落效应是是引起光散射的主要原因。要原因。一束光入射气体时，一部分光受到介质的作用脱离原方向，使原方向上的光强减弱，此现象称为一束光入射气体时，一部分光受到介质的作用脱离原方向，使原方向上的光强减弱，此现象称为光的散射。分子热运动导致的密度涨落首先会引起空气折射率的改变，其次会引起空气的电

49、极化光的散射。分子热运动导致的密度涨落首先会引起空气折射率的改变，其次会引起空气的电极化强度矢量发生变化，两者都会在入射方向以外产生次波，形成散射光。纯粹因分子热运动导致密强度矢量发生变化，两者都会在入射方向以外产生次波，形成散射光。纯粹因分子热运动导致密度涨落而引起的散射称为分子散射。度涨落而引起的散射称为分子散射。58例题例题在标准状况下大气的数密度为在标准状况下大气的数密度为 ，计算以一个光波长为边长的立方体内，系统偏离，计算以一个光波长为边长的立方体内，系统偏离MB分布分布0.1%的几率。的几率。3250107 . 2mn解：解：紫光：紫光：-20360400, 6.4 10, 1.7

50、 10 ,nmVmNV n7 . 110)10(61*231*2*Naaaakllkllll%52)()(85. 0*eaPaaPlNllN红光：红光：-19370740, 3.7 10, 1.0 10 ,nmVmNV n1010)10(61*231*2*Naaaakllkllll%1 . 2)()(5*eaPaaPlNllN瑞利瑞利(Rayleigh)散射定律：散射定律： ，这解释了为什么晴空明亮为蔚蓝色；旭日东升或夕，这解释了为什么晴空明亮为蔚蓝色；旭日东升或夕阳西下时的朝霞和晚霞。阳西下时的朝霞和晚霞。4/sin）（sI59讨论讨论由于系统的微观状态是对分子是等概率的，所以宏观最大概然分

51、布是微观状态数最多的分布。即：由于系统的微观状态是对分子是等概率的，所以宏观最大概然分布是微观状态数最多的分布。即：系统在平衡态时微观状态数最多。系统在平衡态时微观状态数最多。 （最无序）（最无序）定义态函数熵：定义态函数熵：)(lnlNBaPkS 上面的分析说明系统在平衡态时熵值最大。从非平衡态（非最大概然上面的分析说明系统在平衡态时熵值最大。从非平衡态（非最大概然分布）到平衡态的过程是自发的，在此过程中系统熵值一定增加。这分布）到平衡态的过程是自发的，在此过程中系统熵值一定增加。这就是热力学第二定律的微观图像。就是热力学第二定律的微观图像。在等分相空间的情况下有在等分相空间的情况下有 :l

52、n0BkSS0ln(/), BlSk Nconst ( )()(/)NNllPaP 令令:60四、从四、从M-B 最大概然分布到麦克斯韦速度分布最大概然分布到麦克斯韦速度分布M-B 分布：分布：lEllea*定义定义配分函数配分函数kllEleVZ1),(lEklklllElleEEeN11 ,由于由于lEkllElElllleZeeNa11*NZeeeNZkllEkllEllln ,1161理想气体只有动能。单个粒子动能为：理想气体只有动能。单个粒子动能为：222() / 2xyzpppm计算配分函数：计算配分函数：2/3222)/2(.),(222mVdpedpedpedxdydzdpdp

53、dxdydzdpeVZzmpympVxmpzyxEzyxl NEeeEeZZZZZllEllElllElll1lnlnZNEln,2002dxegx上下同乘上下同乘e62NmVNZNE232lnln2/3利用理想气体状态方程与压强公式：利用理想气体状态方程与压强公式：2233ABBNNkpVRTN k TNETENTmkTkBB2/3)V(2ln ,12/32mVZ)( ,2lnln2/31VNnmnNZ63带入带入 M-B 分布。位置处于分布。位置处于 x, y, z, 动量处于动量处于px, py, pz 的粒子数为的粒子数为2223/2()212lxyzBExyzmvvvk TxyzBN

54、eex y z pppNex y z pppVmk T 2222223/2()23/2()211/2(,)2xyzBxyzBmvvvk TxyzVBmvvvk TxyzxyzxyzBdNNedp dp dpdxdydzVmk Tmedv dv dvf v v v dv dv dvk T求速度分布求速度分布,对物理几何积分对物理几何积分:64)(22/32222),(zyxBvvvTkmBzyxeTkmvvvf麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布几何空间分布：几何空间分布：麦克斯韦速度分布、麦克斯韦速率、粒子的空间均匀分布都是理想气体的最大概然分布。它麦克斯韦速度分布、麦克斯韦速率、粒子的空间均匀分

55、布都是理想气体的最大概然分布。它们在系统处于平衡态时才成立。们在系统处于平衡态时才成立。2222223/2()23/2()21/22xyzBxyzBmvvvk TxyzpBmvvvk TxyzpBdxdydzdNNedp dp dpVmk Tdxdydzmdxdydzedv dv dvVk TV65第五节第五节 波尔兹曼分布的一般形式波尔兹曼分布的一般形式一、重力场中微粒按高度的等温分布律一、重力场中微粒按高度的等温分布律高度高度z附近、厚度为附近、厚度为dz、面积为、面积为dS的方框中的气体，平衡时的方框中的气体，平衡时dzdSmgndpdSTnkpBTdnkdpB对于理想气体：对于理想气体

56、：等温条件等温条件以上推导的是理想气体系统在无外力场情况下的平衡态的分布。推广：理想气体在有外力场情况下以上推导的是理想气体系统在无外力场情况下的平衡态的分布。推广：理想气体在有外力场情况下的平衡态分布。的平衡态分布。代入上式代入上式nmgdzTdnkBdzTkmgndnB)/(/TBkmgzenn0解得：解得：TBkmgzepp0代入理想气体方程：代入理想气体方程： 等温气压公式等温气压公式TknpB0066小框中粒子的数目为小框中粒子的数目为dzdSenndzdSzdNTBkmgz0)(底面积为底面积为dS的柱体中的微粒总数为的柱体中的微粒总数为dSmgTkndSdzenzdNNBTBkm

57、gz000)(dzeTkmgdzzfNzdNTkmgzBB)()(重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布律为律为TkmgzBBeTkmgzf)(在由外力场作用下粒子的空间分布不是均匀分布。在由外力场作用下粒子的空间分布不是均匀分布。从等温气压公式到粒子空间分布从等温气压公式到粒子空间分布67二、玻尔兹曼密度分布律二、玻尔兹曼密度分布律根据重力场中微粒按高度的分布中的根据重力场中微粒按高度的分布中的 为重力势能，玻尔兹曼将之推广到任意势能函数，为重力势能，玻尔兹曼将之推广到任意势能函数，得到得到mgzTBkrUenrnrnB)(0)()(此即此即 波尔兹曼密度分布律。在这种情况下，粒子

58、的空间分布不再是均匀分布，而是与势函数形式有波尔兹曼密度分布律。在这种情况下，粒子的空间分布不再是均匀分布，而是与势函数形式有关。关。例如：回转体中的微粒例如：回转体中的微粒2221)(rmrU离TBkrmenrn2220)(TBkrmeprp2220)(龙卷风、台风、飓风等有眼，呈漏斗状。龙卷风、台风、飓风等有眼，呈漏斗状。不同质量的分子在不同质量的分子在 r 上的分布不同，可上的分布不同，可以用于物质分离。以用于物质分离。68三、麦克斯韦三、麦克斯韦玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律Maxwell分布是速度空间的分布。分布指数中分布是速度空间的分布。分布指数中kmv221即即TBkkBevfTk

59、mM23)()(2Boltzmann分布是位置空间的分布。分布指数中分布是位置空间的分布。分布指数中prU)(即即TBkpeCrfB0)(特点：动能由动量空间决定，势能由位置空间决定。特点：动能由动量空间决定，势能由位置空间决定。一方面，粒子的动能与其所在位置无关，而只与粒子的速度有关；另一方面，所有势能都与只与一方面，粒子的动能与其所在位置无关，而只与粒子的速度有关；另一方面，所有势能都与只与粒子所处位置有关，而与粒子的动能无关；两种分布独立。粒子所处位置有关，而与粒子的动能无关；两种分布独立。（只适用于理想气体）（只适用于理想气体）69气体分子取那个速度与它的位置无关（独立事件），因而气体

60、在有势场中的分布应为气体分子取那个速度与它的位置无关（独立事件），因而气体在有势场中的分布应为TBkpkCerfvfrvfBMMB)()(),(记记 为包括各种形式的动能和各种形式的势能的总能量，即有麦克斯韦为包括各种形式的动能和各种形式的势能的总能量，即有麦克斯韦玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布律律TBkCefMB)(此分布适用于任意经典热力学系统。此分布适用于任意经典热力学系统。 pk70第六节第六节 能量均分定理与热容量能量均分定理与热容量一、分子的自由度一、分子的自由度自由度：决定物体位置状态所需要的独立坐标。自由度：决定物体位置状态所需要的独立坐标。分子有一定的构形，所以有一定的自由度。分子