第一节集合与运算

1、第一节 集合与运算第一章 集合主讲：胡努春1. 集合的基本概念及运算:bxaxxbaba但或差：不一定成立abba)(abcbaba注：asacs余：（其中s为全集）,简记为ac2.集簇的交和并:bxaxxba或,:axxa使为指标为指标集，|aa或集簇：na特别当 时，称集簇为集列，记为n:bxaxxba且,:axxa有集簇的交例 注：在本书中我们未把0包含在n内,+不在中不在中,11:11nnxxannn设0 , 11nna) 1 , 2(1nna( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 例 11nafnafee则记设,)(:,:axfexerefaf ( a-1/n a)

2、,(),11nnaa)(11nafne),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a例 则记设,)(:,:axfexerefaf11nafnafee( a a+1/n),(11nna)(11nafne),),(11nnaa,: ),(bbaababa,2, 1,:),(211niaxxxxaiinii,2, 1,:),(211niaxxxxaiinnii思考：如何定义任意多个集合的3.集合的运算性质ccaa)(ccaa)(de morgan公式注：通过取余集，使a与ac，与互相转换,:naxnnnx使是一个集合序列设,21naaa4.上、下极限集() : :limsu

3、plimnnnnnnnaax xaxaxa或属于无限多个集合存在无限多个 ，使1nnnnanb例：设a2n=0,1a2n+1=1,2;则上极限集为0,2下极限集() : :limliminfnnnnnnaaxxaxnxa或除去有限个集外，有当 充分大时，有1nnnna例：设a2n=0,1a2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为111limlimnnnnnnnnaaaa1,:nnnnnaaxnnnx使() :limsuplimnnnnnaax xa或属于无限多个集合,:naxnnnx有nbnaaaannnnlimlim极限集aannlimnana;),(1为单调减少则称满足若集列nnn

4、nannaaa;),(1为单调增加则称满足若集列nnnnannaaa.)21limnnnnnaaa 单调减少，则若;,) 11limnnnnnaaa则单调增加若1,:nnnnnaaxnnnx使)(suplimlimnnnnaa1,:nnnnnaaxnnnx有)(inflimlimnnnnaa111nnnnnnnnnnnaaaa当an为单调增加集列时11nnnnnnnnnnaaaa1,:nnnnnaaxnnnx使)(suplimlimnnnnaa1,:nnnnnaaxnnnx有)(inflimlimnnnnaa 11nnnnnnnnnnaaaa当an为单调减小集列时111nnnnnnnnnnna

5、aaa则设,),(),11 ,11(212nnnnannann例 ),(limnna1,:nnnnnaaxnnnx使)(suplimlimnnnnaa1,:nnnnnaaxnnnx有)(inflimlimnnnnaa( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n1 , 1(limnna则设,1 ,4 ,1121112nnaannnnnn例 1 ,0(limnna0, 4)limnna -1 0 1 2 3 41,:nnnnnaaxnnnx有)(inflimlimnnnnaa1,:nnnnnaaxnnnx使)(suplimlimnnnnaa例111| )()(:|)()(lim:knnnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfnnnxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:axxa有,:axxa使例111)(:)(:)()(limknnnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfnnnaxf111)(, 1,)(, 1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfnnn