圆的专题讲义

1、与圆有关的证明及计算1已知，如图，直线mn交o于a，b两点，ac是直径，ad平分cam交o于d，过d作demn于e（1）求证：de是o的切线；（2）若de=6cm，ae=3cm，求o的半径2如图，在abc，ab=ac，以ab为直径的o分别交ac、bc于点d、e，点f在ac的延长线上，且cbf=cab（1）求证：直线bf是o的切线；（2）若ab=5，sincbf=，求bc和bf的长3如图，四边形abcd内接于o，bd是o的直径，aecd，垂足为e，da平分bde（1）求证：ae是o的切线；（2）若dbc=30°，de=1cm，求bd的长4如图，已知abc内接于o，ac是o的直径，d是的

2、中点，过点d作直线bc的垂线，分别交cb、ca的延长线e、f（1）求证：ef是o的切线；（2）若ef=8，ec=6，求o的半径5如图，ab是o的直径，弦cdab与点e，点p在o上，1=c，（1）求证：cbpd；（2）若bc=3，sinp=，求o的直径6如图，直线ef交o于a、b两点，ac是o直径，de是o的切线，且deef，垂足为e（1）求证：ad平分cae；（2）若de=4cm，ae=2cm，求o的半径7如图，rtabc中，abc=90°，以ab为直径作半圆o交ac与点d，点e为bc的中点，连接de（1）求证：de是半圆o的切线（2）若bac=30°，de=2，求ad的长

3、8如图，在rtabc中，acb=90°，以ac为直径作o交ab于点d点，连接cd（1）求证：a=bcd；（2）若m为线段bc上一点，试问当点m在什么位置时，直线dm与o相切？并说明理由9如图，已知ab是o的直径，点p在ba的延长线上，pd切o于点d，过点b作be垂直于pd，交pd的延长线于点c，连接ad并延长，交be于点e（1）求证：ab=be；（2）若pa=2，cosb=，求o半径的长10如图ab是o的直径，pa，pc与o分别相切于点a，c，pc交ab的延长线于点d，depo交po的延长线于点e（1）求证：epd=edo；（2）若pc=6，tanpda=，求oe的长圆的动态探究题1

4、1如图，o半径为4cm，其内接正六边形abcdef，点p，q同时分别从a，d两点出发，以1cm/s速度沿af，dc向中点f，g运动连接pb，qe，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形peqb为平行四边形；（2）填空：当t= s时，四边形pbqe为菱形；当t= s时，四边形pbqe为矩形12如图，ab为o的直径，点c为ab延长线上一点，动点p从点a出发沿ac方向以lcm/s的速度运动，同时动点q从点c出发以相同的速度沿ca方向运动，当两点相遇时停止运动，过点p作ab的垂线，分别交o于点m和点n，已知o的半径为l，设运动时间为t秒（1）若ac=5，则当t= 时，四边形amqn为菱形；当t= 时，

5、nq与o相切；（2）当ac的长为多少时，存在t的值，使四边形amqn为正方形？请说明理由，并求出此时t的值13如图，在rtabc中，bac=90°，b=60°，以边上ac上一点o为圆心，oa为半径作o，o恰好经过边bc的中点d，并与边ac相交于另一点f（1）求证：bd是o的切线；（2）若bc=2，e是半圆上一动点，连接ae、ad、de填空：当的长度是 时，四边形abde是菱形；当的长度是 时，ade是直角三角形14如图，点a，b，c分别是o上的点，且b=60°，cd是o的直径，p是cd延长线上的一点，且ap=ac（1）求证：ap是o的切线；（2）若ac=3，填空：

6、当的长为 时，以a，c，b，d为顶点的四边形为矩形；当的长为 时，abc的面积最大，最大面积为 15四边形abcd的对角线交于点e，且ae=ec，be=ed，以ab为直径的半圆过点e，圆心为o（1）利用图1，求证：四边形abcd是菱形（2）如图2，若cd的延长线与半圆相切于点f，且直径ab=8abd的面积为 的长 16在圆o中，ac是圆的弦，ab是圆的直径，ab=6，abc=30°，过点c作圆的切线交ba的延长线于点p，连接bc（1）求证：pacpcb；（2）点q在半圆adb上运动，填空：当aq= 时，四边形aqbc的面积最大；当aq= 时，abc与abq全等17如图，ab是o的直径

7、，点p是弦ac上一动点（不与a，c重合），过点p作peab，垂足为e，射线ep交于点f，交过点c的切线于点d（1）求证：dc=dp；（2）若直径ab=12cm，cab=30°，当e是半径oa中点时，切线长dc= cm：当ae= cm时，以a，o，c，f为顶点的四边形是菱形18如图，o的直径ab=4，点c为o上的一个动点，连接oc，过点a作o的切线，与bc的延长线交于点d，点e为ad的中点，连接ce（1）求证：ce是o的切线；（2）填空：当ce= 时，四边形aoce为正方形；当ce= 时，cde为等边三角形19如图，abc是半径为2的o的内接三角形，连接oa、ob，点d、e、f、g分别

8、是ca、oa、ob、cb的中点（1）试判断四边形defg的形状，并说明理由；（2）填空：若ab=3，当ca=cb时，四边形defg的面积是 ；若ab=2，当cab的度数为 时，四边形defg是正方形20如图，在abc中，ab=ac，点o为边ab的中点，odbc于点d，ambc于点m，以点o为圆心，线段od为半径的圆与am相切于点n（1）求证：an=bd；（2）填空：点p是o上的一个动点，若ab=4，连结oc，则pc的最大值是 ；当bop= 时，以o，d，b，p为顶点四边形是平行四边形1已知，如图，直线mn交o于a，b两点，ac是直径，ad平分cam交o于d，过d作demn于e（1）求证：de是

9、o的切线；（2）若de=6cm，ae=3cm，求o的半径【解答】（1）证明：连接odoa=od，oad=odaoad=dae，oda=daedomndemn，ode=dem=90°即odded在o上，od为o的半径，de是o的切线（2）解：aed=90°，de=6，ae=3，连接cdac是o的直径，adc=aed=90°cad=dae，acdade则ac=15（cm）o的半径是7.5cm2如图，在abc，ab=ac，以ab为直径的o分别交ac、bc于点d、e，点f在ac的延长线上，且cbf=cab（1）求证：直线bf是o的切线；（2）若ab=5，sincbf=，求

10、bc和bf的长【解答】（1）证明：连接ae，ab是o的直径，aeb=90°，1+2=90°ab=ac，1=cabcbf=cab，1=cbfcbf+2=90°即abf=90°ab是o的直径，直线bf是o的切线（2）解：过点c作cgab于gsincbf=，1=cbf，sin1=，在rtaeb中，aeb=90°，ab=5，be=absin1=，ab=ac，aeb=90°，bc=2be=2，在rtabe中，由勾股定理得ae=2，sin2=，cos2=，在rtcbg中，可求得gc=4，gb=2，ag=3，gcbf，agcabf，bf=3如图，四

11、边形abcd内接于o，bd是o的直径，aecd，垂足为e，da平分bde（1）求证：ae是o的切线；（2）若dbc=30°，de=1cm，求bd的长【解答】（1）证明：连接oa，da平分bde，bda=edaoa=od，oda=oad，oad=eda，oaceaece，aeoaae是o的切线（2）解：bd是直径，bcd=bad=90°dbc=30°，bdc=60°，bde=120°da平分bde，bda=eda=60°abd=ead=30°在rtaed中，aed=90°，ead=30°，ad=2de在rt

12、abd中，bad=90°，abd=30°，bd=2ad=4dede的长是1cm，bd的长是4cm4如图，已知abc内接于o，ac是o的直径，d是的中点，过点d作直线bc的垂线，分别交cb、ca的延长线e、f（1）求证：ef是o的切线；（2）若ef=8，ec=6，求o的半径【解答】（1）证明：连接od交于ab于点gd是的中点，od为半径，ag=bgao=oc，og是abc的中位线ogbc，即odce又ceef，odef，ef是o的切线（2）解：在rtcef中，ce=6，ef=8，cf=10设半径oc=od=r，则of=10r，odce，fodfce，=，r=，即：o的半径为5

13、如图，ab是o的直径，弦cdab与点e，点p在o上，1=c，（1）求证：cbpd；（2）若bc=3，sinp=，求o的直径【解答】（1）证明：c=p又1=c1=pcbpd；（2）解：连接acab为o的直径，acb=90°又cdab，=，p=cab，又sinp=，sincab=，即=，又知，bc=3，ab=5，直径为56如图，直线ef交o于a、b两点，ac是o直径，de是o的切线，且deef，垂足为e（1）求证：ad平分cae；（2）若de=4cm，ae=2cm，求o的半径【解答】（1）证明：连接od，od=oa，oda=oad，de是o的切线，ode=90°，odde，又d

14、eef，odef，oda=dae，dae=oad，ad平分cae；（2）解：连接cd，ac是o直径，adc=90°，在rtade中，de=4cm，ae=2cm，根据勾股定理得：ad=cm，由（1）知：dae=oad，aed=adc=90°，adcaed，即，ac=10，o的半径是57如图，rtabc中，abc=90°，以ab为直径作半圆o交ac与点d，点e为bc的中点，连接de（1）求证：de是半圆o的切线（2）若bac=30°，de=2，求ad的长【解答】（1）证明：连接od，oe，bd，ab为圆o的直径，adb=bdc=90°，在rtbdc

15、中，e为斜边bc的中点，de=be，在obe和ode中，obeode（sss），ode=abc=90°，则de为圆o的切线；（2）在rtabc中，bac=30°，bc=ac，bc=2de=4，ac=8，又c=60°，de=ce，dec为等边三角形，即dc=de=2，则ad=acdc=68如图，在rtabc中，acb=90°，以ac为直径作o交ab于点d点，连接cd（1）求证：a=bcd；（2）若m为线段bc上一点，试问当点m在什么位置时，直线dm与o相切？并说明理由【解答】（1）证明：ac为直径，adc=90°，a+dca=90°，a

16、cb=90°，dcb+acd=90°，dcb=a；（2）当mc=md（或点m是bc的中点）时，直线dm与o相切；解：连接do，do=co，1=2，dm=cm，4=3，2+4=90°，1+3=90°，直线dm与o相切，故当mc=md（或点m是bc的中点）时，直线dm与o相切9如图，已知ab是o的直径，点p在ba的延长线上，pd切o于点d，过点b作be垂直于pd，交pd的延长线于点c，连接ad并延长，交be于点e（1）求证：ab=be；（2）若pa=2，cosb=，求o半径的长【解答】（1）证明：连接od，pd切o于点d，odpd，bepc，odbe，ado

17、=e，oa=od，oad=ado，oad=e，ab=be；（2）解：由（1）知，odbe，pod=b，cospod=cosb=，在rtpod中，cospod=，od=oa，po=pa+oa=2+oa，oa=3，o半径=310如图ab是o的直径，pa，pc与o分别相切于点a，c，pc交ab的延长线于点d，depo交po的延长线于点e（1）求证：epd=edo；（2）若pc=6，tanpda=，求oe的长【解答】（1）证明：pa，pc与o分别相切于点a，c，apo=epd且paao，pao=90°，aop=eod，pao=e=90°，apo=edo，epd=edo；（2）解：连

18、接oc，pa=pc=6，tanpda=，在rtpad中，ad=8，pd=10，cd=4，tanpda=，在rtocd中，oc=oa=3，od=5，epd=ode，depoed，=2，de=2oe在rtoed中，oe2+de2=od2，即5oe2=52，oe=11如图，o半径为4cm，其内接正六边形abcdef，点p，q同时分别从a，d两点出发，以1cm/s速度沿af，dc向中点f，g运动连接pb，qe，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形peqb为平行四边形；（2）填空：当t=2s时，四边形pbqe为菱形；当t=0或4s时，四边形pbqe为矩形【解答】（1）证明：正六边形abcdef内接于o

19、，ab=bc=cd=de=ef=fa，a=abc=c=d=deff，点p，q同时分别从a，d两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），ap=dq=t，则pf=qc=4t，在abp和deq中abpdeq（sas）bp=eq，同理可证，pe=qb，四边形peqb是平行四边形（2）解：当四边形pbqe为菱形时，pb=pe=eq=qb，abpdeqpfeqcb，ap=pf=dq=qc，即t=4t，得t=2，故答案为：2；当t=0时，epf=pef=30°，bpe=120°30°=90°，此时四边形pbqe为矩形；当t=4时，abp=apb=30°

20、，bpe=120°30°=90°，此时四边形pbqe为矩形故答案为：0或412如图，ab为o的直径，点c为ab延长线上一点，动点p从点a出发沿ac方向以lcm/s的速度运动，同时动点q从点c出发以相同的速度沿ca方向运动，当两点相遇时停止运动，过点p作ab的垂线，分别交o于点m和点n，已知o的半径为l，设运动时间为t秒（1）若ac=5，则当t=时，四边形amqn为菱形；当t=时，nq与o相切；（2）当ac的长为多少时，存在t的值，使四边形amqn为正方形？请说明理由，并求出此时t的值【解答】解：（1）ap=t，cq=t，则pq=52t，nmab，pm=pn，当pa

21、=pq时，四边形amqn为菱形，即t=52t，解得t=；当onq=90°时，nq与o相切，如图，op=t1，oq=acoaqc=51t=4t，nop=qon，rtonprtoqn，=，即=，整理得t25t+5=0，解得t1=，t2=（1t2.5，故舍去），即当t=时，nq与o相切；故答案为，；（2）当ac的长为3时，存在t=1，使四边形amqn为正方形理由如下：四边形amqn为正方形man=90°，mn为o的直径，而mqn=90°，点q在o上，aq为直径，点p在圆心，mn=aq=2，ap=1，t=ap=1，cq=t=1，ac=aq+cq=2+1=313如图，在rt

22、abc中，bac=90°，b=60°，以边上ac上一点o为圆心，oa为半径作o，o恰好经过边bc的中点d，并与边ac相交于另一点f（1）求证：bd是o的切线；（2）若bc=2，e是半圆上一动点，连接ae、ad、de填空：当的长度是时，四边形abde是菱形；当的长度是或时，ade是直角三角形【解答】（1）证明：连接od，如图，bac=90°，点d为bc的中点，db=da=dc，b=60°，abd为等边三角形，dab=adb=60°，dac=c=30°，而oa=od，oda=oad=30°，odb=60°+30

23、6;=90°，odbc，bd是o的切线；（2）解：abd为等边三角形，ab=bd=ad=cd=，在rtodc中，od=cd=1，当deab时，deac，ad=ae，ade=bad=60°，ade为等边三角形，ad=ae=de，ade=60°，aoe=2ade=120°，ab=bd=de=ae，四边形abde为菱形，此时的长度=；当ade=90°时，ae为直径，点e与点f重合，此时的长度=；当dae=90°时，de为直径，aoe=2ade=60°，此时的长度=，所以当的长度为或时，ade是直角三角形故答案为；或14如图，点a，

24、b，c分别是o上的点，且b=60°，cd是o的直径，p是cd延长线上的一点，且ap=ac（1）求证：ap是o的切线；（2）若ac=3，填空：当的长为时，以a，c，b，d为顶点的四边形为矩形；当的长为时，abc的面积最大，最大面积为【解答】（1）证明：连接oab=60°，aoc=2b=120°，又oa=oc，acp=cao=30°，aop=60°，ap=ac，p=acp=30°，oap=90°，oaap，ap是o的切线，（2）连接ad，adc=b=60°，cd是直径，dac=90°，ac=3，ad=，cd=

25、2，oc=，当ab是直径时，四边形adbc是矩形，此时=b=60°，当ba=bc时，abc的面积最大，此时abc是等边三角形，=，sabc=×32=15四边形abcd的对角线交于点e，且ae=ec，be=ed，以ab为直径的半圆过点e，圆心为o（1）利用图1，求证：四边形abcd是菱形（2）如图2，若cd的延长线与半圆相切于点f，且直径ab=8abd的面积为16的长【解答】解：（1）ae=ec，be=ed，四边形abcd是平行四边形ab为直径，且过点e，aeb=90°，即acbd四边形abcd是平行四边形，四边形abcd是菱形（2）连结ofcd的延长线与半圆相切于

26、点f，ofcffcab，of即为abd中ab边上的高sabd=ab×of=×8×4=16，点o是ab中点，点e是bd的中点，sobe=sabd=4过点d作dhab于点habcd，ofcf，foab，f=fob=dho=90°四边形ohdf为矩形，即dh=of=4在rtdah中，sindab=，dah=30°点o，e分别为ab，bd中点，oead，eob=dah=30°，的长度=故答案为：16，16在圆o中，ac是圆的弦，ab是圆的直径，ab=6，abc=30°，过点c作圆的切线交ba的延长线于点p，连接bc（1）求证：pac

27、pcb；（2）点q在半圆adb上运动，填空：当aq=3时，四边形aqbc的面积最大；当aq=3或3时，abc与abq全等【解答】（1）证明：如图1所示，连接ocpc是圆o的切线，oc是半径，ocpc，pco=90°pca+aco=90°，ab是直径，acb=90°，b+cab=90°，oc=oa，oac=oca，b+oca=90°，pca=b，又p=p，pacpcb；（2）解：当点q运动到oqab时，四边形aqbc的面积最大；如图2所示：连接aq、bq，oa=ob，oqab，oq=bq，ab是直径，aqb=90°，abq是等腰直角三角

28、形，aq=ab=3，故答案为：3；如图3所示：acb=90°，abc=30°，ac=ab=3，bc=ac=3，分两种情况：a当aq=ac=3时，在rtabc和rtabq中，abcabq（hl）；b当aq=bc=3时，同理abcbaq；综上所述：当aq=3或3时，abc与abq全等17如图，ab是o的直径，点p是弦ac上一动点（不与a，c重合），过点p作peab，垂足为e，射线ep交于点f，交过点c的切线于点d（1）求证：dc=dp；（2）若直径ab=12cm，cab=30°，当e是半径oa中点时，切线长dc=4cm：当ae=3cm时，以a，o，c，f为顶点的四边形

29、是菱形【解答】解：（1）连接occd是o的切线，ocd=90°，oa=oc，oac=oca，peab，pea=90°，oac+ape=90°，oca+pcd=90°，ape=pcd，ape=cpd，pcd=cpd，dc=dp（2）连接bc，ab是直径，acb=90°a=30°，ab=12，ac=abcos30°=6，在rtape中，ae=oa=3，ap=ae÷cos30°=2，pc=acap=4，ape=dpc=60°，dp=dc，dpc是等边三角形，dc=4，故答案为4当ae=eo时，四边形a

30、ocf是菱形理由：连接af、ofae=eo，feoa，fa=fo=oa，afo是等边三角形，fao=60°，cab=30°，fac=30°，foc=2fac=60°，foc是等边三角形，cf=co=oa=af，四边形aocf是菱形，ae=3cm时，四边形aecf是菱形故答案为318如图，o的直径ab=4，点c为o上的一个动点，连接oc，过点a作o的切线，与bc的延长线交于点d，点e为ad的中点，连接ce（1）求证：ce是o的切线；（2）填空：当ce=2时，四边形aoce为正方形；当ce=时，cde为等边三角形【解答】（1）证明：连接ac、oe，如图（1）

31、，ab为直径，acb=90°，acd为直角三角形，又e为ad的中点，ea=ec，在oce和oae中，oceoae（sss），oce=oae=90°，ceoc，ce是o的切线；（2）解：c在线段bd的中点时，四边形aoce为正方形理由如下：当c为边bd的中点，而e为ad的中点，ce为bad的中位线，ceab，ce=ab=oa，四边形oaec为平行四边形，oae=90°，平行四边形ocea是矩形，又oa=oc，矩形ocea是正方形，ce=oa=2，故答案为：2；连接ac，如图（2），cde为等边三角形，d=60°，abd=30°，ce=cd，在rtabc中，ac=ab=2，在rtacd中，tand=，cd=，ce=，故答案为：19如图，abc是半径为2的o的内接三