历年数列高考题汇编

1、历年高考真题汇编-数列（含）1、(2011 年新课标卷文 )已知等比数列 an 中， a11 ，公比 q1 33（I ） Sn 为 an 的前 n 项和，证明： Sn1an2（II ）设 bnlog 3 a1 log 3 a2log 3 an ，求数列 bn 的通项公式1( 1) n 111 (11 )11解：（）因为 an. Sn33n3n,333n1123所以 Sn1an ,2（） bnlog 3 a1log 3 a2log 3 an(1n(n 1)2 . n)n(n1) .2所以 bn 的通项公式为 bn22、(2011 全国新课标卷理）等比数列an 的各项均为正数，且2a13a21,a

2、3 29a2a6 .（1）求数列an 的通项公式 .(2) 设 bnlog 3 a1log3 a2.log 3 an , 求数列1bn的前项和 .解：（）设数列 a n 的公比为 q，由 a329a2a6 得 a339a42 所以 q21 。有条件可1 。9知 a>0, 故 q31 。故数列 a n 的通项式为 an = 1由 2a13a2 1 得 2a13a2q1 ，所以 a1。33n（） bnlog1 a1log 1 a1. log1 a1(1 2 .n)n( n1)2故 122( 11)bnn(n1)nn111.12(1 1 )( 11) .( 11 )2nb1b2bn223nn

3、1n 1所以数列 1 的前 n 项和为2nbnn 13、（2010 新课标卷理）设数列an满足 a12, an 1an3 22n 1（1）求数列 an 的通项公式；（2）令 bnnan ，求数列的前n 项和 Sn解（）由已知，当n1 时， an1( an 1an )(an an 1 )(a2 a1) a13(2 2n122 n32)222( n1) 1。而 a12, 所以数列 an 的通项公式为 an22n 1 。（）由 bnnan n22 n1 知Sn12 2233 25n 22n 1从而22 Sn 1 232 253 27n 22 n 1-得(1 22 ) Sn2 232522n 1n 2

4、2n 1。即Sn1 (3n1)22 n 1294、（20I0 年全国新课标卷文）设等差数列 an 满足 a35 ， a109 。（）求（）求an 的通项公式；an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。解：（ 1）由 am = a1 +（n-1）d 及 a1=5，a10=-9 得a12d5a19d9a 19解得d2数列 a的通项公式为。 分nan=11-2n.6(2)由(1) 知 Sn=na1+n(n1)2。2d=10n-n因为 Sn=-(n-5)2+25.所以 n=5 时， Sn 取得最大值。5、（2011 年全国卷）设数列an 的前 N 项和为 Sn ,已知 a26,

5、6a1a230, 求 an 和 Sn6、（ 2011 辽宁卷）已知等差数列 an满足 a2=0，a6+a8=-10（I）求数列 an的通项公式；an（II）求数列2 n 1的前 n 项和a1d 0,解：（ I）设等差数列 an 的公差为 d，由已知条件可得12d10,2a1解得a11,d1.故数列 an 的通项公式为 an 2 n.5 分an1 的前 n项和为 Sn ，即 Sna2an,故 S11，（ II）设数列 na12n 122Sna1a2an.2242n所以，当 n1时，Sna1a2a1anan 1an222n 12n1(1112 n)242n 12n1(11)2 n2n12nn.所以

6、 Snn= n2n 1 .2综上，数列 an的前 n项和 Snnn 1 .n 1227、（2010 年陕西省）已知 an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9 成等比数列 .（）求数列 an的通项 ;（）求数列 2an的前 n 项和 Sn.解 （）由题设知公 差 d0，由 a1 1， a1， a3， a9 成等比数列得 12d 18d ，112d解得 d 1，d 0（舍去），故an的通项 an 1+（ n 1）× 1 n.( )由（）知2amn，由等比数列前n 项和公式得=22 3n2(12n )n+1Sn =2+2 +2 +2 =1=2-228、（2009 年全国卷）

7、设等差数列 an 的前n 项和为 sn ，公比是正数的等比数列 b n 的前 n 项和为 Tn ，已知 a1 1,b13, a3b317,T3 S312, 求 a n , bn 的通项公式。解： 设 an的公差为 d ， bn 的公比为 q由 a3b317 得 1 2d 3q217由 T3S312 得 q2q d 4由及 q0 解得q2, d2故所求的通项公式为an2n1,bn32n 19、（2011 福建卷）已知等差数列 a n 中， a1=1，a3=-3.（ I ）求数列 a n 的通项公式；（ II ）若数列 a n 的前 k 项和 Sk=-35 ，求 k 的值 .10、（2011 重庆

8、卷）设是公比为正数的等比数列，,.( ) 求的通项公式 ( ) 设是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列的前 项和.11、（2011 浙江卷）已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项为 a(aR)，且 1， 1， 1 成a1a2a4等比数列（）求数列 an 的通项公式；（）对 nN*，试比较111.1与1的大小a223na1a2a2a2解：设等差数列 an 的公差为 d ，由题意可知 ( 1 )211a2a1a4即 (a1 d )2a1 (a13d ) ，从而 a1dd 2因为 d0, 所以 d a1 a.故通项公式 anna.（）解：记 Tn111,因为 a2n2n aa2a22a2

9、n111111 (1( 1 )n )11所以 Tn)22n(222na11 (2)a 21a2从而，当 a0时， Tn1；当 a0时, Tn1 .a1a112、（2011 湖北卷）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、 13 后成为等比数列 bn 中的 b 、 b 、 b 。(I)求数列 bn 的通项公式；(II)数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，求证：数列Sn5是等比数列。413、（2010 年山东卷）已知等差数列an 满足： a37 ， a5a726 ， an 的前 n 项和为 Sn（）求 an 及 Sn ；（）令 bn1（ n N * ），求数列 bn的前

10、 n 项和为 Tn 。an21解：（）设等差数列an的首项为 a1 ，公差为 d ，由于 a37 ， a5a726 ，所以 a2d 7 ， 2a 10d26 ，11解得 a1 3 ， d2 ， 由于 an a1( nn(a1an )1)d ， Sn，2所以 an2n1， Snn(n2)（）因为 an2n1，所以an214 (1)n n因此 bn11)1 ( 11)4n( n4nn 1故 Tnb1b2bn1(111111 )4223nn 111nbnn(1n)4( n1)所以数列的前 n 项和 Tn414(n 1)14、（2010 陕西卷）已知 an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3

11、，a9 成等比数列 .（）求数列 an的通项 ;（）求数列 2an的前 n 项和 Sn.解 （）由题设知公 差 d 0，由 a1 1， a1， a3， a9 成等比数列得 1 2d 18d ，112d解得 d 1，d 0（舍去），故an的通项 an 1+（ n 1）× 1 n.m( )由（）知2a =2n，由等比数列前n 项和公式得2 3n2(12n )n+1-2.、Sm =2+2 +2 + +2 =21215、（2010 重庆卷）已知 an 是首项为 19，公差为 -2 的等差数列， Sn 为 an 的前 n 项和 .（）求通项 an 及 Sn ；（）设bnan 是首项为 1，公比

12、为 3 的等比数列，求数列bn 的通项公式及其前n 项和 Tn .16、（2010 北京卷）已知 | an |为等差数列，且 a36 ， a6 0 。（）求 | an | 的通项公式；（）若等差数列|bn | 满足 b18 ， b2a1a2a3 ，求 | bn |的前 n 项和公式解：（）设等差数列 an 的公差 d 。因为 a36, a60a12d610, d 2所以a15d解得 a10所以 an10 (n1) 22n12（）设等比数列 bn 的公比为 q因为 b2a1 a 2 a324, b8所以 8q24即 q =3所以 bn 的前 n 项和公式为 Snb1 (1q n )4(13n )

13、1q17、（2010 浙江卷）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数 an的前 n 项和为 Sn，满足 S2S6150.（）若 S5S.求 Sn 及 a1;（）求 d 的取值范围 .-15解： ( )由题意知S0=-3,a=S-S=-8Sa110d5,所以5d解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7a 18.( )因为 SS+15=0,所以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d 2-8. 所以 d2 8.故 d 的取值范围为d -2218、（2010 四川卷）已知等差数列 an 的前 3 项和为 6

14、，前 8 项和为 -4。（）求数列 an 的通项公式；（）设bn (4 an )qn 1 (q 0, n N * ) ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn）由（）得解答可得，bn n qn 1，于是Sn1 q02 q13 q2n qn 1若 q1 ，将上式两边同乘以q 有 qSn1 q12 q2n 1 qn 1n qn 两式相减得到q 1 Snn qn1 q1q2qn 1nn1n1 qn1nqnq1nqq1q1nq n 1n1 qn1Snq2于是1Sn12 3nn n 1若 q1 ，则2n n1q 1 ,2,Snnqn 1n1 qn1q2, q 1 .所以，1（12 分）19、（2010 上海卷）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Snn5a n 85 ， nN *证明：an1 是等比数列；解：由 Snn5an85, nN *（ 1）可得： a1S115a1 85，即 a114。同时 Sn 1(n 1) 5an 185（2）从而由 (2)(1)可得： an 11 5( an 1an )即： an 1 15 (an1),nN* ，从而 an1 为等比数列，首项 a1 115 ，公比为5 ，6556通项公式为 a