2020版第3章第6节正弦定理和余弦定理

1、第六节正弦定理和余弦定理考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.正弦定理和余弦定理疋理正弦定理余弦定理公式a 一bcor"> /r->a 八 r>q 林 士立冋a2二b2 + c2 2bc cos a; b2二c2+ a2 2ca cos b; c2二 a2 + b2 2ab cos csin a二sin b二sin2r.（r 肚abc 外接圆半径）公式 变 形(1) a二2rsin a, b二2rsin b, c二2rsin c;(2) a : b : c二 sin a : sin b : sin c;abc(3) sin a二 2r

2、，sin b二2r，sin c二2rb2 + c2 a2 cos a 二壶；c2+ a2 b2cos b 二；a2+ b2 c2cos c 二2.在 abc中，已知a, b和a时，解的情况如下:a为锐角a为钝角或直角图 形关系式a= bs in absin av av ba> ba> b解 的 个 数一解两解一解一解3.二角形常用面积公式1 亠(1) s= 2a ha(ha表示边a上的咼);1 1 1(2) s= qabsi n c = 2acsin_b = 2bcsin a ；1(3) s= qr(a+ b+ c)(r为内切圆半径).常用结论1. 三角形内角和定理在厶abc 中，

3、a+ b+ c= n;变形:2. 三角形中的三角函数关系(1) sin(a+ b) = sin c; (2)cos(a+ b)= cos c;a+b ca+b c(2) sin = cos 2 ； (4)cos ? = sin p3. 在厶abc 中，sin a>sin b? a>b? a>b,cosa> cos b? av b? av b.4. 三角形射影定理a= bcos c+ ccos bb = acos c+ ccos ac= acos b+ bcos a5. 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.

4、(正确的打“v”，错误的打“x”)(1) 在厶abc 中，若 a>b,则必有 sin a>sin b.()(2) 在厶abc中，若b2 + c2>&2,则厶abc为锐角三角形.()(3) 在厶 abc 中，若 a= 60° a = 4寸3, b = 4迄，则 b = 45°或 135°)aa+ b c(4) 在厶 abc 中，=.()vsin a sin a+ sin b sin c '解析(1)正确.a>b? a>b? sin a>sin b.b2 + c2 a2(2)错误.由cos a=>0知，a为锐角

5、，但 abc不一定是锐角三角形.错误.由bv a知，bv a.(4) 正确.利用 a = 2rsin a，b= 2rsin b，c= 2rsin c,可知结论正确.答案(1)2x x v2. (教材改编)在厶abc中，若sin2a+ sin2bvsin2c,则厶abc的形状是()a .锐角三角形b .直角三角形abcr cc 由正弦定理，得 2r= sin a, 2r= sin b, 2r= sinc,代入得到 a2 + b2vc2,由余弦定理得cos c =a2 + b2 c22abv0,所以c为钝角，所以该三角形为钝角三角形3. aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知

6、a= 5, c= 2, cos2 a= 3,则 b=（）a. .2b. 3c. 2d. 32d 由余弦定理得5= b2 + 4 2x bx 2x3,1解得b= 3或b= 3（舍去），故选d.4. 在厶 abc 中，a=45° c = 30° c= 6,则 a 等于（）a. 3 .2 b . 6 2c. 2 6 d. 3,6由正弦定理得a _ csin a= sin c,所以a =csin a 6x sin 45°sin c = sin 30 ° =6 2.5. （教材改编）在非钝角厶abc中，2bsin a= 3a，则角b为（）冗c 由 2bsin a=

7、 , 3a 得 2sin bsin a= , 3sin a. sin，又b是锐角或直角.nb = 3.利用正、余弦定理解三角形c 气5【例1】(1)(2018全国卷儿)在厶abc中，cos -=亏,bc= 1, ac= 5,则ab=()a. 4 ；'2 b. 30 c. 29 d. 2 5(2)(2019青岛模拟)在厶abc中，角a, b, c的对边分别是a, b, c,已知b = c, a2= 2b2(1 - sin a)，贝u a 等于()3 nnnna忆b.3c.4d.6、 c 並、o c / v(1 )a c(1)因为cos 2 = 5，所以 cos c = 2cos°

8、; 21 = 2 x ()13=5于是，在 abc 中，由余弦定理得 ab2= ac2 + bc2 2acx bcx cos c =52+ 12 2x 5x 1xw 32,所以 ab= 4.2故选 a.(2)在厶abc 中，由余弦定理得 a2= b2 + c2 2bccos a= 2b2 2b2cos a.又 a= 2b2(1 sin a),所以 sin a= cos a,即卩 tan a= 1,n又a是三角形内角，则a= 4,故选c.规律方法应用正弦、余弦定理的解题技巧1求边：利用公式i .'.或其他相应变形公式求sm d sin a sm a解2求角：先求出正弦值，再求角，即利用公

9、式sin a二b bam a . c&in a ,、,、，亠tsin b -，创口 c =或其他相应变形公式求解baa3已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解4灵活利用式子的特点转化：如出现a2 + b2 c2=入a形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理(1)(2019郑州模拟)已知a，b，c 分别为 abc三个内角 a，b，c 的对边，且(b c)(sin b+ sin c) = (a. 3c)sin a， 则角b的大小为()a. 30°b. 45° c. 60° d. 120°(2)在厶abc中，角a，b，c所对的边

10、分别为a，b，c.若 a= .7，b= 2, a =60°,贝u sin b =，c=.a 亨 3 由正弦定理s= sbsnc及(b © (" b+ sin c)=(a*j3c)sin a 得(b c)(b+ c)= (a 3c)a, 即 b2 c2 = a2 3ac, 二 a2 + c22a2 + c2 b23b = t3ac.又 t cos b=： cos b = _2 , ； b= 30°.bsi n a2因为a=q7, b = 2, a= 60°所以由正弦定理得sin b = a = 百 亠孚.由余弦定理a2 = b2 + c2 2bc

11、cos a可得c2 2c 3= 0,所以c= 3.与三角形面积有关的问题【例2】(1)(2018全国卷i) abc的内角a, b, c的对边分别为a, b,c.已知 bsin c+ csin b = 4asin bsin c,b2 + c2 a2 = 8,则厶 abc 的面积为.由 bsin c + csin b=4asin bsin c 得 sinbsin c + sin csin b= 4sin asin.2. 2 2bsin c,因为 sin bsin cm0,所以 sin a=舟.因为 b2 + c2 a2= 8,cos a= 一2：c & ,8逅11 813 123所以 bc

12、=，所以 saabc= bcsin a=2亏 x2 =(2)(2017全国卷n ) abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知sin(a + c) = 8sin2b. 求cos b; 若a+ c= 6,aabc的面积为2,求b.解由题设及a+ b+ c= n得sin b = 8sin2b,故 sin b= 4(1 cosb).上式两边平方，整理得 17cosb 32cos b+ 15 = 0,15解得 cos b= 1(舍去)，或 cos b = 17.故 cos b= if.158)由 cos b= 得 sin b =f,”14故 sabc = 2acsin b= ac.又

13、sabc = 2,则 ac=等.由余弦定理及 a+ c= 6 得 b2 = a2 + c2 2accos b= (a+ ©2 2ac(1 + cos b)= 36 2x 少 1+17 = 4.所以b=2.规律方法三角形面积公式的应用方法：1对于面积公式s二亠仏屁in c二亠昭in b - -bcsin 4，一般是已知哪一个jfar角就使用哪一个公式.2与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化(1)(2018全国卷 川) abc的内一a2+ b2-c2a + b 一 c冗2 2 2absin c,所以a一4- = absin c.由余弦定理 a2 + b2角a,

14、b, c的对边分别为a, b, 5若厶abc的面积为 4，则c =()c = 2abcos c, 得 2abcos c = 2absin c, 即卩 cos c = sin c,所以在 abc 中，cn=4故选c.(2)在厶abc中，内角a, b, c所对的边分别为a, b, c,已知b+ c= 2acosb.证明：a= 2b;若 abc的面积s= ，求角a的大小.解证明：由 b+ c= 2acos b 得 sin b + sin c = 2sin acos b.即 2sin acos b = sin b+ sin(a+ b)=sin b + sin acos b + cos asin b ；

15、所以 sin(a b) = sin b.又 a, b (0,力，故 0va bv n,所以 b+ (a b) = n或 a b= b,所以a= n舍去)或a= 2b,所以a= 2b.2i2由s=牙得qabsin c = 4，1 1sin bsi n c = qsin a=s in 2b = sin bcos b.由 sin bm 0 得 sin c = cos b.n又 b, c (0, n,所以 c=2圮.当 b+ c = 2时，a=2，当 c b = 2时，a=4，综上知a=§或a= 4.正余弦定理的简单应用?考法1判断三角形的形状【例3】（1）在厶abc中，a，b，c分别为角a

16、，b，c的对边，满足acos a =bcos b,则 abc的形状为（）a 等腰三角形b 直角三角形b. 等腰直角三角形d 等腰三角形或直角三角形（2019广州模拟）在厶abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c,且b2 + c2 = a2 + be，若 sin b sin c= sin2a，则 abc 的形状是()a 等腰三角形b 直角三角形c 等边三角形d 等腰直角三角形(1)d (2)c 因为 acos a= bcos b,由正弦定理得 sin acos a= sin bcos b,n即 sin 2a= sin 2b,所以 2a= 2b 或 2a+ 2b= n,即 a= b 或 a+

17、 b= ，所以 abc为等腰三角形或直角三角形，故选 d.由 b2 + c2 = a2+ bc得 cos a=nt a (0， n， a= 3.由 sin b sin c= sin2a 得 bc= a2，代入 b2 + c2= a2+ bc 得(b c)2 = 0，即 b = c，从而 abc是等边三角形，故选 c.?考法2求解几何计算问题n【例4】(2019哈尔滨模拟)如图，在 abc中，b = 3, ab = 8,点d在边1bc 上，且 cd= 2, cos/ adc = 7.求 sin/bad;求bd, ac的长.解在厶adc中，t cos/ adc,贝u sin/ bad _ sin/

18、 adc _ 1 cos/ adc _sin(/ adc b)=sin/ adc cosb cos/ adcsinb_ 473x 21x 启器(2)在厶abd中，由正弦定理得8x墮ab sin/ bad 14bd_ sin/ adb _ 3.1在厶abc中，由余弦定理得ac2 _ ab2 + cb2 2ab bccos b _ 82 + 52 12x 8x 5x 二49,即卩 ac = 7.?考法3正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例5】(2018天津高考)在厶abc中，内角a , b , c所对的边分别为a ,nb, c, 已知 bsin a= acos b6(1)求角b的大小;设 a_2

19、, c_3,求 b和 sin(2a b)的值.ab解(1)在厶abc中，由正弦定理sna_ sinb，可得bs in a_ as in b,又由nnni-bsi n a_ acos b 6，得 as in b_ acos b 6，即 sin b_ cos b石，可得 tan b_ . 3.n3.又因为b (0, n ,可得b = j.n222(2)在厶abc 中,由余弦定理及 a_ 2 , c_3 , b_3,有 b2_a2 + c2 2accos b_ 7 ,故 b_ 7.rn一/口v3由 bsin a_ acos b 6，可得 sin a_4j321因此 sin 2a= 2sin acos

20、 a= 7， cos 2a= 2cosa 1= 7.所以，sin(2a b) = sin 2acos b cos 2asin b =2723=.规律方法平面几何中解三角形问题的求解思路1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正 弦、余弦定理求解；2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的 边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合， 才能顺利解决问题如图，在 abc中，d是bc边上的点，ad平分/ bac,a abd面积是 adc面积的2倍.求s；求sin c；若ad

21、 = 1, dc二岂2，求bd和ac的长.1 1解(1)sbd = 2ab adsin/ bad, sadc = -ac adsin/cad.因为 sabd = 2sadc , / bad = / cad,所以 ab= 2ac.由正弦定理可得sin b _ ac_ 1 sin c = ab _ 2.(2)因为 sabd : sadc _ bd : dc ,所以bd _ 2.在厶abd和厶adc中，由余弦定理，知ab2_ad2+ bd2 2ad bdcos/adb,ac2_ ad2+ dc2 2ad dccos/ adc.故 ab2 + 2ac2_ 3ad2 + bd2+ 2dc2_ 6,又由知

22、ab_ 2ac,所以解得ac_ 1.1. (2017全国卷i) abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c.已知sin b+ sin a(sin c cos c)= 0, a= 2, c= . 2,贝u c =()nd.3nb.6b 因为 a = 2, c= 2,所以由正弦定理可知,2 = sin a_ sin c故 sin a= 2sin c.又 b= n (a+ c),故 sin b+ sin a(sin c cos c)=si n(a+ c) + sin asi n c sin acos c=sin acos c+ cos asi n c+ sin as in c sin ac

23、os c=(sin a+ cos a)s in c=0.又c abc的内角,故 sin cm 0,则 sin a+ cos a= 0, 即卩 tan a= 1.3 n又 a (0, n)所以 a = -4.1j2 j2 1从而 sin c=-qsin a=p由a= 知c为锐角，故c=石，故选b.2. (2017全国卷n ) abc的内角a, b, c的对边分别为a,b = acos c + ccos a,贝u b =.n3 由 2bcos b = acos c + ccos a 及正弦定理, 得 2sin bcos b = sin acos c + sin ccos a. 2sin bcos b= si n(a+ c).又 a+ b+ c= n, a+ c= n b.2sin bcos b= sin( n b) = sin b. 又 si