数学文精选历年真题及名校模拟试题汇编提分训练等差数列

1、 等差数列高考试题考点一 等差数列的概念与性质 1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()(a)p1,p2(b)p3,p4(c)p2,p3(d)p1,p4解析:因为d>0,所以数列an是递增数列,p1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,则1×a1>2a2,所以p2为假命题;若等差数列为1,2,则=1, =,所以p3为假命题;又因为an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=an+d+3nd+

2、3d-an-3nd=4d>0,所以p4为真命题,故选d.答案:d2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于()(a)12(b)16(c)20(d)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qn*),则am+an=ap+aq,得a4+a8=a2+a10=16.故选b.答案:b3.(2010年大纲全国卷,文6)如果等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于()(a)14(b)21(c)28(d)35解析:a3+a4+a5=12,a4=4,a1+a2+a7=×7×(a1+a7)=7a4=28

3、.故选c.答案:c4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列an中,a2=2,a3=4,则a10等于()(a)12(b)14(c)16(d)18解析:在等差数列an中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.故选d.答案:d5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列an中,a1+a9=10,则a5的值为()(a)5(b)6(c)8(d)10解析:在等差数列an中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选a.答案:a6.(2009年辽宁卷,文3)an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()(a)-2(b)-(c)(d)2解析:a7-2a4

4、=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,d=-.故选b.答案:b7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=. 解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=.故c-a=2d=.答案:8.(2012年北京卷,文10)已知an为等差数列,sn为其前n项和,若a1=,s2=a3,则a2=,sn=. 解析:设等差数列an的公差为d,s2=a3,2a1+d=a1+2d,a1=d.又a1=,d=,a2=a1+d=1,sn=na1+=n2+n.答案:1n2+n9.(2011年天津卷,文11)已知an是等差数列,sn为其前n项和,nn*.若a3=16,s

5、20=20,则s10的值为. 解析:设等差数列首项为a1,公差为d,由题意可得解得s10=10a1+×10×9d=10×20+×10×9×(-2)=110.答案:11010.(2011年辽宁卷,文15)sn为等差数列an的前n项和,s2=s6,a4=1,则a5=. 解析:由s2=s6得a3+a4+a5+a6=0,由等差数列性质a3+a6=a4+a5,2(a4+a5)=0,1+a5=0,a5=-1.答案:-111.(2010年辽宁卷,文14)设sn为等差数列an的前n项和,若s3=3,s6=24,则a9=. 

6、;解析:设等差数列公差为d,则s3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1,s6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8,联立两式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+8×2=15.答案:1512.(2009年山东卷,文13)在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6=. 解析:设等差数列的公差为d,首项为a1,则解得所以a6=a1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.解:(

7、1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为sn.当n=1时,s1=|a1|=4;当n=2时,s2=|a1|+|a2|=5;当n3时,sn=s2+|a3|+|a4|+|an|=5+(3×3-7)+(3&#

8、215;4-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式.综上,sn=14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为sn.(1)求an及sn;(2)令bn= (nn*),求数列bn的前n项和tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+1,sn=na1+d=n2+2n.(2)因为an=2n+1,所以-1=(an-1)(an+1)=4n(n+1),因此bn=(-).故tn=b1+b2+b

9、n=(1-)+(-)+(-)=(1-)=.所以数列bn的前n项和tn=.考点二 等差数列的通项和前n项和公式 1.(2013年安徽卷,文7)设sn为等差数列an的前n项和,s8=4a3,a7=-2,则a9等于()(a)-6(b)-4(c)-2(d)2解析:由s8=4a3得=4a3,即a1+a8=a2+a7=a3,所以公差d=a3-a2=a7=-2,a9=a7+2d=-2+(-4)=-6.故选a.答案:a2.(2013年陕西卷,文17)设sn表示数列an的前n项和.(1)若an为等差数列,推导sn的计算公式;(2)若a1=1,q0,且对所有正整数n,有sn=.判断an是否为等比数列,并

10、证明你的结论.解:(1)设an的公差为d,则sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2sn=n(a1+an),sn=.(2)当n=1时,s1=1.当n=2时,s2=1+q,a1+a2=1+q,a2=q.当n=3时,s3=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;初步断定数列an为等比数列.证明如下:sn=,an+1=sn+1-sn=-=qn.a1=1,q0,当n1时,有=q,因此,an是首项为1且公比为q的等比数列.3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an

11、的通项公式;(2)求an的前n项和sn及使得sn最大的序号n的值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得可解得所以数列an的通项公式为an=11-2n(nn*).(2)法一由(1)知,sn=na1+d=10n-n2.因为sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,sn取得最大值.法二由(1)知sn=na1+d=10n-n2,an=11-2n令an=0得n=5.5,a5=1,a6=-1,所以数列an前5项都为正数,从第6项起都是负数,因此sn的最大值是s5,s5=25.故当n=5时,sn取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等

12、差数列an的前n项和为sn,满足s5s6+15=0.(1)若s5=5,求s6及a1;(2)求d的取值范围.解:(1)由题意知s6=-3,a6=s6-s5=-8,所以解得a1=7,d=-3.所以s6=-3,a1=7.(2)因为s5s6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8,所以d28,故d的取值范围为d-2或d2.考点三 等差数列的综合应用 1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,an是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,则a1+a2+a7

13、等于()(a)0 (b)7(c)14(d)21解析:an是公差不为0的等差数列,且f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,(a1-3)3+a1-1+(a2-3)3+a2-1+(a7-3)3+a7-1=14,(a1+a2+a3+a7)-7=14,a1+a2+a3+a7=21.故选d.答案:d2.(2011年湖北卷,文9)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()(a)1升(b) 升(c)升(d)升解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a1,则由已知得解得第5节容积为a1+4d=(升

14、).故选b.答案:b3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()(a)和(b)和(c)和(d)和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=201+2+3+(n-1)+201+2+3+(20-n)=20+=20×=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又nn*,n=10或11.故选d.答案:d模拟试题考点一 等差数列的

15、概念与基本运算 1.(2013山师大附中模拟)设等差数列an的前n项和为sn,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,s5等于()(a)(b)5 (c)-(d)-5解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,所以a2+a4=1.又s5=.故选a.答案:a2.(2013贵州六校联盟联考)等差数列an的前n项和为sn,已知a5=8,s3=6,则a9等于()(a)8(b)12(c)16(d)24解析:在等差数列中,a5=a1+4d=8,s3=3a1+d=3a1+3d=6,即a1+d=2,解得a1=0,d=2.所以a9=a1+8d=8×2=16.故选c.答案:c3.(20

16、13北京市东城区期末)已知an为等差数列,其前n项和为sn,若a3=6,s3=12,则公差d等于()(a)1 (b) (c)2 (d)3解析:因为a3=6,s3=12,所以s3=12=,解得a1=2,所以a3=6=a1+2d=2+2d,解得d=2.答案:c4.(2013云南师大附中检测)已知数列an中,a1=1,a2=2,当整数n>1时,sn+1+sn-1=2(sn+s1)都成立,则s15=. 解析:由sn+1+sn-1=2(sn+s1)得(sn+1-sn)-(sn-sn-1)=2s1=2,即an+1-an=2(n2),数列an从第二项起构成公差为2的等差数列,s15=1+2+

17、4+6+8+28=211.答案:2115.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列an的前n项和为sn,若a10=s4,则等于. 解析:由a10=s4,得a1+9d=4a1+d=4a1+6d,即a1=d0.所以s8=8a1+d=8a1+28d=36d,所以=4.答案:46.(2012莱芜检测)已知数列an的前n项和为sn,a1=,sn=n2an-n(n-1),n=1,2,(1)求证数列是等差数列,并求sn;(2)设bn=,求证b1+b2+bn<.解:(1)由sn=n2an-n(n-1)知当n2时,sn=n2(sn-sn-1)-n(n-1),即(n2-1)sn-n2s

18、n-1=n(n-1),sn-sn-1=1,对n2成立.又s1=1,是首项为1,公差为1的等差数列.sn=1+(n-1)·1,sn=.(2)bn=(-),b1+b2+bn=(-+-+-+-)=(-)<.考点二 等差数列的最值问题 1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列an的前n项和为sn,且满足s15>0,s16<0,则,中最大的项为()(a)(b)(c)(d)解析:由s15=15a8>0,得a8>0.由s16=<0,得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0.所以数列an为递减的数列.所以a1,a8为正,a9,an

19、为负,且s1,s15>0, s16,sn<0,则<0, <0, <0, >0, >0,又s8>s1,a1>a8,所以>>0,所以最大的项为.答案:d2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列an中,已知a1=-6,an=0,公差dn*,则n(n3)的最大值为()(a)7(b)6(c)5(d)8解析:an=a1+(n-1)d=0,d=,又dn*,n(n3)的最大值为7.答案:a3.(2012安徽质检)在等差数列an中,a1=13,s3=s11,试求sn的最大值.解:法一等差数列的前n项和可以看做是关于n的二次函数.s3=s11,=

20、7,n=7时,sn最大.又由s3=s11得a4+a5+a11=0,4(a7+a8)=0,又a1=13,从而可知d=-2,s7=49,即sn的最大值为49.法二由已知得d=-2.设等差数列的前n项和最大,可知n,由nn*可知n=7时,sn最大.s7=7a1+×d=49,故sn的最大值是49.考点三 等差数列与其他知识的综合应用 1.(2011泉州模拟)“点pn(n,an)(nn*)都在直线y=x+1上”是“数列an为等差数列”的() (a)充分但不必要条件(b)必要但不充分条件(c)充要条件 (d)既不充分也不必要条件解析:若an=n+1,则an为等差数列,反之显然不成立,故

21、选a.答案:a2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列an的前n项和为sn,若=a1+a200,且a、b、c三点共线(该直线不经过点o),则s200等于()(a)100(b)101(c)200(d)201解析:=a1+a200,且a、b、c三点共线,a1+a200=1.s200=100.答案:a3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x(0,2)有两个不同的零点x1、x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3、x4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m等于()(a)(b)-(c)(d)-解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=-=,显然不成立,所以m&l

22、t;0.则公差d=.所以m=cos(+)=-.答案:d4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn(nn*),a1=3,s3=39.(1)求数列an的通项公式;(2)若在an与an+1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,求的前n项和tn.解:(1)设等比数列an的公比为q(q>0),a1=3,s3=39,q1,=39,1+q+q2=13,q2+q-12=0,q=3,q=-4(舍去).故an=3n.(2)an=3n,则an+1=3n+1,由题意知an+1=an+(n+1)dn,则dn=.则=,所以tn=+=+tn=+-得tn=+(

23、+)-=+×-=-,所以tn=-.综合检测1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列an的前13项之和为39,则a6+a7+a8等于() (a)6(b)9(c)12(d)18解析:s13=13a7=39,a7=3,又a6+a7+a8=3a7=9,故选b.答案:b2.(2013北京海淀区期末)数列an满足a1=1,an+1=r·an+r(nn*,rr且r0),则“r=1”是“数列an成等差数列”的()(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件解析:若r=1,则an+1=an+1,即an+1-an=1,所以数列an成等差数列.若数列an成等差数列,设公差为d,则an+1-an=r·an+r-(r·an-1+r)=r(an-an-1),即d=dr,若d0,则r=1,若d=0,则an+1=an=a1=1,即1=r+r=2r,此时r