线性离散系统的分析与校正

1、第七章 线性离散系统的分析与校正一、教学目的和要求了解离散系统的基本概念；信号的采样与保持。二、重点、难点信号的采样与保持。三、教学内容： 引入 连续系统与离散系统的区别，对于计算机控制系统的分析与设计。一 离散系统的基本概念离散系统：系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，称之为离散系统。学习离散系统分析设计方法的目的：用于计算机控制系统的分析、设计。周期采样：如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这种采样成为周期采样。反之，如果信息之间的间隔是时变的，或随机的，则称为非周期采样，或随机采样。采样系统的典型结构 如图7-1所示为典型的采样控制系统原理框图，图中，e(t)是连续信号，s为

2、采样开关， e*(t) 离散信号。图71采样控制系统采样：在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器或采样开关(s)。 在实际系统中，由于对象的控制往往是连续的，因此脉冲序列信号经过脉冲控制器实现各种控制算法(相当于连续系统中的校正) 校正仍为脉冲序列信号，因此必须将其转化为连续的模拟信号，保持器即可实现这功能。所以采样器和保持器是采样控制系统中的两个特殊环节(与连续系统相比)。在图7-1中，采样误差信号e*(t)是通过采样开关s对连续信号e(t) 采样而获得的。如下图所示。连续信号及保持器的输入与输出若采样周期为t，则采样频率为，,而采样

3、角频率为。实际应用由于采样开关闭合的时间极短，采样持续时间远小于t。为了简化系统的分析，可认为趋于零，这样可以把采样器(s)的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e*(t)。在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号的复现过程。实现信号系统的装置叫保持器。当采样频率足够高时，保持器的输出eh(t) 接近于连续信号。采样系统的典型结构图图72误差采样控制的闭环采样系统二 数字控制系统数字控制系统是以数字计算机为控制器的闭环控制系统，其典型原理结构图如7-3所示。图7-3以数字计算机为控制器的闭环控制系统（1）a/d转换器把连续的模拟信号转换成离散的数字信号的装置。它包括两

4、个过程：一是采样过程，即每隔对连续信号进行一次采样，使e(t) e*(t)；二是量化过程，即把e*(t)表示成二进制数字，便于数字控制器进行计算。（2）d/a转换器把离散信号连续模拟信号的装置。也经过两个过程：一是解码过程，把离散的数字信号转换为离散的模拟信号；二是把离散的模拟信号转换为连续的模拟信号，以便于直接控制连续的被控对象。（3）数字控制系统的典型结构图 如图7-4所示图7-4数字控制系统的典型结构图三 离散控制系统的特点（1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。（2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提

5、高了系统的抗扰能力。（3）允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。（4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。（5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。（6）采样系统的研究方法：采用z变换，研究方法：连续系统研究方法的推广。四 信号的采样与保持1、采样过程 采样器连续信号脉冲序列信号的装置，又称采样开关，采样器的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关s来表示。如图7-5所示。图7-5实际的采样过程当<<t时，认为，则上述的e*(t)可以看成是由单位脉冲序列与e(t)的调制而得到的，因此采样过程可以看成是一个幅值调制过

6、程。理想开关好象是一个载波为的幅值调速器。如图7-6所示。图 7-6 理想采样过程 这样，调制后的各脉冲强度(即面积)可以用其高度来表示，它们等于相应采样瞬时t=nt时e(t)的幅值。 其数学描述为：e*(t)= e(t) 而 其中是出现时刻t=nt时，强度(面积)为1的单位脉冲，且连续信号在时才出现，又有因e(t)只有在采样瞬时(时刻)才有定义，故上式可写成：这里 e(t)=0，t<0时的任何时刻。在实际控制中这一点是可以实现的。2、采样过程的数学描述 （1）、采样过程的拉氏变换因： (位移定理)所以注意： (1) 不能给出两样时刻之间的信息(2) 与非常类似，但是一个脉冲序列。例：设

7、，求e*(t)的拉氏变换。解：（） （2）、采样信号的频谱 前面讨论了采样过程的数学描述，那么，采样周期如何决定？多大的采样周期或采样频率才能使采样信号无失真地恢复到原来的 连续信号？与之间有什么样的关系？因它是一个以t为周期的周期函数，可以展开付氏级数形式，即式中：采样角频率；付氏级数，其值为 因仅在时有值，且，所以故 所以：时域描述这是描述采样过程性质的一个非常重要的式子。它表明，是以为周期的周期函数，同时，还描述了与之间的重要关系。如果没有右半s平面的极点，则可令，得到采样信号的付氏变换其中，为连续信号的付氏变换，上式描述了连续信号和离散信号频谱之间的关系。一般情况下，连续信号的频谱是单

8、一的连续频谱，其带宽是有限的，即上下限频率分别可表示为和-，如图7-7(a)所示，而的频谱，则是以为周期的无穷多个频谱之和，如图7-7(b)所示。0h-h图7-7(a)连续信号频谱0h-h-ss2s图7-7(b)采样信号频谱图7-7在图7-7(b)中，n=0的频谱称为采样频谱的主分量，如曲线1所示，它与连续频谱形状一致，仅在幅值上变化了倍；其余频谱都是由于采样而引起的高频频谱，称为采样频谱的补分量，如图线2所示。图7-7(b)表明的是采样频率大于两倍这一情况。如果加大采样周期t，相应减小，当时，采样频谱中的补分量相互交迭，致使采样器输出信号发生畸变。如图7-8所示。在这种情况下，即使使用图7-

9、9所示的理想滤波器也无法恢复原来的连续信号的频谱。因此要想从中完全实现，对应有一定的要求。0图7-8s<2h采样信号频谱0ss2图7-9理想滤波器的频率特性五、香农采样定理 香农采样定理指出：如果采样器的输入信号具有有限带宽，并且有直到的频率分量，则只要采样周期满足下列条件信号可以完满地从采样信号中恢复过来。即只有当时，才能无失真地恢复到原来的连续信号，这就是著名的香农采样定理。简称采样定理。这是设计采样系统的一个非常重要的依据。从香农定理可知，在满足的条件下，离散信号的频谱互不重叠。这时可用一个理想的滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真的保留原有的连续信号。但是，上述理想滤波

10、器实际上是不存在的，也是不能实现的。有些是系统中连续部分本身就是一个滤波器，而大部分是要寻求在特性上接近理想滤波器而物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中应用的保持器也是这样一种实际的滤波器。六、信号保持把数字信号转化为连续信号的装置，称为保持器零阶保持器 是一种按常值外推的保持器。保持器单位脉冲响应保持器的频率特性：零阶保持器频率特性与理想滤波器频率特性不同，不能实现完全复现。零阶保持器有相角延迟（近似可视为一个环节）对系统性能不利。7-2 z变换理论一、教学目的和要求了解分析和设计离散系统的数学工具。二、重点z变换理论。三、教学内容：采样信号的拉氏变换是s的超越函数，不便于分析处理，故引

11、入z变换的工具。一z变换的定义设连续函数是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为 由于时，有，故上式亦可写成而有因故所以也可以直接由延迟定理根据直接求因为s的超越函数。为方便于应用，令，式中，t为采样周期，z是在平面上定义的一个变量（因s为复变量），通常称z变换算子。计作，后一记号是为书写方便，并不意味是连续信号的z变换，而是仍指采样信号的变换。应指出：因z变换所考虑的是连续函数经采样后的采样函数，或是连续函数在采样时刻的采样值，它并不反映各采样时刻之间的值。从这个意义上讲，和具有相同的z变换。即对应的z变换是唯一的，但一个离散函数所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个，即不对应唯一的z变换。二

12、、z变换方法：（1）级数求和法（即根据定义求）例：求的变换。解：因在所有采样时刻上的值均为，故有若，则 例：已知求。解： （）（2）部分分式法方法：已知分解。例：，求。解： 由上结果： 故 可查7-2表使用。三、z变换性质(1)、线性定理若，a为常数，则 （2）、实数位移定理设，则延迟定理或滞后定理 超前定理（3）复数位移定理 设，则 （4）终值定理 设，则 （5）卷积定理设和为两个采样函数，其离散卷积定义为 则卷积定理为：若必有。四、z反变换即（1）、部分分式法 ；然后查表求出。（2）、幂级数法设（）按升幂长除 （） 五、关于z变换的说明（1）z变换的唯一性 唯一，但不唯一。（2）z变换的取

13、值区间。作业：7-8(2),(3)7-3 脉冲传递函数一、教学目的和要求掌握离散系统数学模型的建立。二、重点求传递函数方法。三、教学内容： 1、离散系统的数学定义线性离散系统、非线性离散系统、线性定常离散系统2、线性定常系数差分方程及其解法（1）迭代法。（2）z变换法。3、脉冲传递函数（1）、脉冲传递函数的定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列z变换与输入脉冲序列z变换之比。g(z)是离散信号到离散信号之间的传递关系；是线性系统（或环节）与采样开关组合体的脉冲传递函数。（2）g(z)的求法：（3）g(z)的性质：g(z)是复变量z的有理分式； 是系统响应序列的z变换；书上例7-18、7-19

14、4、开环系统脉冲传递函数（1）环节间无采样开关相隔时：（2）环节间有采样开关相隔时：一般，（3）带有零阶保持器时的情况零阶保持器不断增加系统的阶次；不改变系统开环极点；它只影响开环零点。5、闭环脉冲传递函数 由于采样开关的位置不同，所以离散闭环系统的结构形式不是统一的，图7-19是常见的系统结构图，图中输入端和输出端的采样开关是为了方便分析而虚设的。所有采样开关都是同步的，且具有相同的采样周期t。由图可见： c*(t)c(t)c(z)b(z)b*(t)(z)e(z)e*(t)r(z)r*(t)e(t)r(t)g(s)h(s)典型闭环离散系统结构图或写成：取z变换：系统输出：所以： 则： 得：

15、由于： 故： 定义：为闭环离散系统对输入量的误差脉冲传递函数。而 为闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数闭环脉冲传递函数 若，则与连续系统类似，令或的分母为零，便可得到闭环离散系统的特征方程：注意：若处没有采样开关，则,将无法求出。熟悉典型闭环离散系统及输出z变换函数（表7-3）作业：7-137-4 线性离散系统的稳定性分析一、教学目的和要求掌握离散系统稳定性判断与分析。二、重点离散系统稳定的充要条件与三种稳定性判据。三、教学内容：1、s域到z域的映射令，映射到z域则为令，当变到时，在z平面上的轨迹是单位圆，方向由负到正变化(逆时针方向变化)当从时为一周，当从时为又一周。从为主要带，其余周期为次

16、要带。s1-1-11js2s23s23s2次要带次要带主要带图7-341、等线映射s上的等垂线平面上为同心圆，半径为，当时为单位圆，当时在单位圆处，当时为单位圆内。s平面j0-图7352、等线 在t一定下，等水平线映射到z平面上的轨迹是一簇以原点出发的射线，其相角从正实轴计量。的水平线z的负实轴 t图736 3、等线1=0=+s4s23s4图737j 线的描述s上 即： 于是： 可见，除和900外，当为常数时，左半s平面上的等线，映射到z平面上单位圆内一簇收敛螺旋线，其起点为z平面上正实轴的1处，终点为z平面上的原点。(当取时如何?)j图7-38j+1z综上分析，有了以上的映射关系，s平面上周

17、期带在z平面上的映射，设s平面上的主要带如图7-38(a)所示，通过变换，映射到z平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，如图7-38(b)所示。类似的，由于 因此，s上所有次要带，在s上的映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。2、离散系统稳定的充要条件若多数为系统的特征方程为对s左半平面映射到z平面上的单位圆内，对应稳定区域；对s右半平面映射到z平面上的单位圆外，对应不稳定区域；s平面上虚轴，映射为z平面上的单位圆，对应临界稳定，因此系统稳定的充分必要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z单位圆内，或者特征方程根的模均小于1，即，相应的系统是稳定的。应当指出：二阶连续系统总是稳定的，但

18、引入采样器后，二阶离散系统却有可能是不稳定的。3、离散系统的稳定判据1、变换与劳斯稳定判据为了使z上单位圆在新的坐标轴为虚轴，而单位圆内的新坐标系的左半平面，单位圆外为新坐标系的右半平面，需要引入变换，这种新的坐标变换称之为双线性变换，或称为变换。(注意这里的变换是线性的)若令(或)，则有。z与互为线性变换，故变换又称双线性变换令则故xyz0jvu因上式分母始终为正，故等价为，该式表明，平面的虚轴对应z平面上的单位圆；等价于，对应z圆内；等价于，对应z圆外。图7-39这样，转换为平面上，故可以用routh判据判别系统的稳定性，这种方法相应称为域中的劳斯稳定判据。2、朱利稳定判据避免直接解根，由

19、d(z)判定系统稳定性。设闭环系统特征根为：列朱利矩阵：元素定义：，系统稳定充要条件：4、离散系统的稳态误差1、稳态误差主要取决于两个方面，一个是系统的结构，一个是输入信号的性质。这里主要讨论用终值定理求解的问题。为讨论方便取,则 其中 =如果的极点全部位于z平面的单位圆内，即系统稳定，则可用z变换终值定理求解。定义： 或e(z)=在z平面上，极点z是与s平面中相对应(因z当z1时，必有s0)和连续系统一样，离散系统可以按其开环脉冲传递函数g(z)有0、1、2、个z=1的极点而分别称为0、型系统。2 、离散系统的型别与静态误差系数型别v000i0000作业：7-167-5 离散系统的数字校正一

20、、教学目的和要求掌握离散系统的动态性能分析和数字校正方法。二、重点最少拍系统设计、无波纹最少拍系统设计。三、教学内容： 1、离散系统的时间响应1、既有采样器，又有保持器的情况。由于当时长除展开得这样可求得 2. 采样器和保持器对动态性能的影响讨论连续系统和相应的离散系统（分带零阶保持器和不带零阶保持器的两种情况）的阶跃响应指标，设；连续系统：离散系统i（不带zoh）离散系统ii（带zoh）三种情况的性能指标如表71所示 系统类型时域指标连续系统 离散系统（只有采样器） 离散系统（既有采样器又有保持器）峰值时间（s） 3.6 3 4调节时间(s) 5.3 5 12超调量 16.3% 20.7%

21、40.4%振荡次数 0.5 0.5 1.5比较可见：(1)、连续系统具有最小超调量，且k的稳定范围为。(2)、只有采样器的系统，超调量要大些，相对稳定性要差些，k的稳定范围为，原因是采样丢失了一些信息。(3)、加零阶保持器时，各指标都增大，系统的相对稳定性大大降低。k的取值范围在。原因除了(2)中的外，还因为引入了零阶保持器后，系统增加了一个极点，相当于引入了一个滞后环节，故相对稳定性进一步恶化。3.闭环极点与动态响应的关系设可表示成以下形式 设无重极点,且闭环系统稳定(单位圆内) 当时展开得 即 式中 故 以下几种情况的讨论，根据在单位圆内的位置，可以确定的动态响应形势正实轴上的闭环单极点，

22、设为正实数，对应的瞬态分量为 若令 ，则上式可写成 所以，当为正实数时，正实轴上的闭环极点对应指数规律变化的动态过程形式。若，单位圆外，按指数规律发散的脉冲序列；若，单位圆上，为等幅脉冲序列；若，单位圆内，按指数规律收敛的脉冲序列，且越接近原点，越大，衰减越快。(2) 负实轴上的闭环单极点由式可见，当n为奇数时为负；当n为偶数时为正，因此负实轴极点对应的动态响应是交替变号的双向脉冲序列。若，单位圆外，交替发散。若,单位圆上，是交替变号的等幅脉冲序列；若单位圆内，是交替变号的衰减脉冲序列；且越接近原点，衰减越快。 对应实轴上的闭环极点其动态响应形式如下图所示。n××××××n 从图中可见，当闭环实极