人教A版高中数学必修2四章圆与方程信息技术应用用几何画板探究点的轨迹圆教案2

1、与圆有关的运动轨迹的探究活动课教学设计 一、教学目标知识目标：引导学生掌握常见的求轨迹问题的方法，同时增强学生对平面几何图形更直观的认识能力目标：培养学生的创新思维，使学生的解题能力得到进一步的提高，为以后的学习奠定基础。德育目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验。二、教学重难点分析1重点：掌握求轨迹方程的几种基本方法。2难点：如何灵活运用几种方法来解决各种求轨迹问题。三、课时安排1课时四、教学设计课前学习课堂引入学习汇报方法小结巩固提升课堂总结五、教学过程（一）课堂引入引例：公元2064年某月某日,“嘉祥太空夏令营”如期而至。小明代表数学兴趣小组参加了此次活动，并做了

2、一次飞行轨迹的探究实验。驾驶一架国产太空飞行器“神舟1000”以离月球的距离是离地球距离的2倍的位置遨游太空(保持在固定平面内飞行)请问：小明的飞行轨迹是什么图形？问题一：怎么才能正确的知道小明飞行的轨迹是什么图形呢？答：应该先求出飞行轨迹的方程！思考1：怎么求的运动轨迹的方程呢？ 方法一：直接法（二）学习汇报1小组学习汇报（引例）直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧。 方法步骤提炼解：建立如图所示的直角坐标系，设|ab|=2a，则a(-a，0)、

3、b(a，0) 建立拨适当坐标系设任意动点p(x，y) 设动点的坐标pb=2pa 寻找几何关系 几何关系代数化 化简代数式小明的飞行轨迹为以(，0)为圆心r= 的圆。 检验并写出结论小结：当题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系时，求方程可用直接法。方法二：相关点法2小组学习汇报 方法步骤提炼相关点法也称 “ 代入法 ” ，如果轨迹动点p(x，y）依赖于另一动点q（），而q又按某个规律运动，则可先用x，y表示，再把代入它满足的条件便得到动点p的轨迹方程。设动点的坐标（所求动点设为（x，y）；相关点设为（）；寻找两动点的关系，并用x，y分别表示即，；解：设动点m(x，y

4、)，a()m为a、b的中点， （*）将代入满足的方程；a()满足，即将（*）式代入，得整理，检验，写出结论；整理，得点m的轨迹为以（1,2）为圆心，r=1的圆。小结：所求动点因为某一个动点的动而动，则应选择相关点法为先。方法三：定义法3小组学习汇报定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求。方法步骤提炼建系；解：如图， 设m（x，y）oab为直角三角形，m为ab的中点，动点与定点的等量关系满足圆的定义；，即，直接写出结论；所以动点m的轨迹为以原点为圆心，r=a的圆。小结：若动点与定点间的等量关系满足圆的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，写出其方程。方法

5、四：参数法4小组学习汇报如果动点p(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。 思考：什么是参数方程？动点p(x，y)的横、纵坐标分别由参数t表示，即。称方程为动点p的参数方程解：设圆心坐标为则，消去参数，得所以，圆心c的轨迹是以原点为圆心，r=2|a|的圆。思考：怎样将参数方程转化为普通方程（消参）？代入消参平方相加解：设圆心坐标为思考：圆的参数方程？（其中（a，b）为圆心，r为半径）则，消去参数m，得又所以，圆心的轨迹方程为（）。小结：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,

6、y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5小组学习汇报（方法小结）（1）求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法（一般地，一个问题可以有多种方法解决，如例1用的是相关点法，也可以用定义法。在做题时充分理解题意，一般首选直接法或定义法，若不能处理再选择相关点法或参数法。）（2）圆几种经典生成：生成1 ：平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。（定义）生成2 ：平面内到两个定点的距离之比为的点的轨迹是圆。（引例）生成3 ：平面内定长的线段的两个端点分别在两条互相垂直的线上滑动，线段中点的轨迹是圆。（例2）（三）巩固提升1、动点p到直线xy=6的距离的平方等

7、于由两坐标轴及点p到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求p的轨迹方程解：设动点p（x，y）则 s=|x·y|点p到直线x十y=6的距离又，则故p点的轨迹方程为： 当xy0时，方程为当xy<0时，方程为。 2、如图，已知定点a（），点q是圆上的动点，的平分线交于m，当q点在圆上移动时，求动点m的轨迹方程。解：设动点m(x，y)，q ()om为的平分线，则，（*）q ()满足圆，即，将（*）式代入得，整理，得动点m的轨迹方程3、过点p（2，4）作两条互相垂直的直线，若交x轴于a点，交y轴于b点，求线段ab的中点m的轨迹方程。解：设m（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k）

8、 m为ab的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，ab中点为m（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，ab中点为m（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，m的轨迹方程为x2y50。（四）课堂小结（1）求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法（一般地，一个问题可以有多种方法解决，如例1用的是相关点法，也可以用定义法。在做题时充分理解题意，一般首选直接法或定义法，若不能处理再选择相关点法或参数法。）（2）圆几种经典生成：生成1 ：平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。（定义）生成2 ：平面内到两个定点的距离之比为的点的轨迹是圆。（引例）生成3 ：平面内定长的线

9、段的两个端点分别在两条互相垂直的线上滑动，线段中点的轨迹是圆。（例2）（3）学习感悟：六、课后练习 1两条直线与的交点的轨迹方程是 _.2已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点o作圆的弦0a，则弦的中点m的轨迹方程是 3当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为_。4求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_5如图所示，已知p(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，a、b是圆上两动点，且满足apb=90°，求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 解：设ab的中点为r，坐标为(x,y)，则在rtabp中，|ar|=|pr| 又因为r是弦ab的中点，依垂径定理 在rtoar中，|ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2)又|ar|=|pr|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点r在一个圆上，而当r在此圆上运动时，q点即在所求的轨迹上运动 设q(x,y)，r(x1,y1)，因为r是pq的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得