辽宁高考数学文科试题及解析

1、绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3d画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第i卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 则（a） （b） （c） （d）2.复数的模为（a） （b） （c） （d）3.已知点则与向量同方向的单位向量为（a） （b） （c） （d）4.下面是关于公差的等差数列的四个命题： 数列是递增数列； 数列是递增数列； 数列是递增数列； 数列是递增数列；其中的真命题为（a） （b） （c） （d）5.某学

2、校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（a） （b） （c） （d）0.020.0150.010.005频率组距o 20 40 60 80 100 成绩/分6.在，内角所对的边长分别为且，则 a b c d 7.已知函数则a b c d 8.执行如图所示的程序框图，若输入则输出的a b c d 否是开始输入输出s结束9、已知点.若abc为直角三角形，则必有a b c d10、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上. 若则球的半径为a b c d 11、已知椭圆的左焦点为f， 与过原点的直线相交于a,b两点， 连接af,bf.

3、若|ab|=10，|bf|=8，则的离心率为（a） （b） （c） （d）12、已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（a） （b） （c） （d）第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14、已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则 .15、已知为双曲线的左焦点，p,q为上的点.若pq的长等于虚轴长的2倍，点a（5,0）在线段pq上，则pqf的周长为 .16、

4、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设向量（i）若求的值； （ii）设函数求的最大值.18（本小题满分12分）如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点.（i）求证：平面（ii）设q为pa的中点。g为aoc的重心，求证：qg平面pbc.19（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：（i）所取的2道题都是甲类题

5、的概率；（ii）所取的2道题不是同一类题的概率.20（本小题满分12分）如图，抛物线点在抛物线上，过m作的切线，切点为a,b(m为原点时，a,b重合于).当时，切线ma的斜率为.（i）求p的值；（ii）当m在上运动时，求线段ab中点n的轨迹方程（a,b重合于时，中点为）.21（本小题满分12分）（i）证明：当 时，（ii）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ab为直径，直线cd与相切于e.ad垂直于cd

6、于d,bc垂直于cd于c,ef垂直ab于f,连接ae,be.证明：（i）（ii）22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（i）求与交点的极坐标； （ii）设p为的圆心，q为与交点连线的中点.已知直线pq的参数方程为(为参数)，求的值. 22（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数其中（i）当时，求不等式的解集； （ii）已知关于的不等式的解集为，求的值.2013高考数学辽宁卷（文科）解析参考答案一选择题1. 答案b 解析 由已知，所以，选b。2. 答案b 解析由已知所以3 . 答案a解析，所以，

7、这样同方向的单位向量是4 . 答案d解析设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确5 . 答案b 解析第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。6 . 答案a 解析边换角后约去，得，所以，但b非最大角，所以。7. 答案d解析所以，因为，为相反数，所以所求值为2.8 . 答案a 解析的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=9 . 答案c 解析若a为直角，则根据a、b纵坐标相等，所以；若b为直角，则利用得，所以选c10 . 答案c 解析由球心作面abc的垂线，则垂足为bc中点m。

8、计算am=，由垂径定理，om=6，所以半径r=11 . 答案b 解析由余弦定理，af=6，所以，又，所以12 . 答案c 解析顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， a、b分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以a-b=方法技巧（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是a，b在同一个自变量取得。二填空题13. 答案 解析直观图是圆柱中去除正四棱柱。14 . 答案63解析由递增，所以，代入等比求和公式得15 .答案44解析两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为16 .答案10 解析设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，显然各个括号为整数。设分

9、别为，则。设=，由已知，由判别式得，所以，所以.三解答题17解：（）由，.及，得，又，从而，所以.（）,当时，取最大值1，所以的最大值为.18. 解：（）由ab是圆的直径，得，由平面abc，平面abc,得pabc,又paac=a,pa平面pac, ac平面pac,所以证平面pac. （）连接og并延长交ac于点m,连接qm,qo,由g为aoc的重心，得m为ac中点.由q为pa中点，得qmpc,又o为ab中点，得ombc.因为qmmo=m,qm平面qmo,mo平面qmo,bcpc=c,bc平面pbc,pc平面pbc,所以平面qmo平面pbc.因为qg平面qmo,所以qg平面pbc.19. 解：（

10、）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的. 用a表示“都是甲类题”这一事件，则a包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以p（a）= （）基本事件向（i），用b表示“不是同一类题”这一事件，则b包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以p(b)=.20. 解：（）因为抛物线上任意一点（x,y）的切线斜

11、率为，且切线ma的斜率为，所以a点坐标为，故切线ma的方程为 .因为点在切线ma 抛物线c上，于是 由得=2.（）设n(x,y), 由n为线段ab中点知 切线ma、mb的方程为 由得ma、mb的交点m（）的坐标为，因为点m（）在c上，即，所以 由得 当时，a、b重合于原点0，ab重点n为0，坐标满足因此ab中点n的轨迹方程为.21（）证明：记f（x）=当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数. 又，所以当时，即. 记，则当时，所以在上是减函数，则，即.综上，（）解法一:因为当时.所以，当时，不等式对恒成立.下面证明，当时，不等式对不恒成立.因为当时，所以存在（例如取和中的较小值）满足，即当时，

12、不等式对不恒成立.综上，实数的取值范围是解法二:记，则.记，则.当时，因此.于是(x)在0,1上试减函数，因此，当x(0,1)时，(x)(0)=a+2,故当a-2时，(x)<0，从而f(x)在0,1上试减函数，所以f(x)f(0)=0,即当a-2时，不等式对恒成立.下面证明，当a>-2时，不等式对不恒成立.由于在上是减函数，且，当时，所以当时，因此在上是增函数，故当-2<<6sin1-2cos1-时，<0，又>0，故存在使，则当0<<时，>，所以f(x)在0,上是增函数，所以当时，>.所以，当a>-2时，不等式.综上，实数的取值范围是22证明：（）由直线cd与o相切，得cebeab,由ab为o的直径，得aeab,得eab+ebf=；又efab,得feb+ebf=,从而feb=eab，故feb=ceb.（）由bcce,efab, feb=ceb，be是公共边，得，所以.类似可证，得.