向量在初等几何中的应用

1、目录向量在初等几何中的应用1摘要1vector used in elementary geometry2abstract21 绪论32 向量的运算规律与定理和推论32.1 向量加法运算规律42.2向量乘法运算规律42.3向量数性积42.4向量矢性积43 向量在初等几何中的应用实例53.1 向量在处理平行问题时的应用53.2 向量在求点的坐标的问题时的应用63.3 向量在处理线面垂直问题时的应用63.4 向量在处理等距问题时的应用73.5 向量在求解和证明与角度有关问题时的应用93.6 向量在证明正弦定理时的应用9例6.证明正弦定理103.7 向量在解三角形中的应用104 向量在几何问题的研究中

2、的作用11参考文献12向量在初等几何中的应用摘要向量是现代中学数学的重要组成部分，向量既具有代数形式又具有几何形式，在中学平时的练习和考试中，我们通过几何知识很难解决的问题，往往可以运用向量的知识将其转化为数的形式，把抽象的几何问题代数化，利用代数的计算更简单，更直观的解决问题。向量的知识不但在某些解题过程中可以加以运用，而且在初等几何中，只需要利用向量最基本的一些原理，我们就可以证明一些复杂的平面几何甚至立体几何问题以及一些公式定理。本文对这些内容展开讨论。该论文有图6幅，参考文献6篇。关键词：向量 代数化 计算 证明 初等几何vector used in elementary geomet

3、ryabstract the vector is an important part of modern mathematics in secondary schools.vector is both algebraic and geometric forms. in the usual practice exams of secondary schools ,for the problems that are difficult to solve through geometric knowledge,we often use the knowledge to convert it to t

4、he vector making geometry problems algebraic .we find it easier and more intuitive to solve the problem. vector is not only applied in solving problem process , but also in elementary geometry.we can prove some complex geometry,three-dimensional geometry problems and some formula theorem with some o

5、f the basic principles of vector. in this paper,we will discuss these contents. key words: vector algebraic calculate proof elementary geometry1 绪论向量是一种既具有大小又有方向的量，它是作为一种代数的方法来研究几何的重要工具，向量不但可以用来解决平面几何中的问题，还能应用于三维立体几何问题的解决。我们根据初中学过的相关知识知道了平面中两直线平行的判定定理。那么，我们能不能利用向量的方法来判定直线之间的位置关系？在高二必修二的学习中，我们学习了立体几何

6、，那我们是不是也可以用向量的代数特征将这些抽象的问题代数化？或者，我们又能否利用向量的知识来求解三角形中的未知量？我们是不是还能够利用向量最基本的知识原理来证明一些定理呢？以上种种问题，都是本文所要探讨的。2 向量的运算规律与定理和推论2.1 向量加法运算规律（1） （2）（3） （4） 2.2向量乘法运算规律（1） （2） （3） 2.3向量数性积记做2.4向量矢性积记做，它的方向与和都垂直三向量的混合积在右手直角坐标系下用矢量的分量表示向量数性积、向量失性积及三向量的混合积：若 则定理1：设有向线段的始点为，终点为，那么分有向线段成定比的分点的坐标是 推论：设，那么线段的中点坐标是 定理2

7、：两向量与相互垂直的充要条件是定理3：两向量与的共线的充要条件是定理4：三向量、共面的充要条件是3 向量在初等几何中的应用实例研究初等几何的三种主要方法除了综合法、解析法，还有一种就是本文所讨论的向量法。有关几何中位置数量以及等等问题，向量的方法有其独特的优势，利用向量的知识使问题得到简化的例子不胜枚举。3.1 向量在处理平行问题时的应用例1.证明：若一个四边形的两条对角线相互平分，则为平行四边形。 分析：我们考虑利用向量的知识来解决这个问题，首先由题意的和互相平分，我们就可以得到，所以得到，所以我们可以得到和共线，而且由图像就可以看出，两直线不重合，因此就可以得到两直线平行的结论。由因为这两

8、个向量相等，相等向量的模相等，得到这个四边形的一组对边既平行又相等，所以这个四边形是平行四边形。证:设四边形的对角线,且,互相平分，从上图可以看出： 因此， ，且即四边形为平行四边形。 关于平面中两直线平行的证明，我们在初中就给出了几个定理，但是在这道题目中，我们发现，如果利用三角形的全等来解决，似乎很麻烦，也很难想到思路。但是如果我们利用向量的方法，不但思路变得很好找，而且解题过程也会变得十分简单。3.2 向量在求点的坐标的问题时的应用例2.已知三角形三顶点为,求的重心(三角形三条中线交点)的坐标。 分析：本题是对定理1的实际应用，我们知道，三角形的重心把这个三角形的中线分成1:2的两部分，

9、而根据定理1，就可以快速求出这个三角形重心的坐标。解:设的三条中线分别为,其中顶点的对边上的中点为,他们的公共点为,因此有,即重心把中线分为1:2的两段。由中线可知，为的中点,所以根据公式有 ,再根据定理1可得 所以之重心为如果直接根据各线段间的数量关系来求解重心坐标，就需要先设出该坐标，再通过列出关系式，求解方程才能解决问题，而利用定理1的知识，我们很快就可以通过公式解出重心的坐标，不但思路变得特别简单，在计算方面也简化了许多。3.3 向量在处理线面垂直问题时的应用例3证明：若空间内一直线垂直于同一平面内两条相交直线，则该直线垂直于该平面内任意一条直线。 分析:在同一平面中，任意一个向量都可

10、以用两个不相交的向量和表示出来，即，根据题意，我们已经有和互相垂直，同时和也互相垂直，就可以得到且，因此，所以得到和也是互相垂直的，因此结论得证。证： 设一条直线，与平面内两相交直线与都垂直， 接下来，我们求证该直线与平面内任意直线垂直 在直线上分别任取四个非零向量记为、 则由题意得：， 因此， 假设 故 即，表示直线n垂直于直线c 命题得证 对于这类题目，我们可以利用高中所学的立体几何的知识加以解决，但是在解决这道题的过程中我们发现需要找出5个条件才能得出直线垂直于平面的结论，然后由得到的这个结论来证明本题，这样一来，这道题解决起来就会变得相当麻烦。但是如果我们利用向量的方法，用这组相交的向

11、量来表示该平面内任意一个向量，这道题就会变得十分简单。3.4 向量在处理等距问题时的应用例4证明：三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距。分析：由中垂线可得、，所以有，其中可以分解成，和的和，而可以分解成，和的和，最后用这六个向量代入原式，计算可以证得，也就是，从而先证得三条中垂线共点。 再由，得到，。 其中，。分别将和平方，整理后可以得到，因此同理可证 所以有，从而结论得证。下面给出具体证明过程。证：设如图在中为与边垂直平分线交点，分别为与、的中点。 则有、 故由于 所以 得到，即 所以三角形的三条中垂线交于同一点。 因为 得到， 又， 所以 故 因为， 得到 同理可证 因此得到 综上

12、所述，三角形的三条中垂线共点，且该公共点到三角形三个顶点的距离相等。 对于本题的共点问题，如果运用几何的方法，会变得十分的抽象，解释起来也会相当困难。而利用向量的知识，我们只要先将其中的向量按照结论所需的条件进行分解，最后通过具体的计算，就可以得出结论，免去了繁杂的几何证明和很多抽象的解释。这样不但把抽象的几何问题转化成了简单的计算题，而且在理解时也变得更加直观。而对于等距问题，运用三角形全等的知识当然也可以加以证明，但是能够利用向量进行计算证明也是体现了我们数学中解题思维的多样性。3.5 向量在求解和证明与角度有关问题时的应用例5：已知三点， 求：.分析：要求的度数，我们利用向量的积与向量模

13、的积之间的关系，先求出和的积，再求出它们的模的积，最后根据，求得的余弦值，从而得到的度数。解：因为，所以=1 =-3因而 所以本题中，我们先将所要求的角表示成两向量的夹角，再利用两向量的积和它们的模的积之间的关系，很容易求出两向量的夹角的余弦值，从而求出所要求的角的度数。利用向量的知识，本题通过三步简单的计算就可以完成。3.6 向量在证明正弦定理时的应用例6.证明正弦定理分析：在证明正弦定理时，我们可以考虑利用向量的矢量积来求证。下面给出具体的证明过程。 证明：在中，记 显然有 可得 得到 同理可得 所以得到 所以定理得证。 正弦定理有很多种证明方法，但无论是转化为直角三角形还是作外接圆，证明

14、过程都比较繁杂，但是利用向量的知识，我们只需利用向量积的知识就可以轻松解决，相比较其他几种证明方法，显得更加简洁直观。3.7 向量在解三角形中的应用例7已知空间三点，试求（1）的面积；（2）三角形的边上的高。 分析：我们可以先利用向量的矢量积求得平行四边形的面积，从而求得的面积。而对于求解三角形的高，因为与垂直，所以=,通过计算可以求得，即所要求的高。解：（1），所以从而 所以。（2）因为的边上的高即是的边上的高，所以 又因为 所以. 对于求解面积的问题，利用向量的矢量积可以直接解决，而对于求解高的问题利用等式，在垂直的条件下得到夹角的正弦值为1，从而可以快速求得高的长度。4 向量在几何问题的

15、研究中的作用向量和复数是存在着联系的。平面向量和复数都可以表示一个复平面上的点，但是不同的是，向量还可以拓展到三维空间，这一点在与几何（尤其是立体几何）的解题过程中的应用表现得更加突出。向量不仅仅在数学中具有举足轻重的地位，在物理学中，我们也早就接触过向量的知识并且我们知道高中物理就对向量有着很高的要求，向量区别于我们以前学过的标量，它既具有大小（代数特点），又具有方向（几何特点），是代数和几何相结合的产物，具有“数形结合”的特点。我们在学习中通过各种解题方法的对比可以发现，利用向量，很多难题会迎刃而解。这实际上就是向量对抽象的几何问题进行了简化的原因。与此同时，我们还知道，在中学数学课程中，

16、几何一直占据着很重要的地位，有时候，我们用常规的几何方法去解决一些复杂的题目时往往很难解决，甚至是找不出一点思路，在这个时候，我们就可以尝试着利用向量把形与数进行转化，把一道抽象的几何题用代数的形式加以叙述，那么，思路就会很简单了。甚至，我们可以利用向量的知识来证明一些命题或者定理，例如文中3.6的定理证明。 在我们处理平面几何问题的时候，向量有着它独特的优越性，利用平面向量的知识，不等式、三角、复数、物理、测量等某些复杂问题可以很容易的解决。很显然，向量在应用于平面几何时，能够将平面几何许多问题代数化、程序化，从而高效的解决这些问题，体现了数学中数与形的完美结合，以及思维的多样性。向量在解决

17、空间几何的问题时更具有它的独特性，在高考卷的前半卷中，会有一道立体几何的证明题，我们一般会通过寻找条件，当满足所有条件时，就可以证明结论。但是当我们遇到特别复杂的题目时，这些条件就会变得似乎不是那么好找，此时，如果我们建立坐标系，将一个抽象的立体图形转化成一系列坐标和向量。那么，题目是不是就变得简单多了？因此，在处理特别复杂的立体几何问题时，向量法是一个很不错的选择。包括在证明一些定值，等距等等问题上，利用向量的知识都会事半功倍。思路清晰、过程简洁是用向量的知识来解决几何题的最大特点。很多意想不到的神奇效果就是靠转换思路产生的。由此可见，转换思路和方法尤为重要。在中学，向量的教学需要被重视，学生在学习向量的过程中会遇到很多问题，作为老师，我们要认真分析然后指定相应的解决方案，最后积累教学经验，以帮助学生学习。这样可以让学生的思维变得灵活多变，还可以教授学生学习方法，减缓学生学业上的压力。参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（上册）m.3版.北京：高等教育出版社