理论力学第十章质心运动定理教育研究

1、hohai universityhohai university engineering mechanics质心运动定理质心运动定理动量定理动量定理 第十章第十章 1章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics质点运动微分方程质点运动微分方程：求解单个质点动力学问题、简单质点系动力学问题求解单个质点动力学问题、简单质点系动力学问题动力学普遍定理：动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理等动量定理、动量矩定理、动能定理等在许多实际问题中，并不需要求出质点系中每个质在许多实际问题中，并不需要求出质点系中每个质点的运动，而

2、只有知道整个质点系运动的某些特征点的运动，而只有知道整个质点系运动的某些特征就够了。因此，本章将建立描述描述整个就够了。因此，本章将建立描述描述整个质点系质点系运动特征的一些物理量运动特征的一些物理量（如动量、动量矩、如动量、动量矩、动能等动能等），并建立作用在），并建立作用在质点系上质点系上的的力力与这些与这些物理量的变化率物理量的变化率之间的关系，这些关系统称为之间的关系，这些关系统称为动力学普遍定理动力学普遍定理2章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics 质点系在力的作用下，其运动状态不但与各质质点系在力的作用下

3、，其运动状态不但与各质点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。1 1 质心运动定理质心运动定理质量中心质量中心是反映质点系是反映质点系质量分布特征质量分布特征的物理量之的物理量之一。一。3章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics（一）质量中心（一）质量中心（质心或惯性中心质心或惯性中心） iiicmrmr iiiciiiciiicmzmzmymymxmx问题：问题：系统由几个系统由几个刚体刚体构成，每个刚体质心位置已知，构成，每个刚体质心位置已知，1. 1. 系统质心如何确定？系

4、统质心如何确定？2. 2. 质心的速度如何确定？质心的速度如何确定？3. 3. 质心的加速度如何确定？质心的加速度如何确定？ ciicrmrm ciicvmvm ciicamam4章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics在重力场内，质心与重心重合在重力场内，质心与重心重合质心坐标质心坐标 wzwzwywywxwxiiciiciic质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在5章节课堂hohai universityhohai university engineering mech

5、anics（二）质心运动定理（二）质心运动定理iiifdtrdm 22对每个质点对每个质点求和求和 iiifdtrdm22 222222rrrdtdmmdtdmdtdccii 左边 iieiiieiffff右边系统外部对系统外部对i质点的合力质点的合力系统内部其它系统内部其它所有质点对所有质点对i质质点的合力点的合力 eiccfdtrdmam226章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics eiccdtrdmamf22质心运动定理质心运动定理对于刚体系统：对于刚体系统： eiciicamamf7章节课堂hohai uni

6、versityhohai university engineering mechanics结论：结论：2. 2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运无论刚体（系）、质点系做何形式的运动，此定理成立。动，此定理成立。1. 1. 质心质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定像一个质点一样遵循牛顿第二定理理”。质心运动定理质心运动定理3. 3. 质心的质心的运动运动仅与质系的仅与质系的外力有关外力有关，与与内力无关。内力无关。 eiccdtrdmamf228章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics根据质心运动定理，某些质点系动力学

7、问题可以根据质心运动定理，某些质点系动力学问题可以直接用质点动力学理论来解答。如刚体平移。直接用质点动力学理论来解答。如刚体平移。刚刚体平移问题完全可以看作为质点问题来求解。体平移问题完全可以看作为质点问题来求解。质点系的复杂运动总可以看作质点系的复杂运动总可以看作随同质心的运随同质心的运动与相对于质心的运动动与相对于质心的运动（相对于随同质心平（相对于随同质心平移的坐标系的运动）两部分合成的结果。应用移的坐标系的运动）两部分合成的结果。应用质心运动定理求出质心的运动，也就确定了质质心运动定理求出质心的运动，也就确定了质点系随同质心的平移。点系随同质心的平移。9章节课堂hohai univer

8、sityhohai university engineering mechanics eizcczeiyccyeixccxfdtzdmmafdtydmmafdtxdmma222222直角坐标表示法：直角坐标表示法： eibcbeinccneiccfmafvmmafdtdvmma02 自然表示法：自然表示法： eiccdtrdmamf22质心运动定理的表示方法质心运动定理的表示方法10章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics eizciziczeiyciyicyeixcixicxfammafammafamma直角坐标表示

9、法：直角坐标表示法：0 cbeinicnicneiicicmafammafamma 自然表示法：自然表示法： eiccdtrdmamf22质心运动定理的表示方法质心运动定理的表示方法( (刚体刚体) )11章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics特殊情形：特殊情形： 1 1、若、若0 eif则则0 caconstvc 这表明若作用于质系的所有外力矢量和恒这表明若作用于质系的所有外力矢量和恒为零，则为零，则质心作惯性运动质心作惯性运动。 这表明若作用于质系的所有外力在某固定轴这表明若作用于质系的所有外力在某固定轴上投影的

10、代数和恒为零，则上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上质心速度在该轴上的投影保持不变。的投影保持不变。 这两个结论称为这两个结论称为质心运动守恒定理。质心运动守恒定理。2、若若 0exif则则0 cxaconstvcx eiccdtrdmamf22外力为零速度为常数外力为零速度为常数12章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsff问题问题1 1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用位置不同（如图

11、示），哪个圆盘跑得更快？位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？问题问题2：ab、ac为两相同为两相同的均质杆，每根质量为的均质杆，每根质量为m。系统初始时刻静止于光系统初始时刻静止于光滑的水平桌面，受大小滑的水平桌面，受大小为为f的力作用如图示。问的力作用如图示。问a点的加速度等于？点的加速度等于？fabc13章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics例例1 1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问问m1下降下降h时，时，m4水平移动多少？水平移动多少？解：解：1.1.建立坐标系

12、建立坐标系m1m2m3m4oxy记四个物块的质心初始时刻记四个物块的质心初始时刻坐标分别为坐标分别为x1、 x2、 x3、 x4。2.2.质心运动定理质心运动定理0 eixcxcxfdtdvmma由由constvcx 得而初始时刻系统静止而初始时刻系统静止0 cxvconstxvdtdxccxc 0 又所有的外力都竖直向下，所以所有的外力都竖直向下，所以14章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsm1m2m3m4oxy初始时刻质心坐标：初始时刻质心坐标：4321443322110mmmmxmxmxmxmxc m1下降下

13、降h时，假设时，假设m4向左水平移动向左水平移动s: : 4321443322111mmmmsxmscoshxmshxmsxmxc 43213201 mmmmcoshmhmsxxcc 得由解：解：例例1 1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问问m1下降下降h时，时，m4水平移动多少？水平移动多少？记四个物块的质心初始时刻记四个物块的质心初始时刻坐标分别为坐标分别为x1、 x2、 x3、 x4。15章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsfy例例2:2:电动机重电动机重w1，外

14、壳用螺栓固定在基础上，如图，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长所示。另有一均质杆，长l，重，重w2，一端固连在电动，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重w3的小球。的小球。设电动机轴以匀角速设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于电转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。动机的最大总水平力及铅直力。解：解： 1.1.取坐标系取坐标系oxy2.2.任意时刻质心坐任意时刻质心坐标标321322wwwtsinlwtsinlwxc 321322wwwtcoslwtcoslwyc fxw1w3w216章节课堂hohai u

15、niversityhohai university engineering mechanics例例2:2:电动机重电动机重w1，外壳用螺栓固定在基础上，如图，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长所示。另有一均质杆，长l，重，重w2，一端固连在电动，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重w3的小球。的小球。设电动机轴以匀角速设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。电动机的最大总水平力及铅直力。解：解：3. 3. 质心加速度质心加速度tcos)www(l )ww(dtydtsin)

16、www(l )ww(dtxdcc 32123222321232222222 fyfxw1w3w217章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics3212232122321wwwfdtydgwwwfdtxdgwwwycxc 4. 4. 质心运动定理质心运动定理例例2:2:电动机重电动机重w1，外壳用螺栓固定在基础上，如图，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长所示。另有一均质杆，长l，重，重w2，一端固连在电动，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重w3的小球。的小

17、球。设电动机轴以匀角速设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。电动机的最大总水平力及铅直力。fyfxw1w3w218章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsfy解解：tlgwwfxsin22232tlgwwwwwfycos22232321静反力静反力附加动反力附加动反力例例2:2:电动机重电动机重w1，外壳用螺栓固定在基础上，如图，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长所示。另有一均质杆，长l，重，重w2，一端固连在电动，一端固连在电动机轴上，并与机轴

18、垂直，另一端刚连一重机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重w3的小球。的小球。设电动机轴以匀角速设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。电动机的最大总水平力及铅直力。fxfyw1w2w3动力学中约束力动力学中约束力静约束力静约束力动约束力动约束力19章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics蛙式打夯机蛙式打夯机振动块振动块20章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics解：解：另外一种解法另外一种

19、解法ac2ac3 cixicxammatsinagwtsinagwcc 3322 tsinlgww 23222 xf 同理，求得同理，求得tcoslgwwwwwfy 23232122 fyfxw1w3w2a3a221章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics解：解：aoaa600例例3:3: 质量质量m，半径，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，的均质圆轮在一个力偶作用下，沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点a的加速度的加速度为为aa，方向如图。试求：（，方向如图。试求：（1 1）质心的

20、加速度；（）质心的加速度；（2 2）圆轮所受摩擦力的大小。圆轮所受摩擦力的大小。1 1运动分析运动分析( (轮作平面运动轮作平面运动)2)2、质心加速度、质心加速度以以o为基点为基点naoaooaaaaa oa 2ra, raranaoaoo 其中其中 raraaa213 232 解得解得23aoaa aoanaoaoaxy 投影方程投影方程r/arr/aaa 2322x轴轴y轴轴求加速度必须用基点法求加速度必须用基点法22章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics2.2.受力分析受力分析coa23aoaa gmfnfm

21、3.3.质心运动定理质心运动定理fmao amaf23 解解：例例3:3: 质量质量m，半径，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，的均质圆轮在一个力偶作用下，沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点a的加速度的加速度为为aa，方向如图。试求：（，方向如图。试求：（1 1）质心的加速度；（）质心的加速度；（2 2）圆轮所受摩擦力的大小。圆轮所受摩擦力的大小。23章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsa450becd练习练习1： 质量质量5050kg，长度，长度2 2 m的均质杆的均质杆a端

22、搁在光滑水平端搁在光滑水平面上，另一端面上，另一端b与水平杆与水平杆bd铰接并用铅直绳铰接并用铅直绳be悬挂。已知系悬挂。已知系统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，b点的加速度为点的加速度为7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对ab杆的反力。杆的反力。bd杆质量不计。杆质量不计。2a450becd解解：1. 1. 受力分析受力分析；fnmgfbd2. 2. 运动分析运动分析； aaababaababatcb以以b为基点，分析为基点，分析a点加速度：点加速度：ybabayacosaa 0450 2ba 再以再以b

23、b为基点，分析为基点，分析c c点加速度：点加速度：bcbcyacosaa 045 2bcyaa 24章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsa450becd2a450becd解：解：fnmgfbdacyy2bcyaa 3. 3. 质心运动定理；质心运动定理；mgfmancy 得：得：)(.ammgmamgfbcyn n253062练习练习1： 质量质量5050kg，长度，长度2 2 m的均质杆的均质杆a端搁在光滑水平端搁在光滑水平面上，另一端面上，另一端b与水平杆与水平杆bd铰接并用铅直绳铰接并用铅直绳be悬挂。已知

24、系悬挂。已知系统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，b点的加速度为点的加速度为7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对ab杆的反力。杆的反力。bd杆质量不计。杆质量不计。25章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics2 2 质点系动量、冲量质点系动量、冲量1. 1. 质点的动量质点的动量vmp 2. 2. 质点系动量质点系动量 iivmp质系在某瞬时的动量等于该瞬时质系所有质点质系在某瞬时的动量等于该瞬时质系所有质点动量的矢量和。动量的矢量和。

25、cvm 也等于质系质量与质心速度的乘积。也等于质系质量与质心速度的乘积。量纲：量纲：ml/t单位：单位：kgm/s 或或 ns26章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics2 2 质点系动量、冲量质点系动量、冲量质点系动量质点系动量ciivmvmp 对于对于刚体系统刚体系统，若各刚体质心的速度已，若各刚体质心的速度已知，则整个刚体系统的动量为：知，则整个刚体系统的动量为： ciicvmvmp ciziczzciyicyycixicxxvmmvpvmmvpvmmvp27章节课堂hohai universityhohai u

26、niversity engineering mechanics例例4 4：均质丁字杆重均质丁字杆重w，abod2a，已已知知 ，求杆在图示瞬时的动量。，求杆在图示瞬时的动量。vcoc = a/2解：解法一解：解法一解法二解法二odabppp agwppod2 agwmvpc2 方向沿方向沿vc先确定刚体的质心位置：先确定刚体的质心位置：则则：由于由于ab部分质心在部分质心在o点，因此动量为零，则：点，因此动量为零，则：方向沿方向沿vc cosagwpsinagwpyx22 28章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics练

27、习练习2 2：已知物体已知物体a的速度，求图示刚体系统的的速度，求图示刚体系统的动量。设绳与轮间无滑动。动量。设绳与轮间无滑动。cmamembavbvcvxy解：解： sinvremmvpacxx rrva aabbyvmvmcosemp abacvv;vreev aaabavmvmcosvrem jipyxpp 29章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics2 2 质点系动量、冲量质点系动量、冲量1. 1. 常力的冲量常力的冲量：tfi 冲量是力在一段时间内作用的累积的度量。冲量是力在一段时间内作用的累积的度量。物理学

28、中称之为物理学中称之为过程量过程量。量纲及单位与动量相同。量纲及单位与动量相同。kg.m/s 或或n.s30章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics2 2 质点系动量、冲量质点系动量、冲量元冲量元冲量tdd fi 2121ttttdtfidi冲量冲量 212121ttzzttyyttxxdtfi;dtfi;dtfi2. 2. 变力的冲量：变力的冲量：将上式向固定坐标轴上投影将上式向固定坐标轴上投影：31章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics元

29、冲量元冲量dtd fi2121ttttdtdfii冲量冲量 21ttidtfi ii2. 2. 变力的冲量：变力的冲量：在任一段时间内，合力的冲量等于在任一段时间内，合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。所有分力的冲量的矢量和。若作用于质点的力是若干个分力的合力，有：若作用于质点的力是若干个分力的合力，有：2 2 质点系动量、冲量质点系动量、冲量32章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics例例5 5：已知力已知力f15kn，f22sin( t)kn，求二力在，求二力在4 4s内的合冲量。内的合冲量。xy解：解： 21t

30、tixxt dfi 212120130ttttt dft dcosfskn317 .skn1043001 sinfiy33章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics3 3 动量（冲量）定理动量（冲量）定理质点质点 fdtvmd 质点系质点系 iieiiiffdtvmdi 2112ttdtfvmvm iieiiiffdtvmd eifdtdp质点系的动量定理质点系的动量定理：质点系的的动量对时间的质点系的的动量对时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和导数，等于作用于质点系的外力的矢量和微分式微分式积分式积分式34章节课

31、堂hohai universityhohai university engineering mechanics eizzeiyyeixxfdtdp,fdtdp,fdtdp动量定理在直角坐标系的投影动量定理在直角坐标系的投影iziziyiyixixvmp,vmp,vmp 其中其中质点系动量定理的积分形式（质点系的冲量定理）质点系动量定理的积分形式（质点系的冲量定理） eitteiidtfpp211235章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics eiipp12积分形式的质点系动量定理积分形式的质点系动量定理，也称为质点系质

32、点系的冲量定理：的冲量定理：质点系动量在某个时间间隔内的改变质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力的冲量。量等于质点系所受外力的冲量。微分形式微分形式的的质点系动量定理质点系动量定理：质点系的动量对时质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力的矢量和。间的变化率等于质点系所受外力的矢量和。若作用于质系上外力的矢量和恒为零，若作用于质系上外力的矢量和恒为零，则则质系动量守恒质系动量守恒。 eifdtdp36章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsca例例6 6：三棱柱质量三棱柱质量m2，置于光滑地面上；质

33、量，置于光滑地面上；质量m1、半、半径径r的圆柱在其上纯滚动，系统初始时刻静止。试求的圆柱在其上纯滚动，系统初始时刻静止。试求圆心圆心c相对于三棱柱速度为相对于三棱柱速度为vr时，三棱柱的速度。时，三棱柱的速度。m1gm2gfnvavrva解：解：由受力分析可知系统由受力分析可知系统水平方向的动量守恒，即水平方向的动量守恒，即px=const。由初始条件可知，由初始条件可知， px=0=0。xcxcxvmvmp2211 xarxvmvm21 以以c为动点，三棱柱为动系，可知：为动点，三棱柱为动系，可知：arxcvcosvv 1 021 aarxvmvcosvmp 211mmcosvmvra ：

34、得得质心的速度为绝对速度质心的速度为绝对速度37章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics解：解：动量定理求解动量定理求解tcosvgwtcosvgwpx 3322 tcoslgwtcoslgw 322tsinlgwtsinlgwpy 322xxfdtdp tsinlgwwfx 23222 321wwwfdtdpyy tcoslgwwwwwfy 23232122 fyfxw1w3w238章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanics例例8 8：水流流过

35、弯管时，在水流流过弯管时，在ab、cd面处平均流速分别为面处平均流速分别为 、 （大小以（大小以m/s计），已知体积流量计），已知体积流量 qv( (m3/s),),水密度为水密度为 （kg/m3）, ,若水流是恒定的即水流流过管内每一点的速度若水流是恒定的即水流流过管内每一点的速度不随时间改变，因而流量是常量。求水流对弯管的动压力。不随时间改变，因而流量是常量。求水流对弯管的动压力。1v2v解：解： 对于水之类的流体，对于水之类的流体，分析时总是假想取出其分析时总是假想取出其中的一部分作为质点系中的一部分作为质点系来考察。现在知道水流来考察。现在知道水流在在ab、cd两断面处的两断面处的速度

36、，所以速度，所以取取ab、cd两断面之间的流体两断面之间的流体abcd作为考察的质点系。作为考察的质点系。因为是根据速度的变化来求动压力，所以用动量定理来因为是根据速度的变化来求动压力，所以用动量定理来求解。设经过求解。设经过t后，流体由后，流体由abcd位置运动到位置运动到abcd位置位置.l流体在两个位置的速度不同，动量也相应改变，根据动流体在两个位置的速度不同，动量也相应改变，根据动量的改变可以求出管壁作用于流体的力，就是流体作用量的改变可以求出管壁作用于流体的力，就是流体作用于管壁的力。于管壁的力。39章节课堂hohai universityhohai university engineering mechanicsabcdabcdpppp1212abcdababcdcdabcdppppababcdcdpp12vv tqv12vvfvqttqvfffwvv21121221vvffwfvq计算质点系动量的改变计算质点系动量的改变w因水流是恒定的，流量是常量，故在时间因水流是恒定的，流量是常量，故在时间t内流经内流经ab、cd两断面的体积都是两断面的体积都是qvt，质量都是，质量都是 qvt，由于时间隔很小由于时间隔很小可