241逆变换与逆矩阵

1、§2.4.1逆变换与逆矩阵教学目标：1、知识与技能：理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。理解逆矩阵的唯一性和 (ab)-1b-1a-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。会从几何变换的角度求出ab的逆矩阵。会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。2、过程与方法：通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.3、情感态度与价值观：使用通俗的语言和丰富有趣的实例来循序渐进地展开教学内容，以此来激发学生的学习兴趣；通过设置思考与探究，来给学生创设思考与探究的空间.重点难点：1、教学重点：逆矩阵及其求法。

2、2、教学难点：逆矩阵的求法。教学方法：自主合作探究教具准备：多媒体设备教学过程：问题探究、引入概念【情境】我们知道二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点p(x,y)变换到点p(x，y).反过来，如果已知变换后的结果p(x，y)，能不能“找到回家的路（逆变换）”，让它变回到原来的点p(x,y)呢？从变换的结果来看，虽然经历“走过去”又“走过来”的两次变换，但是最终还是回到原地，变回为“自己”.由于每个矩阵对应着一个几何变换，这两次连续的变换却又对应着两个矩阵的积，于是，上面的问题就变成了已经知道了矩阵a，我们能否找到一个矩阵b，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同.【引入例】对于

3、下列给出的变换矩阵a，是否存在变换矩阵b，使得连续进行两次变换（先ta后tb）的结果与恒等变换的结果相同？以x轴为反射轴作反射变换；绕原点逆时针旋转60°；横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；沿y轴方向，向x轴作投影变换；纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x,y)(x+2y,y)的切变变换；解：对于反射变换ta，满足条件的变换就是它自身，即ba.对于旋转变换ta，存在旋转变换tb，b为绕原点顺时针旋转60°的变换矩阵.对于伸压变换ta，存在变换tb，它对应着使平面内的点保持横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的1/2的变换矩阵b.对于投影变换

4、ta，不存在满足条件的变换矩阵b.对于切变变换ta，存在切变变换tb，它对应着使得平面内的点保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x,y)(x2y,y)的变换矩阵b.合作学习、形成概念【逆矩阵的定义】对于二阶矩阵a，b，若abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵.【说明】当一个矩阵a表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。b为a的逆矩阵，则a也是b的逆矩阵；若a是可逆的，则a的逆矩阵是唯一的，记为a1.假设b1，b2都是a的逆矩阵，则ab1b1ae，ab2b2ae，所以b1eb1(b2a)b1b2(ab1)b2eb2【思考】m的逆矩阵m1和函数y=f(x)的反函数y=f

5、1(x)有什么异同？mm1m1me，f1f(x)x，f f1 (x)x.【若a可逆，则求a1的方法】几何变换：待定系数法：若则a1.若二阶矩阵a，b均存在逆矩阵，则ab也存在逆矩阵，且(ab)1b1a1.【证明】由于二阶矩阵a，b均存在逆矩阵，它们分别为a1，b1，故aa1a1ae，bb1b1be(ab)(b1a1)a(bb1)a1aea1aa1e，(b1a1) (ab)b1(a1a)bb1ebb1be，因此，(ab)1b1a1.若a，b，c为二阶矩阵，且abac，若矩阵a存在逆矩阵，则bc.【证明】因为矩阵a存在逆矩阵，故aa1e，于是beb(a1a)ba1(ab)a1(ac)(a1a)cc

6、【思考】如果二阶矩阵a存在逆矩阵，且baca，那么bc成立吗？成立，证明同上学以致用、深化概念【例1】用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.；.【分析】矩阵a是反射变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵b为伸压变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵c是旋转变换矩阵，它存在逆矩阵，；矩阵d是投影变换矩阵，它不存在逆矩阵.【评析】：【例2】求矩阵的逆矩阵.【分析】（待定系数法），设，利用aa1e得到关于x,y,z,w的方程组，求解即得。【评析】：【例3】求解矩阵ab的逆矩阵；.【分析】【例4】已知变换，试将它写成坐标变换的形式；已知变换，试将它写成矩阵乘法的形式.【解】自主探究、巩固概念 总结反思、提高认识1.对于二阶矩阵a，b，若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵.【说明】b为a的逆矩阵，则a也为b的逆矩阵.若二阶矩阵a存在逆矩阵b，则a的逆矩阵是唯一的，通常记a的逆矩阵为a1_，且a1b.当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。2.求二阶矩阵a的方