高一数学必修四课件1.4.2正余弦函数的性质教学校园

1、正弦函数的图像正弦函数的图像余弦函数的图像余弦函数的图像x22322523yo2322531 1x22322523yo2322531 1新课导入新课导入1教资优选2教资优选教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 能理解周期函数，周期函数的周期和最能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；理解三角函数的奇、偶性小正周期的定义；理解三角函数的奇、偶性和单调性。和单调性。 3教资优选 过程与方法过程与方法 掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。掌握正、余能求出正、余弦函数的最小正周期。掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能

2、求出正、余弦函弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。数的单调区间。 4教资优选 能够根据函数图像而导出周期性，领会从特能够根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣。蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣。 激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。的科学学习态度和勇于创新的精神。 情感态度与价值观情感态度与价值观5教资优选 正、余

3、弦函数周期性的理解与应用；正、正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。 正、余弦函数的周期性；正、余弦函数正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。的奇、偶性和单调性。教学重难点教学重难点 重点：重点： 难点：难点：6教资优选余弦曲线：余弦曲线：y = cosx xrxy1- -1 正弦曲线：正弦曲线：y = sinx xrxy1- -1 一、观察函数周期性一、观察函数周期性7教资优选 周期函数定义：对于函数周期函数定义：对于函数f (x) )，如果，如果存在一个非零常数存在一个非零常数t，使得当，使得当x x

4、取定义域内取定义域内的每一个值时，都有的每一个值时，都有 f (x+t)=f (x) 那么，那么，函数函数f (x)就叫做周期函数，非就叫做周期函数，非零常数零常数t叫做这个函数的周期。叫做这个函数的周期。8教资优选 1、t要是非零常数；要是非零常数； 、“每一个值每一个值”只要有一个反例，则只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数就不为周期函数（如如f (x0+t) f (x0)）；）； 3、周期函数的周期周期函数的周期t t往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,-2 ,-4 ,都是周期）；都是周期）； 4、周期周期t中最小的正数叫做中最小的正数叫做f (x)的最小的最

5、小正周期（有些周期函数没有最小正周期）。正周期（有些周期函数没有最小正周期）。9教资优选正弦曲线：正弦曲线：sinyxxr xy1- -1 周期性：周期性： 正弦函数是周期函正弦函数是周期函 ，最小，最小正周期是正周期是 且且 2k(kzk0)2。10教资优选周期性：周期性：余弦曲线：余弦曲线：cosyxxr xy1- -1 余弦函数的周期为余弦函数的周期为 ，最小，最小正周期是正周期是且2k(kzk0)。211教资优选例例1.1.求下列函数的周期求下列函数的周期. .3cos ,12sin(),26yx xryxxr(1);(2)。12教资优选(1) 3cos(2 )3cosxx 由周期函数

6、的定义知道，原函数的周期为由周期函数的定义知道，原函数的周期为2 。(2) 112sin (4 )2sin() 2 262612sin()26xxx 由周期函数的定义知道，原函数的周期为由周期函数的定义知道，原函数的周期为4 。解：解：13教资优选函数函数 的周期是的周期是函数函数 的周期是的周期是sin()yax2;cos()yax2。注：由上面的得出：注：由上面的得出：14教资优选正弦函数的图像正弦函数的图像二、观察正余弦函数图像奇偶性二、观察正余弦函数图像奇偶性余弦函数的图像余弦函数的图像问题：它们的图像有什么特征？问题：它们的图像有什么特征？x22322523yo23225311x22

7、322523yo2322531115教资优选x22322523yo23225311pp 这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合度后所得的曲线能够和原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称。即正弦函数关于原点对称。正弦函数是奇正弦函数是奇函数。函数。正弦函数的图像正弦函数的图像16教资优选 正弦曲线是正弦曲线是中心对称中心对称图形，其所有的图形，其所有的对称中心坐标为对称中心坐标为 。(k,0) (k) 同时还是同时还是轴对称轴对称图形，其所有的对称图形，其所有的对称轴方程是轴方程是 。x=k+ (k)2 17教资优选观察余弦函数的

8、图像观察余弦函数的图像ppx22322523yo23225311 这说明若将余弦曲线延着 y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合 ，即余弦曲线关于y轴对称。余弦函数是偶函数。余弦函数是偶函数。18教资优选 余弦曲线是余弦曲线是中心对称中心对称图形，其所有的对称图形，其所有的对称中心坐标为中心坐标为 。(k+,0) (k)2 同时还是同时还是轴对称轴对称图形，其所有的对称图形，其所有的对称轴方程是轴方程是 。x=k (k)19教资优选)()(21xfxf三、复习函数的单调性三、复习函数的单调性 函数若在函数若在 指定区间任取指定区间任取 ，且且 ，都有：，都有：( ),yf x , , 12xx2

9、1xx 单减函数单减函数2、 ，则，则f(x)在这个区间上是在这个区间上是_12( )()f xf x1、 ，则则 f(x) 在这个区间上是在这个区间上是_；单增函数单增函数20教资优选 函数的单调性反映了函数在一个区函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。间上的走向。 请认真观察正余弦函数的图像，看请认真观察正余弦函数的图像，看看其是否具有这类性质？看其是否具有这类性质？21教资优选先看正弦函数图像先看正弦函数图像53 3 5-,- - 222 222、， 、，当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sinsin的值由的值由 增大到增大到 。11753 35 7-,-

10、- ,22222222、，、 ，、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降，sinsin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yo2322531122教资优选由正弦函数的周期性知：由正弦函数的周期性知： 正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间-+2k,+2k(kz)22都是都是增函数增函数，其值从，其值从1 1增大到增大到1 1；而在每个闭区间而在每个闭区间3+2k,+2k(kz)22上都是上都是减函数减函数，其值从，其值从1 1减小到减小到1 1。 我们在来观察余弦函数的图像，看看是我们在来观察余弦函数的图像，看看是否有类似的特征。否有类似的特征。23教资优

11、选再来观察余弦函数图像再来观察余弦函数图像-3,-2 - 0 23,4、 ，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，coscos的值由的值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sinsin的值由的值由 减小到减小到 。11-2,- 0 2 3、， 、 ， 当当 在区间在区间x上时，上时，x22322523yo2322531124教资优选由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：函数函数，其值从其值从1 1减小到减小到1 1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是上都是减减2k,(2k +1)其值从其值从1 1增大到增大到1 1 ；在每个闭区间在每个闭区间

12、(2k -1),2k都是都是增函数增函数， 当当x xr r时，即在整个定义域内并不单调，图时，即在整个定义域内并不单调，图像时而上升，时而下降，存在规范的单调区间像时而上升，时而下降，存在规范的单调区间. .由于它们是周期函数，因此在考虑函数增减的由于它们是周期函数，因此在考虑函数增减的问题时，只要研究一个周期即可。问题时，只要研究一个周期即可。25教资优选四、函数的最大值与最小值四、函数的最大值与最小值 正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取得最大时取得最大值值1 1，正弦函数当且仅当，正弦函数当且仅当 时取得最小时取得最小值值-1-1。=+ 2k(kz)2x 3=+ 2k(kz)2x 余

13、弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取得最大值时取得最大值1 1，余弦函数当且仅当，余弦函数当且仅当 时取得最小时取得最小值值-1-1。= 2k(kz)x= +2k(kz)x26教资优选不求值，判断下列各式的符号不求值，判断下列各式的符号. .)10sin()18sin(1、23172cos(-)-cos(-)54、分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。一单调区间后再作判断。

14、例例2 2：27教资优选 sin(-)sin(-)sin(-)0.sin(-)-sin(-)0.1018181010181810解：解：（1） -,-,且且y =siny =sin 在在-,-,上上增增函函数数. .2101822 22101822 2xx22322523yo2322531128教资优选2323 2323 3 3 (2)cos(-)=cos=cos(2)cos(-)=cos=cos5555551717 1717 cos(-)=cos=coscos(-)=cos=cos444444 3 3 00 , ,且且y =cosy =cos 在在0,0, 上上是是减减函函数数, ,4545

15、x3 3 3 3 coscoscoscos即即coscoscos0,cos0,54545454。2323 1717 cos(-)-cos(-)0cos(-)-cos(-)0545429教资优选例例3 3 求函数求函数1sin(), 2,223yxx的单调增区间 解:令1z =+.y = sinz23函数的单调递增区间是x2 ,2 32kk由12 2 2232kxk 得：5-+ 4kx+ 4k,kz3330教资优选5k = 0,-x,33取得而5 -2,233，5 -,33。,因此1y = sin(x +),x-2,223的单调增区间是函数函数31教资优选例例4 4 求下列函数的单调区间：求下列

16、函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函数在 上单调递减；上单调递减； +2k , +2k ,k z-22函数在函数在 上单调递增。上单调递增。 +2k , +2k ,k z23232教资优选 (2) y=3sin(2x- )4 2k2-2k +42 x3k -k +88x32k+2k+222x -437k +k +88x单调增区间为单调增区间为;3k -,k +88所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为37k +,k +88。33教资优选 (3) y= (tan )89 sin2x解：解：90 tan 18单调减区间为单

17、调减区间为;k -,k +44单调增区间为单调增区间为3k +,k +44。34教资优选 (4) 1211log cos()234yx解：解：定义域定义域12k-+2k+2342x12k-+2k234x936k-6k-,kz44x当当即即为减区间；为减区间；2k+2k+342x936k-6k+,kz44x当当即即为增区间。为增区间。936k- 6k+,kz44尬x35教资优选(5) y = -| sin(x+ )|4 解：解：令令x+ =u , 4则则 y= -|sinu| 大致图象如下：大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=- |sinu|u2o1y-12222323减区间为减区间为挝k -,k2u,kz;增区间为增区间为k,k +,kz2。挝u即：即：挝3k-,k-,kz44xy为增函数；为增函数；k-,k+,kz44挝xy为减函数。为减函数。36教资优选例例5 5：求下列函数的单调增区间：求下列函数的单调增区间：(1)y = 2sin2x yx= sin -+2k+2k22解：的单调增区间为：，-+2k 2+2k22-+k 2,(0,),cos sin,+22且则与2 2、已知、已知的大小关系是的大小关系是( )( )b.+ 12x （2）成立因为成立因为sin0.5，即，即，而正弦函数的值域是而正弦函数的值域是1,1。2sin