高考数学一轮复习例题解析7.1正弦定理与余弦定理

1、高中数学一轮复习资料第七章 解三角形第一节 正弦定理与余弦定理1.（2008·陕西理，3）abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若c=，b=，b=120°,则 a等于（ ）a.b.2c.d.答案 d 2.（2008·福建理，10）在abc中,角a、b、c的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanb=ac，则角b的值为( )a. b.c.或 d.或答案 d 3.下列判断中正确的是（ ）a.abc中，a=7，b=14，a=30°,有两解b.abc中，a=30,b=25,a=150°，有一解c.abc中，a=6,b=9，a=45&#

2、176;，有两解d.abc中，b=9,c=10,b=60°,无解答案 b4. 在abc中，若2cosbsina=sinc,则abc一定是（ ）a.等腰直角三角形 b.等腰三角形 c.直角三角形d.等边三角形答案 b5. 在abc中，a=120°,ab=5,bc=7，则的值为（ ）a.b. c.d.答案 d6.abc中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则c的度数是 （ ）a.60°b.45°或135° c.120° d.30°答案 b7.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则b=

3、.答案 8. 在abc中，a=60°,ab=5,bc=7,则abc的面积为 .答案 9. （2008·浙江理，13）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosa=acosc，则cosa= .答案 10. 在abc中，已知a=,b=,b=45°,求a、c和c.解 b=45°90°且asinbba,abc有两解.由正弦定理得sina= =,则a为60°或120°.当a=60°时，c=180°-(a+b)=75°,c=.当a=120°时，c=180°-(a

4、+b)=15°,c=.故在abc中，a=60°,c=75°,c=或a=120°,c=15°,c=.11. 在abc中，a、b、c分别是角a，b，c的对边，且=-.（1）求角b的大小；（2）若b=，a+c=4，求abc的面积.解 （1）由余弦定理知：cosb=，cosc=.将上式代入=-得:·=-整理得:a2+c2-b2=-accosb= =-b为三角形的内角，b=.（2）将b=,a+c=4,b=代入b2=a2+c2-2accosb,得b2=(a+c)2-2ac-2accosbb2=16-2ac,ac=3.sabc=acsinb=.12

5、. 在abc中，a、b、c分别表示三个内角a、b、c的对边，如果（a2+b2）sin（a-b）=（a2-b2）sin（a+b），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin（a-b）-sin（a+b）=b2-sin（a+b）-sin(a-b)2a2cosasinb=2b2cosbsina由正弦定理可知上式可化为：sin2acosasinb=sin2bcosbsinasinasinb(sinacosa-sinbcosb)=0sin2a=sin2b,由02a,2b2得2a=2b或2a=-2b,即a=b或a=-b,abc为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosasinb=2b2

6、sinacosb由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2abc为等腰或直角三角形.13. 已知abc中，三个内角a，b，c的对边分别为a,b,c,若abc的面积为s，且2s=(a+b)2-c2，求tanc的值.解 依题意得absinc=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosc.所以,absinc=2ab(1+cosc),即sinc=2+2cosc,所以2sincos =4cos2化简得：tan=2.从而tanc=-.14. 已知abc的三个内角a、b、

7、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2b-8cosb+5=0,求角b的大小并判断abc的形状.解 方法一 2cos2b-8cosb+5=0,2(2cos2b-1)-8cosb+5=0.4cos2b-8cosb+3=0,即(2cosb-1)(2cosb-3)=0.解得cosb=或cosb=（舍去）.cosb=.0b,b=.a，b，c成等差数列，a+c=2b.cosb=，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又b=，abc是等边三角形.方法二 2cos2b-8cosb+5=0，2（2cos2b-1）-8cosb+5=0.4cos2b-8cosb+3=0，即(2cosb-

8、1)(2cosb-3)=0.解得cosb=或cosb=（舍去）.cosb=,0b,b=,a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sina+sinc=2sinb=2sin=.sina+sin=，sina+sin-cos=.化简得sina+cosa=,sin =1.a+=,a=,c=,abc为等边三角形.15. （2008·广东五校联考）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2c=.(1)求角c的大小；（2）求abc的面积.解 （1）a+b+c=180°,由4sin2-cos2c=,得4cos2-cos2c=,4·-(2cos2c-1)=,整理,得4cos2c-4cosc+1=0,解得cosc=,0°c180°,c=60°.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2ab