高二数学第二章推理与证明人教实验版B知识精讲

1、用心 爱心 专心高二数学高二数学第二章第二章 推理与证明推理与证明人教实验版（人教实验版（b b）【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：选修 22 第二章 推理与证明二. 教学目的：1、了解合情推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用归纳推理、类比推理和演绎推理等进行简单的推理，体会并认识它们在数学发现中的作用和重要性2、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点3、掌握间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点4、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题三. 教学重点、难点：重点：合情推理、演绎推理以及证明方法直接证

2、明和间接证明；难点：对数学归纳法的理解四. 知识分析：【本章知识结构】【重点知识回顾】1、合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理说明：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。（l）归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳） 归纳是从特殊到一般的过程用心 爱心 专心说明：归纳推理的前提与结论只具有偶然性联系，其结论不一定正确结论的正确性还需要理论证明或实践检验其一般步骤为：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想） 。（2）类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似（

3、或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比） 。说明：在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠类比推理的一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 。2、演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真例如，由真命题 a,b，遵循演绎推理规则得出命题 q，则 q 必然为真3、合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是

4、由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确4、证明（l）直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件最后达到题设的已知条件或已被证明的事实分析法的特点是：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知”,其逐步推理，实际上是要寻找它的充分

5、条件，综合法的特点是：从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种（2）反证法（间接证明）一般地，由证明转向证明：,t 与假设矛盾，或与某个真命题pqqrt 矛盾，从而判定为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法q5、数学归纳法（l）数学归纳法：设是一个与自然数相关的命题集合，如果证明起始命题 np（或）成立；在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定，对1p0pkpk 1p np一切正整数（或自然数）成立用心 爱心 专心（2）数学归纳法的框图表示（3）数

6、学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤称数学归纳法这两步各司其职但缺一不可特别指出的是，第二步不是判断命题的真假，而是证明命题是否具备递推性如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题【专题分析】一、推理一、推理推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式由于数学中通常把判断称为命题，因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式推理一般分为合情推理和演绎推理，合情推理

7、包括归纳推理和类比推理，演绎推理包括：假言推理、三段论推理、关系推理以及完全归纳推理1、归纳推理归纳推理例 1. 在数列中，猜想这个数列的通项公式。an1a1nna2aann1n，解：解：中，an，52a2a2a4221a2a2a32a2a2a1a3342231121所以猜想的通项公式an1n2an证明如下：因为，1a1nn1na2a2a所以21a1a2a2a1nnn1n即21a1a1n1n所以数列为首项是以1a1a11n2用心 爱心 专心公差为的等差数列21所以21n2121) 1n(1a1n所以通项公式1n2an例 2. 在平面上有 n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点

8、，问这些直线把平面分成多少部分？解：解：设 n 条直线分平面为部分，先实验观察特例有如下结果：ns n 与之间的关系不太明显，但有如下关系：nsnsn 1s 观察上表发现如下规律：n（n2，3，）这是因为在 n1 条直线后添nsn 1s加第 n 条直线被原 n1 条直线截得的 n 段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加 n 部分，所以n，即=n，从而nsn 1snsn 1s=2，3，4，n，将上面各式相加有2s1s3s2s4s3snsn 1s23n，所以ns1s23n223n1（123n）ns1s11n(n1)2【点评点评】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性

9、需要通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明，虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发展、科学的发明是十分有用的。通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一。归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想） 。2、类比推理、类比推理用心 爱心 专心例 3. 著名的欧姆定律就是德国物理学家欧姆在 1826 年把电传导系统与热传导系统作类比而导出的电流 i 与热量 q 相当，电压 v 同温差t 相当，电阻 r 与比热 c

10、的倒数相当在热传导系统中有关系式：q=mct（m 是质量）于是，就可猜想在电传导系统中有关系式：，这就是欧姆定理livr例 4. （1）定义集合 a 与 b 的运算：，则abx | xa,xbxab且aba且_（2）定义集合 a 与集合 b 的运算：写出含有集合运算符号a*bx | xa,xb且“*”对集合 a 和 b 都有的成立的一个等式分析：分析：本题是学习类比应用新知识的一个题，这就要求同学们能类比课本上学习和研究集合运算的方法，来研究题目中的条件，一般抽象集合问题往往借助于韦恩图求解。解：解：（1）由图中可知 ab 如图的阴影部分所示，若 abc，我们运用类比的方法，可得 cab（2）

11、由图可知，a*b 如图阴影部分所示运用数形结合，类比的思想方法，结合“*”符号进行探索，可求得：ab *ba* ab或ab *ab* ab或等 ab * aba*bb*a用心 爱心 专心 3、演绎推理演绎推理例 5. 在锐角三角形 abc 中，adbc，beac，d、e 是垂足求证：ab 的中点 m 到 d、e 的距离相等分析：分析：解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提 解：解：（l）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 大前提在abd 中，adbc。即adb90 小前提所以abd 是直角三角形 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提而 m 是 rtab

12、d 斜边 ab 的中点，dm 是斜边上的中线 小前提 所以 结论1dmab2同理，所以1emab2dmem【点评点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出三段论式推理。三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合 m 的所有元素都具有性质 p，s 是 m 的子集，那么 s 中所有元素都具有性质 p。三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论。演绎推理是一种必然性推理，它的前提和结论之间有蕴涵关系。因而，只要前提是真实的，推理的形式是正

13、确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论。二、证明二、证明1、综合法证明、综合法证明综合法是我们在已经储存了大量的知识，积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识 例 6. 由实数构成的集合 a 满足条件：若，证明：aa111aaa，则，（1）若，则集合 a 必有另外两个元素，并求出这两个元素；a2（2）非空集合 a 中至少有三个不同元素。解：解：（1）aa111aaa，则，a1211a2时，有由于11，有a21) 1(11由a22111121 ，有如此循环可知集合 a 中的另外两个数121，用

14、心 爱心 专心（2）集合 a 非空，故存在aa111aaa，有，1a11aa11且即 a0 时，有aa1aa1111即如此循环出现三个数 a，aa1aa11，若，方程无实根01aaa11a2，则若方程也无实根01aaa1aa112，则若方程无实根01aaa1aa2，则a，互不相等，故集合 a 中至少有三个不同的元素a1aa11，2、分析法证明、分析法证明分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合” ，在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开 例 7

15、. 若。1cossin1cossin66，求证解：解：323266)(cos)(sincossin22224224422422cossin31cossin3sincossin2sin)coscossin(sin)cos(sin要证0cossin1cossin2266，只需证由0cossin21cossin两边平方得0cossin3221cossin663、反证法证明、反证法证明反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若 p 则 q”的否定是“若 p 则” ，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若 p 则”为假，qq从而可以导出“若 p 则 q”为真，从而达到证明的目的

16、反证法是高中数学的一种重要的用心 爱心 专心证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。（1）证明否定性、唯一性命题例 8. 求证：两条相交直线有且只有一个交点分析：分析：结论中以“有且只有”形式出现，是唯一性命题，常用反证法。证明：证明：假设结论不成立，即有两种可能：无交点，不只有一个交点若直线 a、b 无交点，那么 a/b，与已知矛盾；若直线 a、b 不只有一个交点，则至少有两个交点 a 和 b，这样同时经过点 a、b 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点（2

17、）用反证法证明“至多” 、 “至少”类型问题 例 9. 已知 a、b、c（0，1） ，求证：。41a ) c1 (c )b1 (b)a1 (至少有一个小于，证明：证明：假设三式都大于41即41b)a1 (41c )b1 (41a ) c1 (得3)41(c ) c1 (b)b1 (a )a1 (又) 10(a，412a)a1 (a )a1 (02同理41b)b1 (041c ) c1 (0得3)41(c ) c1 (b)b1 (a )a1 (矛盾，假设错误，原命题成立。（3）用反证法证几何问题例 10. 如图所示，ab、cd 为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：ab、cd 不能互相平分。用心

18、 爱心 专心证明：证明：假设 ab、cd 互相平分，则 acbd 为平行四边形所以acb=adb，cad=cbd因为 abcd 为圆内接四边形所以acbadb=180，cadcbd=180因此acb=90，cad=90所以对角线 ab、cd 均为直径，与已知矛盾因此，ab、cd 不能互相平分【点评点评】 （1）反证法的步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立。（2）反证法导出结果的几种情况：导出非 p 为真，即与原命题的条件矛盾；导出 q 为真，即与假设“非 q 为真”矛盾；导出一个恒假命题，即与定义

19、、公理、定理矛盾；导出自相矛盾的命题。4、数学归纳法证明、数学归纳法证明数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础” （或称特殊性） 第二步解决的是延续性问题（又称传递性） 运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点： （1）两个步骤缺一不可； （2）第二步中，证明“当 nk + 1 时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上“当 nk 时结论正确”这一结论 （3）在第二步的证明中， “当 nk 时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用；“当 nk +1 时结论正确”则是求证的目标在这一步中，一般首先要

20、凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再去凑出当 nk + 1 时的结论数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题 （4）不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前 n 项的计算、观察、分析，推测出它的通项公式或推测出这个数列的有关性质，应明确用不完全归纳去探索数学问题时，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明 例 11. 求证：。*)nn(n212n11n1n211n214131211证明：证明：（1）当 n=1 时，左边，右边，等式成立2121121（2）假

21、设 n=k 时，k212k11k1k211k214131211用心 爱心 专心那么当时，1kn ) 1k(211) 1k(21k211k214131211) 1k(21k) 1k(12) 1k(11) 1k(1) 1k(211k11k21k213k12k1) 1k(211k21k212k11k1所以时，等式成立1kn由（1） （2）知对于任何，等式成立*nn三、归纳、猜想、证明三、归纳、猜想、证明近年来，高考试题中已出现过这类题型，这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用这类题型是：第一步给出命题（与正整数有关）的结构；第二步要求计算出最初的三个至四个初始值；第三步要求通

22、过已计算出的初始值，应用不完全归纳法，发现其命题的一般性规律，作出科学的猜想和判断（要敢于猜想、善于猜想） ，最后由数学归纳法对所作的猜想一般性结论，作出完整科学的证明 例 12. 在各项为正的数列中，数列的前 n 项和满足anns)a1a (21snnn（1）求；321aaa，（2）由（1）猜想到数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。an解：解：（1）1a)a1a (21as211111得1a0a1n ，01a2a)a1a (21aas22222212得)a1a (21aaas12a3332132，得23a01a22a3323，（2）猜想）（nn1nnan证明如下：n=1 时，命题成立

23、；01a1用心 爱心 专心假设 n=k 时，成立1kkak则时1kn)a1a (21)a1a (21ssakk1k1kk1k1k即)1kk11kk(21)a1a (21a1k1k1kk)a1a (211k1k01ak2a1k21kk1ka1k即时，命题成立1kn据可知对任意的成立1nnannn，【模拟试题模拟试题】一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，其中只有一个正确答案。 ） 1. 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。下面几何体中，一定属于相似体的是（ ）两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个

24、正三棱柱；两个正四棱柱a. b. c. d. 2. （1）已知，求证，用反证法证明时，可假设2qp332qp2qp（2）已知，求证方程的两根的绝对值都小于 1。1|b|a|rb, a ，0baxx2用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于 1，即假设，以下结论正1x1|x|1确的是（ ）a. （1）与（2）的假设都错误b. （1）与（2）的假设都正确c. （1）的假设正确；（2）的假设错误d. （1）的假设错误；（2）的假设正确 3. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由 n=k 递推）（2n1413n212n11n1到 n=k+1 时不等式左边（ ）a. 增加了一项) 1k(21用心

25、爱心 专心b. 增加了两项2k211k21c. 增加了（b）中两项但减少了一项1k1d. 以上各种情况均不对 4. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ）a. 充分条件b. 必要条件c. 充要条件d. 既不充分又不必要条件 5. 用数学归纳法证明：时，第一步即证），且，（1n*nnn1n2131211下述哪个不等式（ ）a. 10，且 a1，下面正确的运算公式是（ ）2aa)x(sxx2aa)x(cxx；)y(s)x(c)y(c)x(s)yx(s；)y(s)x(c)y(c)x(s)yx(s；)y(s)x(s)y(c)x(c)yx(c；)y(s)x(s)y(c)x(c)yx(ca. b

26、. c. d. 11. 在等差数列中，若，公差 d0，则有，类比上述性质，an0an7364aaaa在等比数列中，若的一个不等关系是（ ）bn8754nbbbb1q0b，则， a. b. 7584bbbb8475bbbbc. d. 8574bbbb8754bbbb 12. 已知实数 a、b、c 满足，abc0，则的值（ ）0cbac1b1a1a. 一定是正数b. 一定是负数c. 可能是 0d. 正、负不能确定二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，将答案填在横线上。 ） 13. （2006保定）如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 n（）行，在这些数*nn中非 1 的数字

27、之和是_。 14. 观察下式：，则得出结论：2222710987654576543343211；，_。 15. 已知数列的前 n 项和为，且，试归纳猜想出的anns）（，*n2n1nnans1ans表达式为_。用心 爱心 专心 16. 若记号“”表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算，即 ab=，则两边2ba 均含有运算符号“”和“” ，且对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是_。三、解答题（本大题共 6 小题，1721 每题 12 分，第 22 题 14 分，每题必须写出必要的解答过程，文字说明。 ） 17. 已知 f(x)对任意实数 a,b 都有，且当 x0 时

28、，。1)b(f)a (f)ba (f1)x(f（1）求证：f(x)是 r 上的增函数；（2）f(4)=5，解不等式。3)2mm3(f2 18. 设二次函数中的 a、b、c 均为整数，且 f(0)、f(1)均为奇）（0acbxax)x(f2数，求证：方程 f(x)=0 无整数根。 19. 在 rtabc 中，若c=90，则，则在立体几何中，给出四面1bcosacos22体性质的猜想。 20. 求证：。 （）65n312n11n1*nn2n ， 21. 若不等式对一切大于 1 的自然数 n 都成立，求自然数 m24mn212n11n1的最大值。 22. 已知数列中，（a 为常数） ，是的前 n 项

29、和，且an2aa2nsan的等差中项。nanasnn与是（1）求；31aa ，（2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明。na用心 爱心 专心【试题答案试题答案】 1. c（只有是相似体。 ） 2. d（对（2）的结论：“两根绝对值都小于 1”的否定是“两根绝对值不都小于 1” 。 ） 3. b 4. a 5. c且 n1，n 的初始值为，此时原不等式即为。*nn2n0231211 6. a“”等价于“f(k+1)假f(k)假” ，故应选 a。真真) 1k(f)k(f 7. c（，因此 a、b、c 至少有一个不小于 2，故选6x1zz1yy1xcbac。 ） 8. d（当 n=k 时，等式为。

30、那么当 n=k+1 时，左边122221k1k2=12，因此只需在归纳假设两端同时添加，即k1k2222k21222。 ）1k2kkk2122 9. c（。 ）2513951a951a51a1a7321， 10. d（将 s(x)，c(x)逐个检验。 ） 11. b 12. b（且（由 abc00)cabcab(2cba) cba (22220cba222知 a,b,c 均不为 0）0，cabcab因此。 ）0abccabcabc1b1a1 13. （所有数字之和除掉 1 的和n22n122222sn1n20n12n。 ）n22) 1n2(n 14. （各等式的左边是第 n 个自然数到第2)

31、1n2()2n3()2n() 1n(n个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故得出结论：2n3 =)2n3()2n() 1n(n。 ）2) 1n2( 15. （由，）1nn2n2n1ans1a ，58s23s2s1s4321，1nn2sn 16. abc=bac（ab=，ba=，abc=bac。 ）2ba 2ab 17. 解：（1）设，由得21xx 1)b(f)a (f)ba (f用心 爱心 专心1)xx(f)x(f)xx(x f)x(f1211212，0 xx121)xx(f12)x(f11)x(f1)xx(f)x(f)x(f111212f(x)为增函数（2），51)2(f)2(f)4(f3)2(f)2(f3)2mm3(f204mm322m