空间向量数量积运算精选干货

1、空间向量数量积运算2020-12-2421.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 , 则叫做 的数量积，记作 , 即 a,b a b cos a,b a ba b = a b cos oababab向量的夹角：0 bb2020-12-243aobababab4平面向量的夹角：babaaobbobaoaoba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向复习：2020-12-2442.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量 （1）ab ab=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, ab=|a|b|;当a与b反向时, ab=-

2、|a|b|;特别地， 用于计算向量的模; （3） 用于计算向量的夹角. 2a a=aa= a a 或或abcos =ab 2020-12-2453.平面向量数量积满足的运算律（1）交换律:（2）对数乘的结合律:（3）分配律: a b = b a (a) b = (a b )= a (b ) (a+ b ) c = a c+ b c (a b)ca (b c ) 数量积不满足结合律,即:2020-12-2463.1.3空间向量的数量积运算2020-12-247 1.两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点o，可以作oa=a，ob=b，则角aob叫做向量a与b的夹角，记作

3、:a，boabaabb2020-12-2481） 空间两个向量的夹角的定义babaaobbobaoaoba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向思考：1、a，b与b，a相等吗？ 2、a，b与a，b相等吗？注意：a，bb，a，a，ba，b3.1.3空间向量的数量积运算2020-12-2492）两个向量的数量积注：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空间两个向量，则叫做向量 的数量积，记作：即零向量与任意向量的数量积等于零。2020-12-24103)空间向量的数量积性质: 对于非零向量 ，

4、有：,ab2(1) cos,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据)2020-12-24114)空间向量的数量积满足的运算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 结合律交换律）分配律）下列命题成立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考: 2020-12-24121.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，| b |4，则ab _， a2_， (a2b)(ab)_.2020-12-2413135 2020-12-2414 范围:0a，b在这个规定

5、下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a，b= b，a. 如果a，b= /2，则称a与b互相垂直，并记作ab .2020-12-2415题型一利用数量积求夹角 如图，在空间四边形如图，在空间四边形oabc中，中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求，求oa与与bc所成角的余弦所成角的余弦值值【例1】2020-12-2416 2. 空间向量数量积的定义 设oa=a，则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 ， 则 叫做 的数量积，记作 , 即 a,b a b cos a,b a,b a ba b = a b cos a,b 0a,b

6、 （）2020-12-2417 （1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）、.aba b 仍仍是是的的模模2020-12-2418 若m、n是平面内的两条相交直线，且lm， ln. 则l .glmn4.线面垂直的判定定理（必修2）：2020-12-2419高考链接 1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形p1p2p3p4p5p6 ，下列向量的数量积中最大的是_. 1213p p p pa.b. 1214p p p pc.d. 1215p p p p 1216p p p pa2020-12-2420解析：如图，已知正六边形p1p2p3p4p

7、5p6，设边长 则 p2p1p3=/6,12| p p |= a，13| p p |=3a 2121333ap p ,p p = a3a=22，214p pp =2 14| p p |= 2a ，212141p p ,p p = a 2a= a2 ，12151216p p ,p p = 0 p p ,p p 0 数量积中最大的是 1213p p ,p p2020-12-2421 （1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_.课堂练习 1.填空 1 方法一:发现|a + b|2+|a b |2=2(| a |2+| b |2)带入求得.有其他方法吗？2020-12-2422方法二:由|a b|2=| a |2 - 2ab + | b |2 带入求得ab=-2. |a + b|2=| a |2+2ab+| b |2 得 |a+b|=1方法三:数形结合法，发现形的特殊性.