【精校】2020年安徽省淮北市高考一模数学理

1、2020年安徽省淮北市高考一模数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.设复数Z满足(1+i)Z=i ,则|Z|二()B. 1C. ,2D.2解析：由(1+i)Z=i ,得Zi 1 i =1 1i1 i 1 i 1 i 2 2答案：A2.已知 A=x|x 2 2x 3W 0 , B=y|y=x 2+1,则 AA B=()A. - 1, 3B. - 3, 2C.2 , 3D.1 , 3解析：A=x|x 2- 2x - 3< 0=x| - 1< x< 3,B=y|y=x 2+1=y|y >1,则 An B=x|1 <x<3=1 , 3,答案：D

2、In x的图象大致为()B.111nx递减，排除CQ x当x>0时，函数f(x)= 1n x排除A,只有B正确.1n x ,由函数y=、y=ln( - x)递减知函数f(x)= xx，一，1x ,此时，f(1)= 1n1 =1,而选项A的最小值为2,故可答案：B4.九章算术是我国古代第一部数字专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42,则输出的i为()A.4B.5C.6D.7解析：由程序框图可知：当

3、a=96, b=42 时，满足 a>b,贝U a=96- 42=54, i=1由 a>b,贝U a=54- 42=12, i=2由 avb,贝U b=42 12=30, i=3由 avb,贝U b=30- 12=18, i=4由 avb,则 b=18 12=6, i=5 由 a>b,贝U a=12- 6=6, i=6 由 a=b=6,输出 i=6.答案：C5.如果实数x, y满足关系x y 1 0 2x y 7x y 2 0, x 3恒成立，则入的取值范围为()A.( -OO 1 U 9 , +8) 5B.( -8, 3C. 9 , +00)5D.(3 , +8)解析：设z

4、2x y 7 2 x 3z的几何意义是区域内的点到二,D(3, 1)的斜率力口 2,x作出实数x, y满足关系xy 1 0 ,对应的平面区域如图:y 2 0由图形，可得C(-,3),2 2217由图象可知，直线 CD的斜率最小值为=一2-2一-1 32 3，z的最小值为9 ,5，入的取值范围是(-巴XU得，+O°).答案：A6 .某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正视图侧视图俯视图A. 7B. 8-3C.8四棱锥的底面是以 圆锥的底面半径是D.%2为边长的正方形、高是 2,1、tWj 是 2,12 2所求的体积V 答案：B7 .已知等比数列an中，a5=3, a4az=

5、45,则a7a9的值为（） a5 a7A.3B.5C.9D.25解析：根据题意，等比数列an中，a5=3, a4a7=45,则有% aa7 15, a5则q生5, a5则 a7a9a5a722a5q a7q q2 25a5 a7答案：D2218 .已知F是双曲线 与 ' 1(a>0, b>0)的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对 a b称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为-2 3 5 6A B CD.解析：设F(c,0),渐近线方程为y |x,对称点为F'(m , n),即有m1 n2解得mc12 b2将 F'( b2ac222abc ，蜜)

6、，即(c22c 2ac代入双曲线的方程可得220 2 2c 2a22c a2 24ab, 12,2 L c b化简可得 J - 4=1,即有e2=5, a解得e= ,5 .答案：C9 .函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(1+x)=f(3-x),且当 xC(-oo, 2)时，(x-2)f' (x)1<0,设 a=f(0) , b=f( 1 ), c=f(3)，则 a, b, c 的大小关系是()A.a >b>c B.c >a>b C.c > b>a D.b >c>a 解析：f(1+x)=f(3 x),，函数f(x)的图象关于

7、直线 x=2对称， .f(3)=f(1).当 x e ( 8, 2)时，(x 2) f ' (x) <0,f' (x) >0,即 f(x)单调递增，-1,. 0V，V 1 ,2 1f(0) <f( 2)<f(2), 即 a< b< c.答案：C10 .已知函数 f x asinx 2/3cosx的一条对称轴为 x 一，且 f(x 1) f(x 2)= - 16, 6则|x i+X2|的最小值为()A.B.2C.2_-3D.34解析:asinx 2.3 cosx=,a2 12sin x由于函数f(x)的对称轴为：x所以f 6则2a 3解得：a=

8、2;2a3,a2 12,所以：f(x)=4sin(x -),由于：f(x 1) f(x 2)= 16,所以函数f(x)必须取得最大值和最小值，所以：x1=2kjt + 5-或 x2=2kjt , kCZ；所以：|x 1+x2|的最小值为23-.答案：C11 .对于向量a, b,定义axb为向量a, b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定 ax b的模|a x b|=|a|b| sin 9 (其中0为向量a与b的夹角)，ax b的方向与向量 a, b的方 向都垂直，且使得a,b,axb依次构成右手系.如图，在平行六面体 ABCD-EFGHf,/ EAB二uuu uuur uur/ EAD=Z

9、BAD=60 , AB=AD=AE= 2 则 AB AD AE =()A.4B.8C. 2.2D. 4x2解析：据向量积定义知，向量uuu uuuruuu uuur uuurAB AD垂直平面ABCD且方向向上，设 AB AD与AE所成角为0 . / EAB=/ EAD4 BAD=60 ,.点E在底面ABCD±的射影在直线 AC上.±AD), .作 EI ± AC于 I ,则 EI，面 ABCQ 0 +/ EAI=.又/CAD=30, IJ.AI=”.AE=2,EUAC,cosEAI3AIAEsinsinuur 故ABuurAD2uuin AEEAIcosEAIu

10、urABuur33 .3, cos3uuurAD sin BAD AE cos63 .8更弯4&,23答案：D12.若存在实数x使得关于x的不等式(ex - a) 2+x2 -2ax+a2< 1成立，则实数a的取值范围2是（A.B.C.D.)241、,+8)21、,+8)4解析：不等式（ex - a） 2+x2-2ax+a2w 1成立2即为(e*a)之+仅-a) 2<,表示点（x , ex）与（a , a）的距离的平方不超过,2即最大值为1.2由（a , a）在直线l ： y=x上,设与直线l平行且与y=ex相切的直线的切点为（m, n）,可得切线的斜率为 em=1,解得

11、m=0, n=1,切点为（0 , 1）,由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=ex的距离的最小值, 可得(0 a) 2+(1 a) 2=12则a的取值集合为1.2答案：A 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分13.已知等差数列an前15项的和Si5=30,贝U a2+a9+ai3=解析：.设等差数列的等差为 d, an前15项的和S5=3015 atai5230 ,即 ai+7d=2,则 a2+a9+ai3=(a i+d)+(a i+8d)+(a i+12d)=3(a i+7d)=6.答案：614.若 2x11的二项展开式中的所有二项式系数之和等于x256,则该展开式中常数项的值为

12、.解析：由题意可知，. c 1 n C2x 2x x2n=256,解得 n=8.1 8r1 ，其展开式的通项i= C8 x2x 8r28 r C； x8 2r ,令 8 - 2r=0 ,得 r=4.，该展开式中常数项的值为T5= 24 C84=1120 .答案：112015.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f' (x)的图象如图所示, Wx2),下列结论正确的序号是 .f(x) <0恒成立；(xi x2)f(x i) - f(x 2) V0；(x 1 x2)f(x 1) f(x 2) >0;小 x1x2f x1f x2f 122则对于任意xi, xzC R(xi解析:

13、xix2< f xif x2减函数，并且是，递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示:f' (x) <0,故原函数为f(x)。恒成立，没有依据，故不正确；表示(x 1 - X2)与f(x 1) - f(x 2)异号，即f(x)为减函数.故正确；表示(x 1 - X2)与f(X 1)-f(x 2)同号，即f(x)为增函数.故不正确，左边边的式子意义为x1, x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边,故不正确，正确，综上，正确的结论为答案：16.在 ABC中，D E分别是 AR AC的中点，M是

14、直线 DE上的动点.若 ABC的面积为2, uuir uuuu uuur2则MB MC BC的最小值为.解析：Q E是AB AC的中点， .M至ij BC的距离等于点A到BC的距离的一半， .Saab(=2Sambc 而 ABC的面积 2,则 MBC勺面积 S/ MB(=1 ,S/mb= _ I MB I , Iuuir uuuu ImbI ImcI sin uuir uuuu MB MC MB由余弦定理，I BCMCI sin Z BMC=12BMCMC cos2= I BMBMC2+ I2cos BMC .sin BMCCM I 2-2 I BM| - ICM I cos/BMC显然，BM

15、 CMfB是正数，I BM I2+ ICM I2>2 I BM I - ICM I,CM I cos / BMC I BC I2= IBM I2+ I CM I 2- 2 IBM IX|22cos BMC. sin BMCsin BMCuu uuur uuur2 2cos BMC n 2 n 2cos BMC MB MC BC22sin BMC sin BMC sin BMC2 cos BMCsin BMC方法一：令y=2 cos BMCsin BMC，则 y'=1 2cos BMC2sin2 BMC令y' =0,则cos Z BMC=1 ,此时函数在(0, 1)上单调减

16、，在(1 222cos / BMC=1 时，2 cos一BMC 取得最小值为 J3 ,2 sin BMC uur uuur uuur2,MB MC BC的最小值为2J3； 方法二：令 y= 2一cos BMC ,sin BMC1)上单调增,则 ysin / BMC+c。更 BMC=2 则 J1 y2 sin( / BMC+x )=2 ,1tan a =,y则 sin( / BMC+ )= J2- & 1, .1 y2解得：户事,uuir uiuuruuur2则MB MCBC的最小值为2,3.答案：2,3三、解答题.(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17

17、.在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且 acosB=(3c - b)cosA.求cosA的值； uuruuuruuur uuur -(2)若b=3,点M在线段BC上，ABAC2 AM , AM372 ,求 ABC的面积.解析：(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA ,结合 sinCw。，可求 cosA 的值.uuu uur uuuu(2)将AB AC 2AM两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解.答案：(1)因为 acosB=(3c - b)cosA ,由正弦

18、定理得：sinAcosB=(3sinC - sinB)cosA ,即 sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA ,可得：sinC=3sinCcosA ,在 ABC中，sinCw。，所以 cos A= 4 .3 uuu uur(2) . AB AC uuur 由 b=3, AMuuuuuuu22 AM ,两边平方得：AB3、2 , cos A= 1,可得：c23uur2 uuu uuur uuuu2AC 2AB AC 4 AM9 2 c 3 1 = 4 18, 3解得：c=7或c=-9(舍),所以 ABC的面积S= 17 32*7技18.在如图所示的圆台中，AB, CD分别是下底面

19、圆 Q上底面圆O'的直径，满足 AB± CD,又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角一.3(I )若面BCD面ABE的交线为l ,证明：l /面CDE(n )若AB=2CD求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值.解析：(I)在圆台OO中，由CD?圆O',可得CD/平面ABE再由线面平行的性质可得 l /CD,进一步利用线面平行的判定可得l /面CDE(II)连接OO、BO、OE则CD/ OE由已知 AB± CD得AB，OE再由三垂线定理得 O B XOEE,即O B± CD可彳O' BO就是求面BCM底面ABE所成二面角的平面角

20、.设AB=4,由母线与底面成角一，求解三角形可得平面 BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值.3答案：(I )证明：如图，在圆台 OO中，.CD?圆O',.CD/平面 ABE,面 BCET 面 ABE=l, l / CD. CD?平面CDE l ?平面 CDE. J /面 CDE(n )解：连接 OO、BO、 OE 贝U CD/ OE,由 AB± CD 彳导 AB± OE又O' B在底面的射影为OB由三垂线定理知：O' B± OE .-.O/ B± CD./O' BO就是求面BCg底面ABE所成二面角的平面角.设AB=4

21、,由母线与底面成角 一，3_可得 OE=2O D=2, DE=2 OB=2 OO = .3 , cos / O BO= .719.如图为2020届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知 8090分数段的学员数为 21人.(I )求该专业毕业总人数 N和9095分数段内的人数 n；(II)现欲将9095分数段内的n名毕业生随机的分配往 A B、C三所学校，若每所学校至 少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？(出)若9095分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量七表示n名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，

22、求E的分布列和数学期望.11+频率组距0.030.01 o65 70 乃 80 $5 却 954工分数解析：(I)先求出8090分数段的毕业生的频率和学员总数，由此能求出毕业生的总人数 N,从而求出9095分数段内的人数频率，进而能求出9095分数段内的人数.(n )将9095分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，利用排列数公式能出共有多少不同的分配方法(出)E所有可能取值为0, 1, 2,分别求出相应的概率，由此能求出E的分布列和数学期望.答案：(I )8090分数段的毕业生的频率为： p1=(0.04+0.03) X 5

23、=0.35 ,此分数段的学员总数为21人，.毕业生的总人数 N为N=-2=60,0.359095分数段内的人数频率为：p2=1 - (0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)X 5=0.1 ,.9095分数段内的人数 n=60X 0.1=6.(n )将9095分数段内的6名毕业生随机的分配往 A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，C2C2共有:士二A3 18不同的分配方法.A2(出)所有可能取值为0, 1,2,c2c4C：11C2 c4"CT互15，立15'C22C：C：所以的分布列为：061518_15所以随机变量E

24、数学期望为615211589121 - 2 .1515320.已知椭圆22_C： x_2 1(a>b>0),其左右焦点为 F1, F2,过 F1 直线 l : x+my+J3 =0 与a b椭圆C交于A, B两点,且椭圆离心率e=(I )求椭圆C的方程；(n)若椭圆存在点M, 解析：(I)过F1直线1 ：uuuu使得2OMuuuuuu-uurOA J3ob ,求直线1的方程.x+my+73 =0,以及离心率结合 a、b、c关系，求解即可得到椭圆方程.(II)设AB的方程为y=k(X -2),联立直线与椭圆的方程组，利用判别式求出k的范围，设A(X1, y。，B(X2, y2), M

25、(X3, y3),利用韦达定理以及，即可求出答案：(I )过 F1 直线 l : X+my+73 =0,令y=0,解得x=-不，m的值，得到直线l的方程c= _3 c c, e a一 a=2, b2=a2 -c2=4 3=1,2，椭圆C的方程为y2 1；4 y(11)设人仅1, y1) , B(X2, y2) , M(X3, y3),uuuur 由2OMuuuOA_uurV3OB ,得:X31 14 2X11 2X1213i-2-X2, y32yi与V2代入椭圆方程可得:0,1 1 Xi4 4 122y13 12X24 4 22V2X1X2 4y1y21,xiX2+4yiy2=0x my联立万

26、程,S= 022_x 4y 4=0消 X 可得(m2+4)y 2+ 2 33 my- 1=0,1y2萨4科X1X2+4y1y2=(my1+ 3 )(my 2+ 3 )+4y y =(m2+4)4y y+ 33 m(y1+y2)+3=0 , 即 m2=2,解得m=± , 2所求直线l的方程：x J2y J3 0.21.设函数 f(x)= 1 x2- alnx ,其中 a C R.(1)若函数f(x)在,+8)上单调递增，求实数 a的取值范围；(2)设正实数 m,m满足m+ni=1,当a>0时，求证：对任意的两个正实数 X1,X2,总有f(m 1X1+02x2) wmf(x 1)+

27、m2f(x 2)成立; 当a=2时，若正实数 X1, X2, X3满足X1+X2+X3=3,求f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最小值.解析：(1)求得f(x)的导数，由题意可得f' (x)=x - -a >0在1 , +8)恒成立，运用参数分离和二次函数的最值，即可得到所求范围；(2)求得f(x)的导数，及二阶导数，判断符号，由凹凸函数的性质，即可得证；(3)求得f(x)的导数，以及二阶导数，判断符号，由凹凸函数的性质，即可得到所求最小值.答案：(1)函数 f(x)= 1 x2- alnx ,导数为 f ' (x)=x - a ,函数f(x)在1 , +8)上单

28、调递增，可得 2(x)=x - a>0 在1, +8)恒成立，即为a< x2的最小值，由x2在1 , +8)的最小值为1 , (2)证明：由 f(x尸 1x2- alnx , a>0,可得 f' (x)=x a , f" (x)=1+ -a2- >0, xx即有f(x)为凹函数，由m + R2=1,可得对任意的两个正实数xi, x2,总有 f(m 1x1+02x2) w mf(x 1)+m2f(x 2)成立；(3)由 f(x)= 1 x2- 21nx ,可得导数为f ' (x)=x - 2 , xf(x)=1+ 4>0,则f(x)为凹函数

29、，x有 f *x2x31f x1 f x2 f x3 ,333f 1即为fx1fx2fx3 3fx1x2x33则 f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最小值为 3 .选做题.(10分)选彳4-4 :坐标系与参数方程选讲22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极x= t坐标万程为P=2j2sin( 0 -),直线l的参数万程为J为参数，直线l和圆C交于A, B两点.(I )求圆C的直角坐标方程；(n )设 l 上一定点 M(0, 1),求 |MA| |MB| 的值.解析：(I )圆C的极坐标方程转化为p 2=2 p sin 0 -2P cos 0

30、 ,由此能求出圆C的直角坐标方程.x= a.(n )直线l的参数方程化为2, t '为参数，代入(x+1) 2+(y - 1) 2=2,得t2 - J2t、2,y=1 -2-t-1=0,由此能求出|MA| |MB|.答案：(I ) 圆C的极坐标方程为：2&sin2x/2 sin cos cos sin 2sin 2cos ,4442 . p =2 p sin 9 2 P cos 0 , ，圆 C的直角坐标方程 x2+y2=2y- 2x,即(x+1) 2+(y - 1)2=2.x= t(n)直线1的参数方程为t，t为参数，x=?直线1的参数方程可化为2, t'为参数，y=

31、 1 -2t2 _2_2代入(x+1) 2+(y - 1)2=2,得 专 t 1挈t2,化简彳导:t'2-T2tT=o, t1 t21, . |MA| |MB|= 11t21 .选彳4 4-5 :不等式选讲23.已知函数 f(x)=|x -m|-3,且 f(x) >0 的解集为(-8, - 2 U 4 , +8).(I )求m的值；(11)若？*6口使得f(x) >t+|2 -x|成立，求实数t的取值范围.解析：(I )利用不等式的解集，列出方程即可求m的值；(n)利用已知条件，转化求解函数的最值，然后推出结果即可答案：(I 厂.函数 f(x)=|x -m|-3,且 f(x

32、) >0 的解集为(-% -2 U 4 , +8).即|x m|-3>0 的解集为(8, - 2 U 4 , +8).1- m+3=4, m- 3= - 2,解得 m=1.(n).？xCR,使得 f(x) >t+|2 -x| 成立，即 |x 1| 3>t+|2 -x| , 1 ?x R, |x - 1| - |2 -x| >t+3 ,1, x 1 令 g(t)=|x - 1| - |x -2|= 2x 31<x 2,1, x> 2.?xCR, |x 一 1| 一|2 x| >t+3 成立， -t+3 <g(x) max=1 , t W 2.

33、考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高 考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要 掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。因为一 份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上 时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才 能获得一个优异的成绩在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超 常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。有 的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试 准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要 调整的重点。读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多 人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高 考试成绩。一是学会合理定位考试成绩你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握 和熟练程度。像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把