备考2020中考数学一轮专题复习学案18三角形

1、备考2020中考数学一轮专题复习学案18三角形 中考命题说明考点课标要求考查角度1三角形的有关概念了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，理解三角形形成的条件，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性；掌握三角形的内角和定理及推论；了解三角形重心的概念常以选择题、填空题的形式考查三角形的三边关系、三角形的内角和定理、外角与内角的关系以及三角形的中位线等知识2全等三角形了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件和性质常以选择题、填空题、证明题的形式考查三角形全等的判定和性质，近年来全等类开放性、探索性试题是中考命题的热点3等腰三角形了解等腰三角形的概念，

2、探索并证明等腰三角形的性质定理.探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等边三角形的性质定理及判定定理.常以选择题、填空题、解答题的形式考查4直角三角形了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.常以选择题、填空题、解答题的形式考查知识点1：三角形的有关概念知识点梳理1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形2.三角形中的主要线段：(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得到的线段，叫做三角形这边上的中线(2)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的

3、对边作垂线，连接这个顶点和垂足的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）(3)三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个角的平分线与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线(4)三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3.三角形的边之间关系：(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.(2)三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围.证明线段不等关系.【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依

4、据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围.4.三角形的角之间关系：(1)三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(2)三角形的外角和等于 360° ；5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.6.三角形的分类：按边分： 按角分： 典型例题【例1】 （2019·石家庄新华区质量检测）将一幅三角尺按图示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合)，连接另外

5、两条锐角顶点，并测得147°，则2的度数为() a. 60° b. 58° c. 45° d. 43°【答案】b 【解答】如下图，3180°60°45°75°，2180°1358°. 故选b【例2】（2019·扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n2、n8、3n，则满足条件的n的值有()a. 4个 b. 5个 c. 6个 d. 7个【答案】d 【解答】由三角形两边之和大于第三边可得：，解得2<n<10，n是正整数，n3，4，5，6，7，8，9，故选d.

6、【例3】（2019·青岛）如图，bd是abc的角平分线，aebd，垂足为f.若abc35°，c50°，则cde的度数为()a. 35° b. 40° c. 45° d. 50°【答案】c【解答】如下图，bd平分abc，abc35°，1217.5°.aebd，bf为ae边上的中线，adde，590°172.5°.34.cde23.c50°，bac95°.3bac522.5°.cde2345°.故选c知识点2： 全等三角形知识点梳理1.全等三角形：能

7、够完全重合的两个三角形叫全等三角形2.三角形全等的判定：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“sas”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“asa”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“sss”）.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有hl定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“hl”）3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边

8、相等，对应角相等典型例题【例4】（2019·衡水故城县期末）如图，abcdec，点e在线段ab上，若aedbce52°，则acd的度数为（ ）a. 25° b. 26° c. 27° d. 28° 【答案】b【解答】abcdec，abcdec，acbdce，acdbce.aeddecceb180°，cebabcbce180°，aedbce.aedbce52°，aedbce×52°26°.acdbce26°知识点3： 等腰三角形知识点梳理1.等腰三角形的性质：（1）等

9、腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.21教育名师原创作品推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为a，底角为b、c，则a=180°2b，b=c=2.等腰三角形的判定：等

10、腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.3.等边三角形：(1)定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)判定:三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.典型例题【例5】（2

11、019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x28x150的一根，则此三角形的周长是（ ）a. 16 b. 12 c. 14 d. 12或16【答案】a【解析】方程x28x150的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.故答案为a知识点4：直角三角形知识点梳理1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2. 直角三角形的性质:（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3

12、. 直角三角形的判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4.勾股定理及逆定理：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.典型例题【例6】（2019·重庆市12/26）如图，在abc中，d是ac边上的中点，连结bd，把bdc沿bd翻折，得到bdc'，dc与ab交于点e，连结ac'，若adac2，bd3，则点d到bc的距离为（）abcd【答案】

13、b【分析】连接cc'，交bd于点m，过点d作dhbc'于点h，由翻折知，bdcbdc'，bd垂直平分cc'，证adc'为等边三角形，利用解直角三角形求出dm1，c'mdm，bm2，在rtbmc'中，利用勾股定理求出bc'的长，在bdc'中利用面积法求出dh的长【解答】解：如图，连接cc'，交bd于点m，过点d作dhbc'于点h，adac2，d是ac边上的中点，dcad2，由翻折知，bdcbdc'，bd垂直平分cc'，dcdc'2，bcbc'，cmc'm，adacdc&

14、#39;2，adc'为等边三角形，adc'ac'dc'ac60°，dcdc'，dcc'dc'c×60°30°，在rtc'dm中，dc'c30°，dc'2，dm1，c'mdm，bmbddm312，在rtbmc'中，bc'，sbdc'bc'dhbdcm，dh3×，dh，故选：b巩固训练 1 (2019·荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是()a. 95°

15、b. 100° c. 105° d. 110°2.(2019·石家庄藁城区模拟)李老师布置了一道作图作业：“将一条12cm的线段分成三段，然后用这三条线段为边作一个三角形”下面是四个同学分线段的结果：小李：5cm，5cm，2cm；小王：3cm，4cm，5cm；小赵：3cm，3cm，6cm；小张：4cm，4cm，4cm.其中，分法不正确的是()a小李 b小王 c小赵 d小张3. (2019·杭州)在abc中，若一个内角等于另两个内角的差，则()a. 必有一个内角等于30° b. 必有一个内角等于45°c. 必有一个内角等于60

16、° d. 必有一个内角等于90°4. (2019·眉山)如图，在abc中，ad平分bac交bc于点d，b30°，adc70°，则c的度数是()a. 50° b. 60° c. 70° d. 80°5. (2019·张家界)如图，在abc中，c90°，ac8，dcad，bd平分abc，则点d到ab的距离等于()a. 4 b. 3 c. 2 d. 16. (2018·邯郸二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则123的度数是()a. 90° b. 120°

17、 c. 135° d. 180°7. （2019·河北中考说明）如图，在abc中，已知c90°，ac60 cm，ab100 cm，a，b，c，是在abc内部的矩形，它们的一个顶点在ab上，一组对边分别在ac上或与ac平行，另一组对边分别在bc上或与bc平行若各矩形在ac上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a，b，c，的个数是（ ）a. 6 b. 7 c. 8 d. 98. （2018·包头）如图，在abc中，abac，ade的顶点d，e分别在bc，ac上，且dae90°，adae.若cbac145°，则ed

18、c的度数为（ ）a17.5° b12.5° c12° d10°9. （2018·陕西）如图，在abc中，ac8，abc60°，c45°，adbc，垂足为d，abc的平分线交ad于点e，则ae的长为()a. b. 2 c. d. 310.（2019·呼和浩特）下面三个命题底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为_11. （2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角

19、形的顶角为_12. （2019·株洲）如图所示，在rtabc中，acb90°，cm是斜边ab上的中线，e、f分别为mb、bc的中点，若ef1，则ab_13. （2019·成都）如图，在abc中，abac，点d，e都在边bc上，badcae，若bd9，则ce的长为_14. （2019·甘肃）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰abc中，a80°，则它的特征值k_15. （2019·盐城）如图，在abc中，bc，c45°，abac，则ac的长为_16.（2019·通辽15

20、/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 17.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则pab+pba °（点a，b，p是网格线交点）18. (2019·杭州)如图，在abc中，acabbc.(1)已知线段ab的垂直平分线与bc边交于点p，连接ap，求证：apc2b；(2)以点b为圆心，线段ab的长为半径画弧，与bc边交于点q，连接aq.若aqc3b，求b的度数19.（2019·兰州）如图，abde，bfec，be.求证：acdf.20.（2019·无锡）如图，在abc中，abac，点d、e分别在ab、ac上，bdce

21、，be、cd相交于点o，求证：（1）dbcecb；（2）oboc.21. （2019·温州）如图，在abc中，ad是bc边上的中线，e是ab边上一点，过点c作cfab交ed的延长线于点f.（1）求证：bdecdf；（2）当adbc，ae1，cf2时，求ac的长22.（2019·石家庄十八县联考二）如图，直线ab，点m，n分别为直线a和直线b上的点，连接m，n，170°，点p是线段mn上一动点，直线de始终经过点p，且与直线a，b分别交于点d，e，设npe.(1)证明：mpdnpe；(2)当mpd与npe全等时，直接写出点p的位置；(3)当npe是等腰三角形时，求的

22、值巩固训练参考答案1【答案】c.【解析】如下图，可得3245°，460°，145°60°105°.2【答案】c. 【解析】336，不满足三角形两边之和大于第三边长为3 cm，3 cm，6 cm的三条线段不能作一个三角形，故选c.3【答案】d.【解析】设这三个内角分别为a，b，c，则abc，移项得acb，abc180°，2b 180°，即b 90°.4【答案】c.【解析】b30°，adc70°，badadcb70°30°40°.ad平分bac，dacbad40

23、6;.c180°adcdac180°70°40°70°.5【答案】c.【解析】如下图，过点d作deab于点e.dcad，dcac.ac8，dc×82.c90°，bccd.又bd平分abc，dedc2，故选c.6【答案】d.【解析】如下图，由图形可得145862397540°，三个三角形全等，469180°.又578180°，123540°180°180°180°.7【答案】d.【解析】如下图易证bdeefggkhhlm，可得bdefgkhlbcdc728

24、cm，根据此规律，共有80÷819个这样的矩形8【答案】d.【解析】abac，bc.cbac145°，b180°(cbac)180°145°35°.c35°.dae90°，adc55°.adae，ade45°.edcadcade55°45°10°.9【答案】c.【解析】adbc，adbadc90°.在rtacd中，c45°，ac8，adac·sin45°8×4.abc60°，bad90°60

25、76;30°.be平分abd，abedbe30°.badabe，aebe，在rtbde中，dbe30°.debeae.aedead，aeae4.ae.10【答案】.【解析】命题顶角相等的等腰三角形则三角都相等，若有底边相等则两三角形全等；命题如解图所示，若abef，bcfg，ah、ei分别为bc、fg边上的中线，则有abhefi，即有bf，即有abcefg；命题错误11【答案】36°.【解析】这个等腰三角形的顶角为180°2×72°36°.12【答案】4.【解析】在rtabc中，acb90°，cm是斜边ab上的中线，ab2mc，e、f分别为mb、bc的中点，ef是cmb的中位线又ef1，mc2ef2.ab2mc4.13【答案】9.【解析】在abc中，abac，bc.badcae，badcae.cebd9.14【答案】或.【解析】当a为顶角时，则底角bc(180°a)50°，此时的特征值k；当a为底角时，则顶角(b或c)180°2a20°，此时的特征值k.故答案为或.15【答案】2.【解析】如下图，过点a作adbc于点d，设adx，c45°，cdadx，acx.abac2x.在rta