构造法在求解微分方程中的应用

1、构造法在求解微分方程中的应用刘 华（第二炮兵工程大学，710025）摘 要：构造法是一种常见的化归策略，在高等数学中有着重要的应用，本文将介绍构造法在不同类型微分方程求解中的应用。关键词：构造法 微分方程构造法是一种常用的数学方法，它指的是根据所要解决问题的具体特点构造出特定的数学形式，达到化简、转化和桥梁的作用，进而能够方便地解决问题。历史上不少数学家都曾经运用该方法，解决了数学难题，比如柯西、欧拉、费马、拉格朗日等。这种方法体现了思维的转换，有利于培养创新意识及创新能力。构造法在高等数学中有着普遍的应用，比如通过构造函数证明等式、不等式，证明微分中值定理，通过构造级数求极限，通过构造数列、

2、积分等解决相应问题。这种方法在微分方程求解中的应用尤为突出，从一阶线性微分方程到二阶（高阶）常系数齐次线性微分方程，再到二阶（高阶）常系数非齐次线性微分方程，无不体现出构造法的便利之处。下面介绍构造法在求解微分方程中的应用。一、构造法在不同类型微分方程求解中的应用1通过对比一阶线性齐次微分方程和非齐次微分方程的特点，找出其内在联系，根据一阶线性齐次微分方程的通解，构造出一阶线性非齐次微分方程的通解，借鉴待定系数法的思想，容易求出一阶线性非齐次微分方程的通解为。2通过对五类基本初等函数的逐一分析，考虑到指数函数求导的特点，构造该方程特解的形式为，根据构造的这种形式，可以将微分方程的求解问题转化为

3、一元二次方程（特征方程）求根的代数问题，根据方程根的不同形式可以进一步得到该微分方程的通解。在特征方程有二等实根的情况下，进一步利用构造法构造出另一与线性无关的特解，可求得这一特解为。上述构造法的运用可以推广到高阶齐次线性微分方程。3（其中为次多项式函数）根据该微分方程右端自由项的特点，可以构造出特解形式为，将其代入微分方程整理可得 由此结果不难发现，当是特征方程的单根或二重根时，上式不可能成立，构造的特解形式将不再适合该微分方程的求解。究其原因是因为等式两端多项式函数的次数不等，于是调整后特解的形式为 当不是特征方程的根时，取，当是特征方程的单根时，取，当是特征方程的二重根时，取。借鉴待定系

4、数法的思想可以求出，进而得到该微分方程的特解，利用相对应的齐次微分方程的通解，可以进一步地求得该微分方程的通解。 特别地，当是特征方程的二重根时，可直接构造，使得其二阶导数等于即可，这样以来可以更为简单方便地得到其特解。当上述微分方程右端自由项时，其特解形式可以类似地构造为当不是特征方程的根时，取，当是特征方程的单根时，取。二、典型例题分析例1求微分方程的特解。解法一： 由于中的系数是对应齐次方程特征方程的二重根.因而该方程特解的形式可构造为将它代入方程左边求导，化简并和方程右边比较系数可得方程组于是，可求得其特解为解法二：构造其特解( 且满足.因此有.比较系数得，即，所以原方程的特解为.例2求微分方程的特解解法一：由于对应齐次方程的特征根为,所以可构造该方程的特解为将上式代入原方程整理可得比较等式两端可得求解方程组可得，所以原方程的特解为解法二：由于第一个方程右边只有正弦函数，左边不含一阶导数项，若是正弦函数，则也必是正弦函数.因此可以构造其特解为将上式代入原方程可得比较上式两端，可得，于是原微分方程的特解为构造法是一种富有探索性、技巧性和创造性的方法，在不断探索、发现、创造的基础上，往往可以构造出更为简洁、有效地形式，从而更便于解决问题。构造法的应用不仅能够巧妙、简便地解决问题，还能够激发创新思维，培养