第五章整式的乘除

1、第五章 整式的乘除第5.1节 同底数幂的乘法一、背景介绍及教学资料本章教材是在七(上)有理数的运算和代数式中整式加减的基础上，通过引入同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，建立整式的乘除法运算，依据新课标，乘法公式要求有所降低，故不再单独设章，一同在本章学习，突显整体性和特殊与一般的统一。整式乘除是整式运算的重要组成部分，是数与代数的重要基础知识。如解方程时总要用到整式的恒等变形，同时也是以后学习因式分解、分式、根式、函数等知识的基础。本节要学习的同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方三个运算法则是整式乘法的主要依据，教学时应夯实基础。二、教学设计第1课时【教学内容分析】本节课通过合

2、作探究得到同底数幂的乘法法则，该法则是整式乘法的基础。【教学目标】1、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2、学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算；3、在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。【教学重点、难点】重点是同底数幂的乘法法则及其灵活应用。难点是理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象过程。【教学准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、创设情景，引出课题情景：学生观察节前语，教师提出问题：太阳系外的第100颗行星与地球之间的距离约多少km？师生共同列式为：102×3×105×3

3、5;1079×102×105×1079×（102×105×107）那：102×105×107等于多少呢？进而引出本节课题。二、合作学习，建立模型1、要求各学习小组合作探究23×22 102×105 a4×a3 2m×2n 2、展示合作学习的成果，加深对幂的意义的理解，总结得到：23×22（2×2×2）×（2×2）2×2×2×2×22523+23、形成法则启发学生探求规律，设疑归纳am&#

4、183;an 进而形成法则am·anam+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。4、引导学生剖析法则（1）等号左边是什么运算？（2）等号两边的底数有什么关系？（3）等号两边的指数有什么关系？（4）公式中的底数a可以表示什么？（5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则成立吗？三、应用新知，体验成功1、试一试求：78×73（-2）8×（-2）7x3·x5（a-b）2·（a-b）102×105×1072、做一做：3×33105×105（-3）2×（-3）3am·an

5、3;ata·a3aaa 3、分析讲解课本例2。 四、变式训练，激发情智 1、下面计算否正确？若不正确请加以纠正。 a3·a2a6 a2+a3a5x5+x5x10 x3·x3·x33x3b4·b42b4 y7·yy82、化简（s-t）2·（t-s）·-（t-s）3五、课内练习，反馈评价评见教材的课内练习，要求学生说明每一步计算的理由。六、归纳小结，充实结构由学生讲今天这堂课学到了什么东西。同底数幂相乘的运算法则，能用式子表示，也能用语言叙述。明确了几个须注意的地方：（1）在计算时不能直接写出结果（2）不能把同底数幂相

6、乘的运算法则和其它法则混淆。（3）进一步了解从特殊到一般和从一般到特殊的重要思想。七、知识留恋，课后韵味布置作业：课本后附的作业题。教材从天文中的有趣问题引入同底数幂的乘法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会同底数幂运算的必要性，了解数学与其他学科的联系。在乘方意义的基础上，学生可以开展合作探究，采用合作学习，更易使学生体会知识的形成过程。直接采用试一试，不讲解例题，在学生理解公式的基础上，急于体验成功的情绪下予以尝试，易激发兴趣，同时在纠错过程中更深刻领会法则、理解法则。在教材做一做的基础上，增添，目的是学生理解a的指数是1；增添，是因为在笔者的教学实践中发现学生极易将出现a+a+

7、aa3的错误。设置例2，使学生体会到运用同底数幂的运算性质可以解决一些实际问题，又可进一步让学生感受大数目，发展数感。设置1，为了理清法则，辨别中求真知。设置2，为了学会转化和提高。通过鼓励，合作交流，及时反思自己的解题过程，达到掌握的目的。在教师的引导下，学生自主进行归纳、能够使所学的知识及时地纳入学生的认知结构。这里教师适时的修正、补充、强调也必不可少。【设计思想】1、整个设计突出体现学生的参与意识，让学生在运算的过程中发现运算法则。学生不是被动接受现成的书本知识，而是在经验过程中主动探索，发现经验中事物之间的联系过程。2、设计体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的重要数学思想，这有利于学生

8、养成良好的思维习惯。3、设计了判断题和变式题，有利于避免错误并通过此来提高认识。5.1节 第2课时【教学内容分析】本节课通过合作探究得到幂的乘方法则，进而运用该法则进行计算。【教学目标】1、经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。2、了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。【教学重点、难点】重点是法则的探索过程和法则的灵活应用。难点是幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算。【教学准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考1、学习（1）幂的意义a·a·

9、a=ann个a相乘（2）同底数幂的相乘法则am·an=am+n（m，n都是正整数）二、创设情景，导入课题1、课件展示乒乓球和足球的图片，先让学生直观体会两个球体的体积的大小的悬殊比例，然后让他们猜想足球的体积大约是乒乓球体积的多少倍？同学讨论、交流。最后，告诉他们足球的半径是乒乓球半径的几倍，让他们算足球的体积是乒乓球体积的多少倍？而导入新课。2、，从计算的结果我们看出：球体的体积与半径的大小有着紧密的联系，如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的体积n3倍。地球、木星、太阳可以近似地看成球体，木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积约是地球的多少倍？学生

10、独立思考后回答：木星的体积是地球的体积的103倍，而太阳的体积则是地球的体积的（102）3。你知道（102）3到底是多少倍吗？猜想一下，并说明你的理由。半径扩大的倍数与体积扩大的倍数哪个变化更大？这节课我们共同研究“幂的乘方”。三、合作学习，建立模型1、做一做计算下列各式，并说明理由（1）（102）3 （2）（34）2（3）（a3）5 （4）（am）n由学生合作完成，探索幂的乘方的法则的归纳过程，经小组讨论，交流各自的想法，看看别人是怎么运算出结果的，和自己的想法有何区别，最后指名让小组代表说自己的想法和运算过程及运算结果。师生共同归纳为：（1）（102）3102×102×

11、102（根据幂的意义）10222（根据同底幂相乘法则）102×3 （2）（34）234×3434434×2=38（3）（a3）5a3·a3·a3·a3·a3a33333a3×5a15n个（4）（am）nam·am·amam（幂的意义） n个 a mmm（同底数幂相乘的法则） amn（乘法的意义）2、总结法则（am）namn（m，n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。3、想一想（小组讨论）（am）n与（an）m相等吗？为什么？四、应用新知，体验成功1、 例3：计算下列各式，采用幂的形式表示（

12、1）（107）3 （2）（a4）8 （3）（-x）63（4）-（x2）m （5）（x3）4·（x2）5 （6）2（a2）6-（a3）4解：（1）（107）3107×31021（2）（a4）8a4×8a32（3）（-x）63（-x）6×3（-x）18x18（4）-（x2）m-x2m （5）（x3）4·（x2）5x3×4·x2×5x12·x10x1210x22（6）2（a2）6-（a3）42a2×6-a3×42a12-a12a122、 课内练习 详见教材p115页1、口答； 2、改错； 3

13、、计算五、探索挑战，激发情智1、探究活动教材p116探究活动，探究魔方2、智能挑战在255，344，433，522，这四个幂的数值中，最大的一个是 344 六、归纳小结，充实结构1、今天收获1，2，32、结构幂的乘方运算法则（am）namn（m，n都是正整数）底数不变，指数相乘幂的意同底数幂相乘法则：am·anamn（m，n都是正整数）底数不变，指数相加义七、知识留恋，课后韵味布置作业：课本后附作业题充分的复习回顾与本节课有联系的认识，便于建构新知和理解法则之间的联系，对建构正确的模型大有好处。设计从实际问题引入幂的乘方运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会幂的乘方运算的必要

14、性，了解数学与现实世界的联系。做一做的目的，是使学生通过对特例的考察，归纳幂的乘方的运算性质，并运用幂的意义加以说明，在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，发展了归纳，符号演算等推理能力和有条理的表达能力。推导法则时，显示理由，更能使学生进一步体会幂的意义。通过小组讨论，更能辨别法则。增添（4），是为了使学生对符号和底数有进一步的认识。增添（6），提高综合运用的能力。通过改错纠正，反思做题过程，深入理解法则的意义，达到融洽贯通。魔方的探究能激起学生浓厚的学习兴趣，进一步体会幂的乘方法则。挑战性问题能激发学生情智，从最近发展区理论出发，适当设置本课内容相关的挑战性问题对发展学生主动探索能力大有裨

15、益。开放式小结，充分地调动每一个学生的积极性在小结中形式知识结构，便于学生理解和掌握。【设计思想】1、这节课开始就展示了三张有趣的照片，让同学深刻体会到幂的乘方运算结果变化之大，增加了对幂的乘方的学习兴趣，然后又通过“做一做”了解幂的乘方运算法则的生成过程，通过让学生大胆发言阐述自己的理由，通过学生亲自动手动脑更深刻体会到如何进行积的乘方运算。2、这节课的设计主要体现课改精神中的：探索、交流、合作精神，鼓励学生在自主探究中理解知识的生成过程。5.1节 第3课时【教学内容分析】本节课通过合作探究得到积的乘方法则，进而能灵活运用该法则进行应用和计算。【教学目标】1、经历探索积的乘方的法则，进一步体

16、会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。2、了解积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。【教学重点、难点】重点是理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。难点是运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，运算时正确运用运算法则是本节的难点。【教学准备】展示课件【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考用逐步展示的形式回顾复习n个a1、幂的意义：a·a·a=an2、同底数幂相乘的运算法则：am·anamn（m，n都是正整数）3、幂的乘方运算法则（am）namn（m，n都是正

17、整数）二、合作交流，探索新知1、合作学习（1）根据乘方的意义（幂的意义）和同底数幂的乘法法则（4×6）3表示什么？（4×6）3（4×6）·（4×6）·（4×6） （4×4×4）·（6×6×6）43×63（2）那（4×6）5，（ab）3又等于什么？（3）探索：由特殊的（ab）3a3b3出发，你能想到一般的公式吗？猜想：（ab）nanbn2、论证猜想 n个ab（ab）nab·ab·ab （幂的意义） n个a n个b（a·a

18、3;a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）anbn （幂的意义）3、分析法则（1）积的乘方法则：（ab）n an·bn（n为正整数） 积的乘方 乘方的积 上式显示： 积的乘方积中每个因式分别乘方后的积（2）你能认出法则中“因式”这两个字的意义吗？（3）（ab）nan·bn吗？（ab）nanbn吗？4、公式的拓展（abc）n （n为正整数），为什么？说明时有两种思路：一种思路是利用乘法结合律，把三个因式的乘方转化为两个因式积的乘方，再用积的乘方法则。另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：用乘方的意义，乘法交换律与结合律。三、应用新知，

19、体验成功1、阅读体验，解析例题（1）例4：计算下列各式1）（2b）5 2）（3x3）6 3）（-3x3y2）3 4） 2 4ab3解：1）（2b）525b532b52）（3x3）6 36（x3）636x18729x183）（-3x3y2）3-（x3）3（y2）3-x9y64） 2 ab 4 2 4 16 a4b4 a4b43 3 81（2）例5： 木星是太阳系九大行星中最大的一颗，木星可以近似地看成球体。已知木星的半径大约是7×104km，木星的体积大约是多少km3（取3.14）。解：v4/3r3 4/3（7×104）3 4/3×73×1012 4/3&

20、#215;3.14×343×10121436×10121.44×1015（km3） 答：（略） 分析时注意强调运算顺序。2、练习巩固（1）下列计算对吗？如果不对，请改正。（3a2）327a5 × 27a6（-a2b）4-a8b4 × a8b4（ab4）4ab8 × a4b16（-3pq）2-6p2q2 × 9p2q2 4（23）423 × 212注意（23）42124 23281（2）计算：（ab）6 （a2y）5（x2y3）4 （-a2）33a2·a4（3）填空：a6y3（ ）3 81x4y1

21、0（ ）2四、探索延伸展示：不用计算器，发挥你的聪明才智，相信你能很快求出下列各式的结果。（1）22×3×52（2）24×32×53（3）2·59×48通过分析使学生明确（ab）nanbn公式有时可以逆用。五、归纳小结1、提问：今天的课你有何收获，与同伴交流一下。2、小结：幂的意义 积的乘方运算法则（ab）n同底数幂的乘法则 anbn3、小结：有时反向运用法则也会起到简化运算的作用。六、知识留恋，课后韵味布置作业：课本后附作业题上课开始时对旧的相关知识的复习梳理，即能巩固已有的知识结构，又为构建新知识奠定基础。通过合作学习，一步一步的

22、展开即体会幂的意义，又逐步在探索新的知识，通过由特殊到一般的探究，猜想、论证、归纳，即构建了新知识，又体验了知识的发生过程。法则分析，更能在理性上把握法则。辨别和拓展是对法则的一种充实，适时的辨别和恰当的拓展，效果显得更佳。多角度的考虑问题，对良好思维品质的形成大有好处。严格按步骤分析例题，使学生进一步体会积的乘方法则。通过实际问题的解决，进一步理解实际问题与数学的联系。同时也体会到积的乘方法则在实际问题中的应用。在已学了3个法则之后，用改错纠正题更能辨别3个法则之间的联系与区别。通过探究延伸，旨在理解积的乘方的逆用，同时也告知学生公式灵活应用的又一个方向。通过开放式和总结式的小结，达到进一步

23、梳理知识，体会法则的作用。【设计思想】1、本课时在已有的同底数幂相乘法则和幂的乘方法则，以及乘方的意义的基础上，通过合作交流，探索归纳得出积的乘方法则，正是从建构主义观点出发而一环一环设计而成的。2、适时的辨明和恰当的拓展、延伸，效果特佳，并能增强课堂的兴趣，发展学生的思维能力。第5.2节 单项式的乘法一、背景介绍及教学资料本教材改变了传统教材的做法，在全面系统地学习了整式乘法的三个基本法则之后，开始学习单项式的乘法，符合从法则到运用的认知规律。改变了以往先学单项式的乘法，再学积的乘方的不系统的做法。另外，本节内容系整式乘法的三大法则的基础运用，应当一方面拓展知识，另一方面体验三大法则的具体运

24、用，以加深印象。二、教学设计【教学内容分析】单项式乘法是整式乘法的重要内容，是多项式乘法的基础。它是以幂的运算性质为基础，根据乘法交换律、结合律和分配律进行计算的。进行单项式乘法运算时，首先弄清每个单项式的系数，字母及各个字母的指数，注意单项式的系数包括前面的符号，对于只在一个单项式中出现的字母不能漏掉，单项式与多项式相乘时要特别注意分配律应用时项的符号处理。【教学目标】1、了解单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的法则，并理解其中的算理，进而会进行单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的运算。2、体会乘法交换律、结合律和分配律的作用和转化的思想。3、在探索过程中，利用运算律将问题转化，使学

25、生获得成就感，培养学习数学的兴趣。【教学重点、难点】重点是单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。难点是如何灵活进行单项式的乘法运算。【教学准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考简单回顾新学的有关幂的运算性质，鼓励学生参与回顾。二、创设情景，引出课题。展示：天安门广场展示：一位旅行者用步长测量天安门广场的面积：他从南到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步，然后根据自己的步长来估算广场的面积。（1）如果用字母a表示该旅行者的步长，你能用含a的代数式表示广场的面积吗？（1100a）×（625a）（2）假设这位旅行者的步长

26、为0.8m，那么广场的面积大约是多少m2？（1100×0.8）×（625×0.8）440000m2（3）通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算？运算依据是什么？教师引导，学生参与，从具体实行（1100×0.8）×（625×0.8）1100×625×0.82开始运用乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的运算性质能得出：（1100a）×（625a）（1100×625）×（a×a）（1100×625）a2二、诱向深入，构建模型类似的3x2y·2x3y2，（

27、abc）·（a2c）怎么办呢？学生小组交流，合作学习，老师进行引导总结：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂与同底数幂相乘（3）其余字母及其指数不变作为积的因式师：以上各题正是单项式与单项式相乘，总结得到的三点正是单项式与单项式相乘法则。三、展示应用，评价自我。1、做一做。（学生到黑板前演示，之后师生共同评定）（1）3b3·5/6b2 （2）（-6ay3）（-a2）（3）（-3x）3（5x2y） （4）（2×104）（6×103）·107注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉（2）结果仍是单项式 （3）要注意运算顺序2、练一练课本p121 1、2四

28、、合作学习，再觅新知一幅电脑画的尺寸如图5-3（详见课本p170）（1）请用两种不同的方法表示画面的面积；方法一：a（a-2m）方法二：ab-am-amab-2am（2）这两种不同方法表示的面积应当相等，你所用运算律解释它们相等吗？（体会分配律及其转化）（3）通过上面讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？学生小组讨论，合作学习，逐步从a（b-2m）ab-2am中提炼出单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（注意：项是包括符号的）五、应用新知，体验成功。1、试一试（教师与学生共同完成）（1）2a2b（1/2ab-3ab2）（2）

29、（1/3x-3/4xy）（-12y）2、练一练课本p122课内练习3。六、归纳小结，充实结构。1、单项式与单项式相乘法则2、单项式与多项式相乘法则3、法则是由哪些运算律转化而来的？七、知识留恋，课后韵味。布置作业：1、课后作业题 2、课本p123设计题温故而知新由实际中的具体问题引出数学问题，进一步加强学生对数学的兴趣。从特殊到一般，从具体到抽象。运算律的转化使用进行更深入的探讨，学会总结运算中的规律。展示自我，有错纠之，无则加勉。通过实际情景和合作学习的方式，使学生更易体会事物之间的联系，加深印象。及时巩固，及时反馈，更有利于知识的掌握。在教师引导下，学生自主进行归纳，能够使新学的知识及时地

30、纳入学生的认知结构。设计题能培养学生的综合实践能力，是一个好题材。【设计说明】：本节课通过创设情景和合作学习引入新知识，使得知识的构建比较自然，通过设计问题，使学生体会到相关运算律的转化，并体验从特殊到一般，从具体到抽象，抽象又服务于具体的认知规律。同时，通过两段论式的设计，分解新知识的难度，使得学生能分步掌握知识。第5.3节 多项式的乘法一、背景介绍及教学资料本教材在单项式的乘法之后直接安排多项式的乘法，显得贴切自然，多项式乘以多项式是整式乘法的一部分。本课时利用对同一面积不同表达和分配律的运用两个方面，探索多项式相乘的运算法则，进而体会分配律的重要作用，以及转化思想，并从理解的角度掌握多项

31、式乘法法则。二、教学设计【教学内容分析】本节课从同一面积的不同表达入手，通过分析讨论，进一步体会分配律的作用的情况下得到多项式相乘法则。由法则可知：（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。【教学目标】1、经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2、学会用多项式乘法法则进行计算。3、培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。【教学重点、难点】重点是掌握多项式的乘法法则并加以运用。难点是理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算。【教学

32、准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考教师引导学生复习单项式×多项式运算法则整式的乘法实际上就是单项式×单项式单项式×多项式和今天学多项式×多项式二、创设情景，导入课题展示：节前语和图片。展示：课本中三图 图5-4 图5-5图5-5 图5-6一间厨房的平面布局如图5-4，试用几种方法表示厨房的总面积。（师生共同探索，鼓励学生用不同的表示方法完成，然后总结）由图5-5得总面积为（a+n）（b+m）由图5-6得总面积为a（b+m）+n（b+m）或ab+am+nb+nm此时提出问题多项多的乘法。三、探索法则与应用（a+n）（b+m）a（b+

33、m）+n（b+m） ab+am+nb+nm根据分配律，我们也能得到下面等式：（a+n）（b+m）ab+am+nb+nm1、在学生发言的基础上，教师总结多项式×多项式的乘法法则并板书法则。让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。2、例题讲题例1 计算（1）（x+y）（a+2b）（2）（3x-1）（x+3）强调法则的作用。例2 先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a2/17解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4） 6a2+2a-9a-3-6a2+24a17a-3当a2/17时

34、，原式17×2/17-3-13、课内练习见课本p126四、拓展延伸，探索挑战 1、拓展演练（1）（a+b）（a-b）（2）（a+b）2（3）（a+b）（a2-ab+b2）（4）（a+b+c）（c+d+e）2、探索课本p126 第6题五、归纳小结，充实结构指导学生总结本节课的知识点、学习过程等的自我评价。主要针对以下两个方面：1、多项式×多项式2、整式的乘法六、知识留恋、课后韵味布置作业：课后作业题。培养学生前后知识的连续性、一致性。创设情景，引入新课，激发学习兴趣。通过对同一面积的不同表示方式，使学生对多项式与多项式的乘法有一个直观的认识，给出了多项式相乘的一个几何解释。渗

35、透整体思想和转化思想。这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，体会分配律可以将多项式与多项式相乘转化为单项多与多项式相乘。通过例题讲解，使学生明确每一步运算的道理，发展他们有条理的思考能力和表达能力。明白各步算理，为公式学习打基础。积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。鼓励学生发言，锻炼学生的语言表达能力和归纳总结能力。【设计说明】本课设计通过实例引入，利用几何图形来解释多项式乘以多项式法则，显得自然贴切，并通过分配律的应用加以解释，体会了数形结合和转化的思想，并通过例题、练习、拓展性习题，环环相扣，进一步巩固了法则，注意了项、符号等一些必须引起注意的问题，使学生明确规范的书写格式和每一步

36、的算理。第5.4节 乘 法 公 式一、背景介绍及教学资料本教材改变了传统教材乘法公式单独成章的模式，而是在学习了整式乘法的基本知识之后直接导入，显得贴切自然，使学生体会到从一般到特殊的思想。另一方面，新课标对乘法公式的要求是：会推导乘法公式（ab）（ab）a2b2，（ab）2a22abb2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。较之旧大纲，内容减少，要求降低。当然，乘法公式的推导是初中运用推理方法进行恒等变形的开端，在推导过程中使用了以特殊到一般的归纳推理方法，教学中不仅要求学生记住公式，理解公式，更要深入理解公式中字母的广泛含义。有关教学资料可以查阅“中国基础教育网”网址：www.cbe21

37、.com和浙江教育网/（教育资源）。二、教学设计第1课时【教学内容分析】本节课引导学生用所学过的多项式和多项式相乘的法则，动手运算两数和与两数差的积结果，从而让他们体会两数和与两数差的积的结果与这两数的关系，从而得出平方差公式，并通过做一做给出它的几何解释，即增加可信度和印象，也增强学生的学习兴趣。【教学目标】1、通过运算多项式乘法，来推导平方差公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。2、通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。3、初步学会运用平方差公式进行计算。【教学重点、难点】重点是平方差公式的推导及应用。难点是对公式

38、中a，b的广泛含义的理解及正确运用。【教学准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、创设情景，导入课题1、要求学生完成下列练习：（mn）（pq）（ab）（xy）（2x3y）（ab）（a2）（a2）（3x）（3x）（2mn）（2mn）2、问题：在完成上述练习过程中，你发现了什么特点？（引导学生发现结果为平方差型的题目，并将此类题目重新组合到一起，供学生观察）在探索中引入课题。二、交流探索，归结公式1、探索引导学生对引例中的进行研究，对探索发现的特点进行整理归纳。并回答问题：小题等式左边有哪些特点？回答问题：小题等式右边有哪些特点？2、归结引导学生仔细而具体地观察题目特征，进而分析产生这些特

39、点的原因，然后由特殊到一般寻找出规律，并用语言进行概括，得到：（ab）（ab）a2b2即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。3、几何解释平方差公式做一做：展示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。（1）请计算图的阴影部分的面积（让学生用正方形的面积公式计算）。（2）小明将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长与宽是多少？你能表示出它的面积吗？ 图1 图2让学生先思考小明的这种拼法对吗？（2）中的阴影部分的面积是（1）中的阴影部分的面积吗？并说明理由（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？先请同学们阅读，然后独立完成，由学生板书：（1）a2b2；（2）长为（ab），宽为（a

40、b），它的面积是：（ab）（ab）。（3）式相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。即a2b2（ab）（ab）。三、例题分析，巩固公式。1、例1 利用平方差公式计算：（1）（3x5y）（3x5y）；（2）（0.5ba）（-0.5ba）（3）（-mn）（-mn）让学生仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点（老师可以引导学生：两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数）符合运用平方差公式的条件（教师引导学生把每个多项式的每一项看作是a，第二项看作是b）。解：(1)(3x5y)(3x5y)(3x)2(5y)29x225y2 （ab）（ab） a2 b2（2）（0.5ba）（-0.5ba）（

41、a0.5b）（a0.5b）a20.25b2 （ab） （ab） a2 b2（3）（-mn）（-mn）（-m）2n2m2n2 （ab）（ab） a2 b22、例2 用平方差公式计算（1）103×93 （2）59.8×60.2解：（1）103×93（1003）（1003）1002321000099991（2）59.8×60.2（600.2）（600.2）6020.2236000.043599.96可引导学生思考（103×93）比100×100小 59.8×60.2比60×60小 你发现了什么？3、课内练习课本p128练

42、习题四、探究延伸，发展能力1、探究：怎样计算(21)(221)(241)(281)+1？你能找到比较简便的方法吗？类似地，怎样计算(31)(321)(341)(381)+1？你能进一步的猜想吗？2、备选练习用平方差公式计算（1）（-0.25xy）（-0.25xy）（2）（-2x3y）（-2x3y）（3）（2x5）（2x5）（2x1）（2x1）五、归纳小结，充实结构1、今天学到了什么？让学生口头表述平方差公式的内容，并用字母写出它的表达式。2、你认为平方差公式的用处是什么？3、怎样使用平方差公式？六、知识留恋，课后韵味布置作业：课后作业题承上启下作用，即复习了旧知识，又为新课埋下了伏笔。学生在教

43、师的引导下，自主探索问题。学生是学习的主体，学生是在教师引导下，自主发现和认识问题，并且经过自主探索获得数学知识。学生获得知识的过程，实际上是学生在已有经验的基础上，在教师的指导下主动构建知识的过程。学生在教师的组织指导下，在获得数学知识的同时受到科学发现的熏陶，享受发现公式的乐趣，学习兴趣得到激发，思维能力得到发展，学习效率大大提高，同时还学会学习、交流、合作。通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，使学生对此公式有一个直观认识。起范例和巩固公式的作用，并使学生进一步体会平方差公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式。培养学生观察能力和发现问题的能力，以及运用所学的知识灵活解决问题的

44、能力。适当的提高、点拔，而起到分层次教学的作用，又使学生体会公式的运用。（1）（2）用来分辨公式的a，b。（3）稍有综合，培养综合运用能力。使学生进一步明确公式，认识到平方差公式在多项式乘法中的重要作用以及如何正确使用平方差公式。【设计说明】让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们学习的动力，培养他们良好的学习习惯。让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想。运用图形来解释和探究公式，显得直观贴切，同时领悟数形结合的数学思想。教师从学生学习的传授者真正变为学生学生的合作者。在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识，则由学生自己得出。这样

45、，即加深了学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴第5.4节 第二课时【教学内容分析】本节课通过学生合作学习，利用多项式相乘法则和图形解释而得到完全平方公式，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。【教学目标】1、通过合作学习探索得到完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。2、通过体念、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。3、初步学会运用完全平方公式进行计算。【教学重点、难点】重点是理解完全平方公式，运用公式进行计算。难点是从广泛意义上理解公式中的字母，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。【教学准

46、备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考复习平方差公式及如何运用。二、合作学习，探求新知1、合作学习：布置各小组开展节前小组学习，然后结合各小组合作学习情况开始共同探究。2、代数探究运用多项式与多项式相乘的法则计算（1）（ab）2 （2）（2x）2（3）（2ax）2观察上述3题的计算结果，你发现有什么规律？3、几何探究如图你能用多种形式表示上图的面积吗？形式一：（ab）2形式二：a2ababb2a22abb2形式一和形式二表示的是同一个图形的积，所以（ab）2a22abb24、形成公式，巩固练习综上所述，我们有以下两数和的完全平方公式：（ab）2a22abb2即两数和的平方，等

47、于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。模仿练习：（a1）2 （3x）2 （2a3b）2 5、换元拓展提问；（ab）2等于什么？是否可以写成a（-b）2?你能继续做下去吗？通过讨论，尝试得到（ab）2a22abb2即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。模仿练习：（y7）2 （7y ）2三、探求规律，巩固练习1、探求规律在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用一句顺口溜来强化记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放。”公式变形为：（首±尾）2首2±2×首×尾尾22、运用规律填表式子首项尾项结果的中间项结 果(完全平方式)符号系数(x+

48、2y)2(2a-5)2(-2s+t)2(-3x-4y)2组织学生展开讨论，由上面的表格不难得出：首尾平方总得正，中间符合看首尾项的积，同号得正，异号得负，中间的两倍记牢，进而总结步骤为：（一）确定首尾，分别平方；（二）确定中间项的系数和符号，得出结论。3、巩固练习（1）（2a3）2 （2）（b3）2（3）（-2x3y）2 （4）（31/3t）2（5）（0.5m0.2n）2（6）（13x）（3x-1）四、运用法则，解决问题例：花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少？解：（略）。五、发散练

49、习，勇于创新（1）下列计算是否正确？如何改正（ab）2a2b2（ab）2a2b2（a2b）2a22abb2（2）填空a2b2 （ab）2a2b2 （ab）2x24y2 （x2y）2x24y2 （x2y）2（3）运用完全平方公式计算，992= 1002= 。（4）请你编13个完全平方式，并说出首尾项。六、归纳小结，充实结构1、今天你学到了什么？2、完全平方公式：（a±b）2a2±2abb23、口诀七、知识留恋，课后韵味布置作业：课本后附作业题。温故而知新，加强知识联系。通过合作、交流，培养学生自主探究、自主学习的能力。从代数、几何两个方面探索和论证公式，了解公式的产生过程，加

50、深印象和公式的可信度，并对公式有一个直观的认识。若学生直接用多项式乘法来推导，亦应予以鼓励，这里渗透换元法这种重要的思想方法。得到法则后，进行了简单的公式模仿，有了初步的感性认识，然后进一步启发学生分析法则特征，诱导他们总结规律，才能更好地掌握公式，领会其实质。这里的“口决”和抓住中间项正是总结完全平方公式的实质。设计（6）为作业做好铺垫。此例为了解决从掌握知识到运用知识的转化，使知识教学和能力培养结合起来，从而进一步加深对法则的理解，培养学生学会运用数学。编排发散练习，能进一步培养学生的创新能力，有效地开发学生的思维潜能，激发学生的学习兴趣，让学生在不知不觉中进一步理解并消化知识。设计（1）对学生可能出现错误作及时预防；设计（2）使学生对完全平方式有初步的了解。设计（4）能开阔学生的思维，给学有余力的同学提供更广阔的学习空间，学生对公式的理解也获得了升华。通过小结比，梳理知识构建新知识。【设计说明】本课时通过合作学习，即通过学生的合作交流，不断探究，自主地构建新知识，然后及时地巩固新知识，并用口诀、表格对知识中的重点和难点予以解决并落实。在学生的合作学习，探究与交流中渗透了换元思想和数形结合思想，在运用公式过程中，体会从一般到特殊，再