复第三章复变函数的积分作业题

1、第三章作业题2.分别沿y=x与y=x?算出积分/01+i （x2+iv） dz的值。jq zz t解：1）曲线y = x的参数方程理，ou,或z = / + o</<1,円得必=（1 +，妙。由复积分公式cfz）dz-l+z0rl(%2 + iy)dz = (t2 + it)(l + i)df=(l + z)jo0a" i 1dt + zj tdt i =1 i1 5. j 6 62)曲线y = x21 5.116 6x = t,0</< 1,或z二f + 沪，o</<1, i円得d?二(1 + 2)厶.得(x2 +iy)dz= q(/2 +it)

2、(l + 2it)dt-解：1） c为正向圆周z| = 2的参数方程：z = 2/,（09s2龙）。,2兀22町汕=4方2） c为正向圆周耳=4。由柯西积分公式:空必=2砒（勺）°z 勺1=0dz， c : z - 2 = 1;2方幺2z=z()=2dz c : z-a - a"(虽=2加7ndz=jc z-al)f厶j2解：根据柯西积分公毡虫=2耐(zo)得z 0f dz = 27iie'j% 21a2-i)a3-i)dz，c: z = r < 1;1解：被积函数的奇点z = ±u-±z-在c外， 2 2被积函数在c内和c上解析，根据柯西

3、一苗 基本定理鱸(11)11严=°6)£z3 cos込，c为包围？ = 0的闭曲线解：因汽cosz在复平面内都是解析皺，所以 被积函数在c内和c上解析，根据柯西一龄 基本定理得f3 coszdz二07 .沿指定曲线的正向计算f列各积分：7)( zdz，c: zjc(z2+1)(z2+4)l/(宀羽些土jc z + i解：被积函数的奇点z = ±i在c内,±2i在c外，f二丄c z-ljc(z2+1)(z2+4) 2i被积函数中的/(”+4)在c内和c上解析，根据 柯西积分公式得f zzdz 2 加(z +l)(z +4) 2i、2n2丿sinzdzytt

4、解：被积函数的奇点z = z0 = -在c内，且sinz在 包含c内的复平面内解析，木賜柯西积分的高阶导数公式丄爲曲=营 得 f sin z t 2m d sin z(")(%),八12ndz= t1! dz=2 加 coszl龙=01=08计算下列各题。4） z sin zdz解：因被积函数sinz在复平面为解析函数， 故zsinz有原函数，于是利用锯e积分和牛 顿一莱布尼兹公式，得-(zcosz - sinz£ z sin zdz = - j dcosz = -（zcosz秸 - coszz）= -cosl + sinl05)(z-沁解：因被积函数z-讥“在复平面为解析

5、函数 故(z-有原函数，于是利用分部积分和牛 顿一莱布尼兹公式，得2=0；(z-i)厂(z_i)d(_w 乙)(e z)d(zi)z=00必=-i+(-厂)l:=-i-宀 1=-/ +=(叮-jz=0= l-cosl + z(sinl-l)9.计算下列积分：dz,其中c:=4为正向;of p-+斗jc （ z +1 z + 2z 丿 解：被积函数的奇点-1,-2均在c内，由 柯西积分公式上了"必=2耐（勺）,得(4f(z + 1 z + 2i 丿 =2 加 4|, + 2 加 3|z=o=_1dz-dz + -dzjc z + 1 jc z + 2z9. = 14加z-zq-2i3

6、dz,其中q为问工啲任何复数c ： |z| = 1为正向解：被积函数的奇点为,（1）当问1时，奇点在c内，且，在复平面内解析由 柯西积分的高阶导数赵2蕊=气严）（勺）,得z- zq）ez2加 d2ezz=zo=a（2）当问1时，奇点在c外故被积函数在c内和c上解析,由柯西-古萨基本定理彳匙戸严血28证明：u =和卩=十_都是调和函数,乂2 +，2但况不是解析函数。、十 du 宀 dudv 2xy证：=2x,=-2y,dxdyd2u小d2u= 2 = - , 9 ay2 a%2d2u 八 d2v n y + y = 0, 0/ 亏2dv x2y22dx cx2 + y2)2d2v _ 6x2y-

7、2y3= (x2+y2)3a2v 9 hy = 0可知和卩都是调和函数。但少=竺dx dy点z = 2和直线y = ±j§x成立，故不能在其定义域内 处处可微，所阪+沙不是解析函数。du9dy (x2 + j2)d2v6£仅在30 由下列已知调和函数骑军析函数口 z) = u+ivo1)w = (x-y)(x2 + 4xy + y2) 解:偏积分法dudx=3x2 +6xy 3y2.du=3x2 6xy 3y2v =y = 3x2y + 3xy2-y3+gx)l)w 二(兀-y)(/ +4xy + y2) 解：(2)不定积分法理二 3兀2+6xy_3y2,理二 3

8、兀2 _6%y _3y2 dxdy/'(z) = -z = 3x2 +6%y-3y2 -i(3x2 -6xy-3y dx dy二3(z-iy)2 + 6(z-iy)y-3y2 -/3(z-iy)2 -6(z-zy)y-3y2 =3(1-z)z2 = u 积分亀=j j7 (z)dx+ c = (l- z)z3 +c, 因为比不含常数，所页是任意常纯虚数。1)w = (x- y)(x2 +4xy+ y2) 解:线积分法= 3x2 + 6xy 3y2- = 3x2 6xy 3y2 dxdyo,y) du 7 du .ax hay + c(0,0) dy dxgy) du 7 du 7ax-

9、ay + c0,0) qy&dv z dv zdxay + c =j(o,o)6xdyo,o) du .duzrdxdy +y du o dx(0,0) qyqxj(dx +y=0dy + cx乂 duo _鬲=匸(-3兀2)厶;+匸 (3x2 +6xy-3y2)dy + =-x3 +3x2y + 3xy2 - y3 +c, 从而/(z) = u+iv = (1- i)z3 + ic. (c是任意实常数)pxpx3 1.设v = epx sin y,求p的值使v为调和 函数，并求出解析函数*(?) = % +认 角军：=pepx sin y,=epx cosydxdy2 一 px-ep

10、x sin yd2v 2 px 52vn t = p el sin y, ?a%2ay2n= p2epx sin y - epx sin y = 0a%23y2=> #2 =1,艮卩# = ±1时j为调和函数。uepx cosy解空十严sin y,色dydu z du 丫rdxay+c = （6。）dx dyr（,o）3vdv r r=xay +dvdvax（0,0）dydxt dv 丁axay+cdy dxdy+cxdx +y=00 dxdy + cxj（o,o）dydx j（»o）e pxdx p epx sin ydy + c1=一 （epx 1） + pepx

11、 （cosy 1） + c p解： u (epx 1) + pepx (cosy 1) -hep=(p)epx + pepx cosy + c ,pp当/? = 土1 时 =/?/* cosy + c,从而 jf(z) = n + iv = pepx cosy + c + iepx sin y 当/? = 1 时z'(z) = ex cosy + c + iex sin y =/ (cosy + i sin y) 4- c =+ c当p = 10ly (乙)e * cosy + c + iex sin y =ex (cosy i sin y) + c = ez + c (c是任意实常数)。2)fc7t解：因g>0,被积函数的奇点z = a z = -a在c夕卜，根据柯西积分公式导r 1r /(7 + a