电磁场与电磁波课后习题及答案

1、百度文库9电磁场与电磁波课后习题解答给定三个矢量 a、B和C如下：ex ey2 ez3 ey4 ezex5 ez2(3) A求：(1)aA ；(7) A(B解(1) aA(2)(3)(4)C；(2)|a b ；C)和(AAA 12 22 (ex ey2 ez3) (ex ey2 ez3) |(ABA B叫C ； (8) (A ex ey2 ez33)2(5)(6)所以A|B由 cos ab上的分量由于B(7)(8)A|(B (A B)|CC)(A B) Cey20ex05ex10ez32ey40ey24ey2(ex10(exAB ； (5)A 在 BB) C 和 A (B12ex ey.14.

2、14(ey4 ez)ey4 ez)11Iex11ey6上的分量；(6) aC)。3吃-=、1453ez4.14.17A cos abex4 ey13ez12ez3111238ABBez10e<8 ey5 ez20ex10 ey1 ez4，得11ABcos1(-丄)V238135.5ez3) (ex8 ey5 ez20)42ey1ex2 ey 40 ez502ey1ez4(ex5 ez2)42ex10A (B C)ey ez23520ex55 ey44 ez11三角形的三个顶点为(1) 判断 RP2F3是否为一直角三角形;(2) 求三角形的面积。 解R(0,1, 2)、P2(4,1, 3)

3、和 Pa(6, 2,5)。(1)三个顶点p(0,1, 2)、F2(4,1, 3)和F3(6,2,5)的位置矢量分别为 ex6 ey2 ez5 aex 2 ey ez8，1eyez2，2ex 4R1221ex4 ez，R3113 ex 6 eyeyez3，r3R233ez7由此可见|R23 (ex 4RP2P3为一直角三角形。Rl2ez)(ex2 ey ez8)(2)三角形的面积SR12 R23一2求P ( 3,1,4)点到P(2, 2,3)点的距离矢量 解pex 3 ey ez4， pRp pp r pex 5Rpp与x、y、z轴的夹角分别为ex2ey2R23 1 ,17 .69 17.13

4、r及r的方向。ez3，R12ey3eza32.31-cos 1ycos 1 (eyRpp*120.47-边1(看,Rpp ) ez| RPPaIIABBe3二： 3.532177cos 1(|Rpp| )给定两矢量A ex2上的分量。解A与B之间的夹角为cosA在b上的分量为ey5 ez6，求它们之间的夹角和a在Bl 29 J给定两矢量A ex2 的分量。B'ey3 q 4 和 Bex6 ey 4ez，求 A B 在 Cexey ez 上exey2364ez4ex13ey22 ez10所以A B在C上的分量为(A B)c(A_B胆c|A C，则 B) A (A (A|C)A (AA)C

5、 (A A)C2514.43C ；C)，即证明：如果b解由AB A C，则有A (A (a|b)A (A A)BAC，于是得到(A A)BB C，未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设PX，由于A IB故 T/如果给定-A为一已知矢量，解由P aAC 和 A BAX而pA P A (A X)故得在圆柱坐标中，一点的位置由A x ， P和P已知，试求(A)X)A (A|A)XpAX pA A P X(4 3)定出，求该点在: '3 '(A A)X(1)直角坐标中的坐标；(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中x故该点的直角坐标为 (2,273,3)

6、。(2)在球坐标系中r 4故该点的球坐标为(5 53 1 - 120')25 er 2 r(3,4,(3,4,(用球坐标表示的场 E(1)求在直角坐标中点(2)求在直角坐标中点解(1)在直角坐标中点4cos(2 3)325、2、y 4sin(2 . 3)2、3、z 3 tan “4 3)53.1、2 . 3120?5)处的E和5)处E与矢量B ex2 ey2 ez构成的夹角。5)处，rEx ；(3)242( 5)250 '故251EDr2r23,4,ex EE cosrxEx(2)在直角坐标中点35近(3,4, 5)处，rex3 e425rex3 e4 ez53 220ez5，

7、所以25r1O'、2故E与B构成的夹角为EB cosi(卑)cosi( 19(1。逅) 153.6尹32球坐标中两个点(口，仆J和(r2, 2, 2)定出两个位置矢量 尺和R2。证明R1和R2间夹 角的余弦为cos cos 1 cos 2R1 exr1 sin 1 cos 1得至UcosR2exr2 sin 2 cos 2rJ 时恨2sin 1 cossin 1 sinsin 1 sinR2sin 1 sin 2 cos( 12)eyr1 si n 1 sin 1ey r2 sin 2 sinezr-i cos 11 cos 22 站2 cos1 sin 2 cos 2 2(cos 1

8、 cos 22 cos( 1 2)sin 1 sin1 sin 1sin 2) cos cos 1 cos 2A1 sin 2 sin 2 cos 1 cos一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：(e3sinS2erdSd 3sin0 0j (er3sin )|dS ”(er3sin )|在由r 5、z 0和z 4围成的圆柱形区域，对矢量 A"d S的值。52 3sind 75 2ez2z验证散度定理。解 在圆柱坐标系中a 1一(rra对中心在原点的一个单位立方体的积分为'1,；2 12 12( 2 2 2 2 1 Ad(2x 2x y 72x y z )d xdydz12

9、 12 1224) 一(2z) 3r 21 r rz425所以)Addz d (3r：2)rdr1200l00 0又1艸S2 '(ej Sez2z)*er d Sre d SezdSz)4 25 2525d dz24r d r d12000 00 01故有Ad1200A|dS詁1求(1)矢量A exx2 eyx2 y2 ez24x2 y2z3的散度；(2)求|a对中心在原点的一个 单位立方体的积分；(3 )求a对此立方体表面的积分，验证散度定理。“2、“2 2、" 2 2 3、解(1) a 旦(24x y z ) 2x 2x2y 72x2y2z2T x yz故有解1,；2 1

10、2i''|A|dS(2dydz12 21 22 1 22x2()2dxdz21 21 22 2 1324x y (一)d xdy1 2211AdA卜I24'S T1 2dS计算矢量r对一个球心在原点、半径为Sr|edS又在球坐标系中,4r(r r r2r)求矢量A exx正方形的两边分别与 斯定理。所以故有12 12(d y dz1 212122122x2(1 21 21)2dxdz2 21 324x y () d xdy1 2 2的球表面的积分，并求aa2sin d 4 a30所以a3r2sin drd d 4 a30 00沿xy平面上的一个边长为x轴和y轴相重合。再

11、求2eyX2ezy z2xdxo2xd x2222dy0exeyex2yzSAdl 8124r对球体积的积分。2的正方形回路的线积分，此A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克20d y 80ez2xz2y z2 2(ex2yz ez2x)ezdxdy 8AldS求矢量A解Ad lexX eyxy''xdx C2沿圆周2xyS证明：（1）AdSezAs xR 3 ；(2)a2的线积分，再计算dycos sin42a cosA对此圆面积的积分。sin2 )da444a4a 22 . 2 /r sin0役）|ezdSyR 0 ；（3） （a|r）a。其中y2dSSRexXeyyezZ

12、，A百度文库为一常矢量。解(1)exeyez(2)(3)设 Aex AxeyAy(AR)一径向矢量场F解在圆柱坐标系中,可得到在球坐标系中，由可得到给定矢量函数 E(1 )沿抛物线x2 .y ；解(1)EdlC3zyyezAz，则AxXAyyAzZ，故ex(AxX Ayy AzZ)xey 严x Ayy Azz)ez(AxX Ayy Azz)zer f (r)表示，如果 JF丄乎2)r d rexAxeyAyezAzAf (r) C C为任意常数。r导r2f(r) 0r d rf(r) £rexy eyX，试求从点 R(2,1,(2)沿连接该两点的直线。这个Exdx Ey d yC2y

13、d(2y2) 2y2dy1(2)连接点R(2,1, 1)到点x 2y 1那么函数f (r)会有什么特点呢?yd x xdyC26y2 d y1F2(8,2, 1)直线方程为x 8y 21)到点P2(8,2, 1)的线积分Edl :E是保守场吗？14x 6y 4 0E|dlEx d xCC由此可见积分与路径无关，故是保守场。 求标量函数34exey5050Eydy22yd(6y 4) (6y 4)d y (12y 4)d y 1411x2yz的梯度及5ez定出；求(2,3,1)点的方向导数值。在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量5011百度文库19解ex(x2yz) ey(x2yz) e(

14、x2yz)y2 2eyX z ezx y故沿方向eex3.504ey.50|6xyz ei *501点(2,3,1)处沿e的方向导数值为_36161. 50. 50试采用与推导直角坐标中似的方法推导圆柱坐标下的公式解量为在圆柱坐标中,Ar r r(r(rr)Ar(r同理因此,矢量场5Q 的方向导数为502 24x z 5x y50,5060.50112.50AxAyAz 相xyzAzozr rr取小体积元如题图所示。矢量场a沿q方向穿出该六面体的表面的通r)d rdz zArzr,A(r,Az,z)Az(r, ,z故得到圆柱坐标下的散度表达式rAr(r,dr dz,z),z) A (r,rzr

15、 d r dz) Az(r,z)(rAr) rrd r dzAz 1 (rAr)r rAz zrdr d,z)rrzzAA(rAr)r1r rAzA穿出该六面体的表面的通量为出丄込r r222现有三个矢量 A、B、C为cose coscos e sinsin (2ez sin2ex(3y2x) qx(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表2e z cos2ez2rzs inez2z示？(2)求出这些矢量的源分布。 解(1)在球坐标系中1 2A-(r2Ar)r r1, 2 .2(r sin r r2-si nrr sincoscosA r2sinr2sin(

16、sin A)-r sin)rsin(sin cos cos )cos 2sin coscosr sin(sin )r sinrer sin ersinrAersin cosrsin Arersinr cos cosr sin sin故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示; 在圆柱坐标系中B = _(rBJ - BBzr rrz1(rz2 sin)1(z2cos ) (2rzsin )r rrz22z sinz sin2r si n2rsinrrerreezerre ez11B rrzrrzBrrBBz2 z sinrz2 cos 2rz sin故矢量B可以由一个

17、标量函数的梯度表示；直角在坐标系中0|c =CxCyCzxyz2 2(3y2x) (x) (2z)xyzexey ezez(2x 6y)X3y2 2xz2z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为IA 0， A 0 ；B = 2rsin ， B 0 ；C 0， C ez(2x 6y)利用直角坐标，证明(fA) f |A a f解在直角坐标中x(Zx(fAx)xf|A a| f f(A A) (Ax 丄 Ay 丄 A 丄) y zx y zAx 丄)(fAy)(fAz)xyyz z(fAy) (fAz)(fA)y z 证明(A H ) H A A H解根据算子的微分运算性质

18、，有|(A H)a|(A H)h|(A H)式中 A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。HA/VHHAI同理故有由 a|(b c) c|(a b)，可得 a|(A H)(A H ) H A A H利用直角坐标，证明(fG) f G f G 解在直角坐标中GzG yGxGzGyGxf G fexy) ey( T ez(y )S，由斯托克斯定理有 u Pu)|dS ；i u|dlU d lcCldu 0yzzxxyf G ex(Gz Gy)ey (Gx 二-Gz ?)ez(GyGx)yzxxy所以fGzfGyf G f Gex( GzfT(Gy -f)yyzzey(GxfGx fx)(Gzf匀zzxxffGxez(Gyyf y)G -fTxxyyex (fGz