教学PPT动态电路的复频域分析

1、110 动态电路的复频域分析 罗明武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社2 本章知识要点：本章知识要点： 拉普拉斯变换的定义及性质拉普拉斯变换的定义及性质; ; 利用部分分式法求拉普拉斯反变换利用部分分式法求拉普拉斯反变换; ; 运算电路与运算法运算电路与运算法; ; 动态电路的拉普拉斯变换分析动态电路的拉普拉斯变换分析; ; 网络函数网络函数; ; 网络函数的零极点分布与时域响应网络函数的零极点分布与时域响应; ; 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社3为什么要引入拉普拉斯变换？为什么要引入拉普拉斯变换？（1 1）对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方）对一般的二阶或二阶以上的电

2、路，建立微分方 程困难。程困难。（2 2）确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微）确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微 分方程解中的积分常数也很烦琐。分方程解中的积分常数也很烦琐。 （3 3）动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦）动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦 稳态电路的分析统一起来。稳态电路的分析统一起来。 用拉普拉斯变换分析动态电路（也称为运算法），可用拉普拉斯变换分析动态电路（也称为运算法），可以完全解决上述问题。所以，运算法是研究动态电路的最有以完全解决上述问题。所以，运算法是研究动态电路的最有效方法之一。效方法之一。武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社4小资

3、料：小资料： 拉普拉斯，拉普拉斯， 十九世纪法国著十九世纪法国著名数学家、天文学家名数学家、天文学家 ，被誉为法，被誉为法国的牛顿。他的著作有：国的牛顿。他的著作有：宇宙体宇宙体系论系论、分析概率论分析概率论、天体天体力学力学等。等。 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社510.110.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换10.1.1 10.1.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1.1.拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义js式中：式中：为复数为复数)(sf称为称为)(tf的象函数的象函数)(tf称为称为)(sf的原函数的原函数0)()(dtetfsfst(10-1) (10-1) 记为：记为

4、：)(sf ( )l f t= =(10-2) (10-2) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社62.2.拉普拉斯反变换定义拉普拉斯反变换定义记为：记为：)(tf=1( )lf s其原函数和象函数都是一一对应的，简记为：其原函数和象函数都是一一对应的，简记为：)()(sftfjjtsdsesfjtf)(21)(10-3) (10-3) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社7例例10.110.1 求下列函数的拉普拉斯变换。求下列函数的拉普拉斯变换。 (a)(a)单位冲激函数单位冲激函数 ； (b)(b)单位阶跃函数单位阶跃函数 ； (c)(c)指数函数指数函数 。 )(t)(t)(

5、0tets解解 (a)(a)单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数的拉普拉斯变换1)()(0dtettlst式中式中)()()(0tetetsst, ,所以所以 1)(t(b)(b)单位阶跃函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数的拉普拉斯变换sesdtedtettlststst11)()(000st1)(所以所以 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社8(c)(c)指数函数的拉普拉斯变换指数函数的拉普拉斯变换 00)(01)(000ssdtedteeteltsstststs所以所以 01)(0sstets令令 实数，则实数，则0sstet1)(令令 虚数，则虚数，则 js0jstetj1)(武汉工

6、程大学武汉工程大学华中科技大学出版社910.1.2 10.1.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 1.1.线性性质线性性质 )()(11sftf)()(22sftf当当和和对任何实的或复的常数对任何实的或复的常数 、 ，有，有 1a2a)()()()(22112211sfasfatfatfa(10-4) (10-4) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社10例例10.210.2 求下列函数的拉普拉斯变换。求下列函数的拉普拉斯变换。 (a)(a)余弦函数余弦函数 ； (b)(b)正弦函数正弦函数 。)(costt)(sintt解解 (a) (a) 余弦函数余弦函数 )(21c

7、ostjtjeet应用线性性质应用线性性质221121)(cosssjsjstt(b) (b) 正弦函数正弦函数 )(21sintjtjeejt应用线性性质应用线性性质221121)(sinsjsjsjtt（欧拉公式）（欧拉公式）（欧拉公式）（欧拉公式）武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社112. 2. 延迟性质延迟性质若若 ，则，则 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为)()(sftf)(0ttf 上式就是拉普拉斯变换的延迟性质。它表明，一个函上式就是拉普拉斯变换的延迟性质。它表明，一个函数延迟时间后的象函数等于这个函数的象函数乘以数延迟时间后的象函数等于这个函数的象函数乘以0t se)(

8、)(00sfettfts(10-5) (10-5) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社12例例10.310.3 求下列函数的拉普拉斯变换。求下列函数的拉普拉斯变换。 (a)(a)延迟的冲激函数延迟的冲激函数 ； (b)(b)矩形波矩形波 。)(t)()(tt解解 (a)(a)已知已知 1)(t应用延迟性质应用延迟性质 set )(b)(b)已知已知 st1)(应用线性和延迟性质应用线性和延迟性质 )1 (111)()(ssesesstt武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社133.3.微分性质微分性质若若 ，则有，则有)()(sftf上式就是拉普拉斯变换的微分性质。上式就是拉普拉斯

9、变换的微分性质。)0 ()()(fssfdttdf(10-6) (10-6) 例例10.410.4 求如图求如图10-1(a)10-1(a)所示波形的拉普拉斯变换。所示波形的拉普拉斯变换。 图图 10-1 10-1 例例10.410.4电路图电路图武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社14解解 波形的表达式为波形的表达式为 )()()(tttttatf其导数为其导数为 )()()()(ttattttatf由由(1)(1)ststesaestasf)1 (/)(2图图 10-1 10-1 例例10.410.4电路图（续）电路图（续）11( )*1*ststal f teaet ss( 1 )

10、( 1 )而而( )( )(0 )( )l f tsf sfsf s （2 2 ）（2 2）武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社154. 4. 积分性质积分性质若若 ， )()(sftf则有则有 上式就是拉普拉斯变换的积分性质。上式就是拉普拉斯变换的积分性质。ssfdxxft)()(0(10-7) (10-7) 例例10.5 10.5 利用积分性质求利用积分性质求 的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 )()(tttf解解 已知已知 st1)(所以所以 201 11 ( )( )( )tl f tl ttlds ss 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社165.5.频移性质频移性质 上

11、式就是拉普拉斯变换的频移性质。它表明，一个上式就是拉普拉斯变换的频移性质。它表明，一个函数乘以函数乘以 后的象函数等于将该函数的象函数中的后的象函数等于将该函数的象函数中的s s换换成成 。taeas 若若 ， )()(sftf则则 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 )(tfeta)()(asftfeta(10-8) (10-8) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社17例例10.6 10.6 利用频移性质求下列原函数的拉普拉斯变换。利用频移性质求下列原函数的拉普拉斯变换。 (a) ;(a) ; (b) (b) 。 )(te tta)()cos(tteta解解 (a) (a) 已知已知

12、21)(stt应用频移性质应用频移性质 2)(1)(astteta(b) (b) 已知已知 22)()cos(sstt应用频移性质应用频移性质 22)()()cos(asastteta武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社18 根据拉普拉斯变换的定义和基本性质，可以方便地求得根据拉普拉斯变换的定义和基本性质，可以方便地求得一些常用的时间函数的拉普拉斯变换。一些常用函数的拉普一些常用的时间函数的拉普拉斯变换。一些常用函数的拉普拉斯变换如表拉斯变换如表10-110-1所示。所示。表表10-1 10-1 一些常用函数的拉普拉斯变换表一些常用函数的拉普拉斯变换表 象函数象函数f(s)原函数原函数f

13、(t) t0象函数象函数f(s) 原函数原函数f(t) t0 )(taaa/sa)(tataeasat tae tsin( t) cos( t) 21s2)(1as22s22sstae1taet a)1 ()sin( teta)cos( teta)sin(t)cos(tnt)(assa2)(ass22)(as22)(asas22cossinss22sincosss1!nsn武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社1910.2 10.2 利用部分分式法求拉普拉斯反变换利用部分分式法求拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的最简单方法是从拉普拉斯变换表中查出拉普拉斯反变换的最简单方法是从拉普拉斯变换表中

14、查出原函数。但是一般表中给出的是有限的一些常用的拉普拉斯原函数。但是一般表中给出的是有限的一些常用的拉普拉斯变换对。拉普拉斯反变换可以用变换对。拉普拉斯反变换可以用(10-3)(10-3)式求得，但这是一个式求得，但这是一个复变函数的积分，计算通常是困难的。所幸集中参数电路中复变函数的积分，计算通常是困难的。所幸集中参数电路中响应的拉普拉斯变换一般是响应的拉普拉斯变换一般是s s的有理分式。当象函数为的有理分式。当象函数为s s的有的有理分式时，求拉普拉斯反变换可以用代数方法进行。理分式时，求拉普拉斯反变换可以用代数方法进行。 其中其中 、 均为实数。若均为实数。若 ，则可通过长除法分解为有理

15、多，则可通过长除法分解为有理多项式与有理真分式之和，即项式与有理真分式之和，即nambnm )()()()(0sdsnspsf(10-10) (10-10) 01110111)()()(asasasabsbsbsbsdsnsfnnnnmmmm(10-9) (10-9) 设有理分式设有理分式武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社20 对于有理真分式，可以用部分分式展开法（或称展开定对于有理真分式，可以用部分分式展开法（或称展开定理）将其表示为许多简单分式之和的形式，而这些简单项的理）将其表示为许多简单分式之和的形式，而这些简单项的反变换容易得到。部分分式法简单易行，避免了应用式反变换容易得到

16、。部分分式法简单易行，避免了应用式(10-3)(10-3)计算复变函数的积分问题。现分几种情况讨论。计算复变函数的积分问题。现分几种情况讨论。10.2.1 10.2.1 单实根情况单实根情况 若分母多项式若分母多项式 的的n n个单实根分别为个单实根分别为 、 、 ，按照代数学的知识，则，按照代数学的知识，则 可以展开成下列简单可以展开成下列简单的部分分式之和的部分分式之和1p2pnp)(sf0)(sdniiinnpskpskpskpsksf12211)(10-11) (10-11) 式中，式中， 、 、 为待定系数。这些系数可按下述方法确为待定系数。这些系数可按下述方法确定。定。 1knk2

17、kipsiisfpsk)()(10-12) (10-12) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社21故原函数为故原函数为 nitpitpntptpinekekekektf121121)(0t(10-14) (10-14) 由于由于tpiiiiekpsk(10-13) (10-13) 例例10.7 10.7 已知象函数已知象函数)12)(65(162)(22sssssf, ,求原函数求原函数 。)(tf解解 将分母因式分解，可知分母多项式有三个单实根将分母因式分解，可知分母多项式有三个单实根: , : , , , 。故。故 可展开为可展开为21p312p 23p )(sf1232)12)(

18、3)(2(162)(3212sksksksssssf其中各系数为其中各系数为4 . 21024)12)(3(162| )()2(2221ssssssfsk武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社22934)12)(2(162| )()3(3232ssssssfsk4515290304)3)(2(162| )()12(122123ssssssfsk所以，原函数为所以，原函数为231234152( )(2.4) ( )945tttf teeet10.2.2 10.2.2 多重根情况多重根情况设设 在在 有三重根，例如有三重根，例如0)(sd1ps 31)()()(pssnsf(10-15) (1

19、0-15) 则则 进行分解时，与进行分解时，与 有关的分式要有三项，即有关的分式要有三项，即)(sf1p13212311)()()(pskpskpsksf(10-16) (10-16) 1232)12)(3)(2(162)(3212sksksksssssf（续前）（续前）武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社23式中，式中， 、 为待定系数。这些系数可按下述方法确定。将为待定系数。这些系数可按下述方法确定。将上式两边乘以上式两边乘以 得得1k2k3k31)(ps 21312131)()()()(pskpskksfps(10-17) (10-17) 令令 ，代入上式，则，代入上式，则 就分离

20、出来，即就分离出来，即1ps 1k1)()(311pssfpsk(10-18) (10-18) (10-19) (10-19) 再对式再对式(10-17)(10-17)两边对两边对s s求导一次，得求导一次，得31231()( )2()dspf skk spds(10-20) (10-20) 再令再令 ，代入上式，则，代入上式，则 就分离出来，即就分离出来，即1ps 2k1321()( )spdkspf sds武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社241233121()( )2spdkspf sds(10-21) (10-21) 原函数为原函数为 )(2)(1113221teketketk

21、tftptptp(10-22) (10-22) 由以上对三重根讨论的结果，可以推导出具有由以上对三重根讨论的结果，可以推导出具有n n重根的情况。重根的情况。当分母多项式为当分母多项式为 时，时， 可展开成可展开成 npssd)()(1)(sf111211)()()(pskpskpsksfnnn(10-23) (10-23) 其系数为其系数为1)()(11psnsfpsk121()( )nspdkspf sds123121()( )2nspdkspf sds同样方法可得同样方法可得13212311)()()(pskpskpsksf（续前）（续前）武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社25

22、11111()( )(1)!nnnspndkspf snds(10-24) (10-24) 例例10.8 10.8 已知已知 ，求，求 。) 1(1)(23sssf)(tf解解 令令 ，共有五个根，其中，共有五个根，其中 为三重为三重根，根， ， 为单根。所以为单根。所以 0) 1()(23sssd01p12p31p 11) 1)(1(1)(54322313skskskskskssssf其中其中111| )(02031ssssfsk3202202( )|0(1)ssdsks f sdss2222330224012(1)4 (1)2( )|12(1)ssdss ssks f sdss 武汉工程大

23、学武汉工程大学华中科技大学出版社26413111(1) ( )|,(1)2ssksf ss s21) 1(1| )() 1(1315sssssfsk所以，原函数为所以，原函数为 tteettf2121121)(20t10.2.3 10.2.3 共轭复根情况共轭复根情况 由于由于 是是s s的实系数多项式，若的实系数多项式，若 出现复根，出现复根，则必然是共轭成对的。设则必然是共轭成对的。设 中含有一对共轭复中含有一对共轭复根，根， ，则，则 可展开为可展开为)(sd0)(sd0)(sdjp2, 1)(sfjskjskjsjssnsf21)()()(10-25) (10-25) 其中，系数为其中

24、，系数为jbaksfjskjs111|)()(10-26) (10-26) 11) 1)(1(1)(54322313skskskskskssssf（续前）（续前）武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社27由于由于 是是s s的实系数有理函数，应有的实系数有理函数，应有)(sfjbakkk1112|(10-27) (10-27) 原函数为原函数为tjjtjjtjtjeekeekekektf)(1)(1)(2)(111|)(11()()111|2|cos()0jtjtttkeeekett(10-28) (10-28) jskjskjsjssnsf21)()()(10-25) (10-25) （

25、续前）（续前）武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社28例例10.9 10.9 已知已知 ，求，求 。 )52(1)(2ssssf( )f t解一解一 求求 的根为的根为 ，是一对共轭复根。，是一对共轭复根。所以所以 0522 ss212, 1js2121)(221jskjsksksf其中各系数为其中各系数为 51521| )(0201ssssssfk4 .1532052905414)21 (1)21(1| )()21(121212tgjjjsssfjskjsjs原函数为原函数为)()4 .1532cos(10551)(ttetft武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社2910.3 1

26、0.3 运算电路与运算法运算电路与运算法 运算电路：运算电路：采用拉普拉斯变换分析动态电路时，画出采用拉普拉斯变换分析动态电路时，画出的含动态元件电路的复频域模型，称为运算模型（电的含动态元件电路的复频域模型，称为运算模型（电路）。路）。运算法运算法: :采用拉普拉斯变换分析动态电路的方法。采用拉普拉斯变换分析动态电路的方法。武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社3010.3.1 10.3.1 动态元件的运算模型动态元件的运算模型 1. 1.电阻元件电阻元件 图图10-2(a)10-2(a)所示电阻元件的伏安关系及拉普拉斯所示电阻元件的伏安关系及拉普拉斯变换为变换为 )()()()(sir

27、sutirtu(10-32) (10-32) 上式就是电阻元件伏安关系的运算形式。图上式就是电阻元件伏安关系的运算形式。图10-2(b)10-2(b)为电阻元为电阻元件的运算模型。可见，件的运算模型。可见，s s域中的欧姆定律与时域中具有相同形域中的欧姆定律与时域中具有相同形式。式。图图10-2 10-2 电阻元件电阻元件武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社312.2.电感元件电感元件 图图10-3 10-3 电感元件电感元件 图图10-3(a)10-3(a)所示电感元件的伏安关系为所示电感元件的伏安关系为 , ,两边两边取拉普拉斯变换，并根据拉普拉斯变换的微分性质，得取拉普拉斯变换，并

28、根据拉普拉斯变换的微分性质，得dttidltu)()()0()()()()(ilsislsudttidltu(10-33) (10-33) 式中，式中， 为电感的运算阻抗，为电感的运算阻抗， 表示电感中的初始电流。这样表示电感中的初始电流。这样就得到图就得到图10-3(b)10-3(b)所示的运算模型。所示的运算模型。 表示电压源，是电感表示电压源，是电感元件的初始电流演变而来，它体现了电感元件的初始贮能对电元件的初始电流演变而来，它体现了电感元件的初始贮能对电路的作用，称之为初值电源或附加电源。路的作用，称之为初值电源或附加电源。附加电压源从负极到附加电压源从负极到正极的方向与电流正极的方向

29、与电流 的方向相同的方向相同。式。式(10-33)(10-33)还可以写成还可以写成sl)0(i)0(il(0 )i武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社32sisuslsi)0()(1)(10-34) (10-34) 就得到图就得到图10-3(c)10-3(c)所示的运算模型。所示的运算模型。 为电感的运算导纳，为电感的运算导纳， 表示电流源。实际上，图表示电流源。实际上，图10-3(b)10-3(b)与图与图10-3(c)10-3(c)可用电源变换等可用电源变换等效。效。sl1si)0(3.3.电容元件电容元件 图图10-4 10-4 电容元件电容元件武汉工程大学武汉工程大学华中科技大

30、学出版社33)0()()()()(ucsuscsidttudctisusiscsu)0()(1)( 和和 分别为电容的运算阻抗和导纳。分别为电容的运算阻抗和导纳。附加电压源的极性与附加电压源的极性与 sc1cs(0 )u 的极性一致。武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社344.4.耦合电感元件耦合电感元件 图图10-5 10-5 耦合电感元件耦合电感元件dtidmdtidlu2111两边取拉普拉斯变换两边取拉普拉斯变换dtidmdtidlu1222)0()()0()()(2211111imsismilsislsu)0()()0()()(1122222imsismilsislsu武汉工程大

31、学武汉工程大学华中科技大学出版社35式中，式中， 、 为为自感的运算阻抗自感的运算阻抗， 为为互感的运算阻抗互感的运算阻抗。 和和 表示表示自感附加电压源自感附加电压源，方向方向与本支路自感电与本支路自感电压的方向相反。压的方向相反。1sl2slsm1 1(0 )l i2 2(0 )l i 和和 表示表示互感附加电压源互感附加电压源 ，方向方向与本支路互感与本支路互感电压的方向相反。电压的方向相反。)0(2im)0(1im武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社3610.3.2 10.3.2 电路定律的运算形式电路定律的运算形式 1 1kcl与与kvl的运算形式的运算形式基尔霍夫定律的时域形

32、式为基尔霍夫定律的时域形式为 对任一节点：对任一节点： 0)(tik，对任一回路：，对任一回路： 。 0)(tuk 对上述方程两边取拉普拉斯变换，并根据拉普拉斯变对上述方程两边取拉普拉斯变换，并根据拉普拉斯变换的线性性质，有对任一节点，换的线性性质，有对任一节点，kcl的运算形式为的运算形式为0)(sik(10-41) (10-41) 由上可见，复频域中的由上可见，复频域中的kcl和和kvl与时域中的与时域中的kcl和和kvl在形式上是相同的。在形式上是相同的。对任一回路，对任一回路，kvl的运算形式为的运算形式为0)(suk(10-42) (10-42) 武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学

33、出版社37 由于由于kclkcl、 kvlkvl的运算形式与基尔霍夫定律在直流电的运算形式与基尔霍夫定律在直流电路中的形式相同，及电感路中的形式相同，及电感、电容元件的运算感抗电容元件的运算感抗、运算容运算容抗的伏安关系与欧姆定律的形式相同，故直流中所有的分抗的伏安关系与欧姆定律的形式相同，故直流中所有的分析方法均能用于运算电路。析方法均能用于运算电路。武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社3810.4 10.4 动态电路的拉普拉斯变换分析（动态电路的拉普拉斯变换分析（板书板书）图图10-7 10-7 运算法的基本思路运算法的基本思路武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社39 例例10

34、.10 电路如图电路如图10-8(a)所示，开关打开前电路处于所示，开关打开前电路处于稳态，稳态，t=0时开关时开关s断开，试用运算法求电路中的电压断开，试用运算法求电路中的电压 。 1( )ltu图图10-8 10-8 例例10.1010.10电路电路解解 先求出初始值先求出初始值 1(0 )2.5ia ； 2(0 )5ia对电压源求拉普拉斯变换为对电压源求拉普拉斯变换为 100/s，该电路的运算电路如图，该电路的运算电路如图10-8(b)所示。所示。列列kvl方程：方程： 5 . 7100)()5 . 230(2ssis解得电流解得电流)12(403123/405 . 2305 . 7/1

35、00)(2ssssssssi武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社40电压为电压为 123408( )52( )5211212lsussisss 求其拉普拉斯反变换，故有求其拉普拉斯反变换，故有 )(8)()(121tettutlv 例例10.11 电路如图电路如图10-9(a)所示，开关所示，开关k打开前电路已打开前电路已稳定，稳定，t=0时开关时开关s打开，试用运算法求电容电压打开，试用运算法求电容电压 。 ( )cut图图10-9 10-9 例例10.1110.11的电路的电路武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社41解解 先求出电路的初始值：先求出电路的初始值： (0 )1li

36、a； (0 )2cuv对电压源求拉普拉斯变换，该电路的运算电路如图对电压源求拉普拉斯变换，该电路的运算电路如图10-9(b)10-9(b)所示。所示。 用节点分析法列节点方程为用节点分析法列节点方程为 3226651442141212441)(2sssssssssssu 电容电压为电容电压为sssssusuc232262)()(求其拉普拉斯反变换，故有求其拉普拉斯反变换，故有 v)()262()(32teetuttc武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社42例例10.12 10.12 求图求图10-10(a)10-10(a)所示电路的入端复频域阻抗所示电路的入端复频域阻抗z(s)z(s)。

37、 图图10-10 10-10 例例10.1210.12的电路的电路解解 画出零状态下的运算电路如图画出零状态下的运算电路如图10-10(b)10-10(b)所示。所示。 列回路方程得列回路方程得 )()(2)()1 (121sussisis (1)(1)0)(2)()41 (12ssisis (2)(2)(412)(12sisssi由式由式(2)(2)解得解得 (3)(3)将将(3)(3)式代入式代入(1)(1)式，得式，得)()(414)()1(1121susisssis所以，复频域阻抗为所以，复频域阻抗为1415414)41)(1 ()()()(211sssssssisusz武汉工程大学武

38、汉工程大学华中科技大学出版社43 例例10.13 10.13 如图如图10-11(a)10-11(a)所示电路所示电路，m=1h，开关，开关k打打开前电路已稳定，开前电路已稳定，t=0t=0时开关时开关s s打开，试用运算法求电流打开，试用运算法求电流 和和 。 ( )i t( )ltu图图10-11 10-11 例例10.1310.13的电路的电路解解 先求出初始值先求出初始值 ; ; 1(0 )4ia2(0 )0i对电压源求拉普拉斯变换，该电路的运算电路如图对电压源求拉普拉斯变换，该电路的运算电路如图10-11(b)10-11(b)所示。所示。列回路方程列回路方程4840)(2)()620

39、(sssisis解得电流解得电流512)5(104204/40)(ssssssssi武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社44电压为电压为5157)(34)(4)(4)(sssississisul求其拉普拉斯反变换，故有求其拉普拉斯反变换，故有 a)()2()(5tetitv)(15)(7)(5tettutl 例例10.14 10.14 电图如图电图如图10-12(a)10-12(a)所示，已知：所示，已知： v v， v v， ， 。试求电路的网孔电流。试求电路的网孔电流。)()(1tte)()(2tetetv1)0(cua1)0(li图图10-12 10-12 例例10.1410.14

40、的电路的电路武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社45解解 对电压源求拉普拉斯变换后，画出该电路的运算电对电压源求拉普拉斯变换后，画出该电路的运算电路如图路如图10-12(b)10-12(b)所示。所示。网孔方程为网孔方程为112111)()(256515115121ssssisiss可解得：可解得：1436) 1)(4)(3(243711)(3135221sssssssssi1434) 1)(4)(3() 1(4) 3)(5()(343132ssssssssssi求其拉普拉斯反变换，故有求其拉普拉斯反变换，故有 )()313526()(431teeetittt)()343134()(43

41、2teeetittt武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社4610.5 10.5 网络函数网络函数 在复频域分析中，网络函数起着十分重要的作用。利在复频域分析中，网络函数起着十分重要的作用。利用网络函数可以求解任一激励源作用时的零状态响应。利用网络函数可以求解任一激励源作用时的零状态响应。利用系统用系统( (网络网络) )函数的零极点分布还可以方便地确定系统响函数的零极点分布还可以方便地确定系统响应的特性。应的特性。10.5.1 10.5.1 网络函数的定义网络函数的定义 网络函数是描述电路在网络函数是描述电路在单一单一的独立的独立激励激励下，当所有下，当所有初始条件均为零时，初始条件均为

42、零时，零状态零状态响应的拉普拉斯变换与激励响应的拉普拉斯变换与激励信号的拉普拉斯变换之比。设输出信号为信号的拉普拉斯变换之比。设输出信号为 ，输入信，输入信号为号为 。则网络函数可表示为。则网络函数可表示为)()()(sfsyshzs激励信号的拉氏变换零状态响应的拉氏变换 (10-49) (10-49) )(tyzs)(tf武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社47 该式对于任意激励信号均成立。这里需要注意以下几该式对于任意激励信号均成立。这里需要注意以下几点：点： (1) (1) 网络函数是网络本身的特性，与具体的输入信号网络函数是网络本身的特性，与具体的输入信号无关；无关； (2) (

43、2) 网络函数是在所有初始状态均为零的情况下得出网络函数是在所有初始状态均为零的情况下得出的；的； 按网络函数的定义，则有按网络函数的定义，则有)()()(sfshsyzs(10-50)(10-50) 式中，如果式中，如果 ，则，则 ，)()(ttf1)(sf( )( )zsysh s两边取拉氏反变换两边取拉氏反变换( )( )zsyth t可见，可见，网络函数的原函数为冲击响应网络函数的原函数为冲击响应。武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社48 网络函数中的激励与响应既可以是电压，也可以是电流，网络函数中的激励与响应既可以是电压，也可以是电流，因此网络函数可以是阻抗、导纳，也可以是电压

44、放大倍数或电因此网络函数可以是阻抗、导纳，也可以是电压放大倍数或电流放大倍数。所以，网络函数有时也称为流放大倍数。所以，网络函数有时也称为“策动点函数策动点函数”（两（两变量处于同一端口）或变量处于同一端口）或“转移函数转移函数”（两变量不处于同一端（两变量不处于同一端口）。口）。 例例10.15 10.15 求如图求如图10-13(a)10-13(a)所示电路的网络函数所示电路的网络函数 。)()()(0susushs图图10-13 10-13 例例10.1510.15的电路图的电路图武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社49解解 方法一，用网孔法，设网孔电流为方法一，用网孔法，设网孔电

45、流为 、 。列网。列网孔方程为孔方程为 1( )i s2( )i s)()(5 . 0)()5 . 0/11 (21sussisisss(1)(1) 0)()5 . 0/11 ()(5 . 021sissssi(2)(2) 30232( )( ) 1( )( )( )2442ssusissh susussss3232( )( )2442sissussss武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社50方法二，用戴维南定理：方法二，用戴维南定理： 根据戴维南等效电路，输出电压为根据戴维南等效电路，输出电压为)(1115 . 0) 1(5 . 015 . 05 . 0)(1)(1)(2200suss

46、sssssssuszsusoc)()22)(1() 1(223susssssss所以，网络函数为所以，网络函数为 2442)()()(2330sssssusushs将右边的将右边的 电阻断开，可得开路电压：电阻断开，可得开路电压： )(5 . 015 . 0)(1susssussoc等效阻抗为等效阻抗为 sssszss115 . 0)1 (5 . 0)(1101武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社5.2网络函数的零极点分布网络函数的零极点分布由于网络函数一般是一个实系数的由于网络函数一般是一个实系数的s s的有理分式，即的有理分式，即(10-52)(10-52)01

47、110111)()()(asasasabsbsbsbsdsnshnnnnmmmm 其中其中 、 均为实数，均为实数， 和和 都是都是s s的有理多项式。的有理多项式。令令 的根的根 , , , , 称为称为 的的零点零点， 的的根根 , , , , 称为称为 的的极点极点。由于分子多项式。由于分子多项式 和和分母多项式分母多项式 均为实系数，这表明它们的根为实数或者共均为实系数，这表明它们的根为实数或者共轭复数。上式可表示为轭复数。上式可表示为namb)(sn( )d s0)(sn1z2zmz,)(sh0)(sd1p2p,np)(sh)(sn( )d snjjmiinmpszshpspspszszszshsh11021210)()()()()()()(10-53)(10-53)式中，式中， 为一实系数。将为一实系数。将 的零点和极点画于的零点和极点画于s s平面上，平面上，用用“ ”表示零点，用表示零点，用“ ”表示极点。这就是网络函数表示极点。这就是网络函数 零极点分布图。零极点分布图。0h)(sh)(sh武汉工程大学武汉工程大学华中科技大学出版社52例例10.16 1