经济数学基础讲义第7章多元函数微分学

1、第4章多元函数微分学4.2.1 二元函数的概念多元函数与一元函数类似，学习时应注意比拟.一元函数是含有一个自变量的函数：y f(x)。多元函数是含有多个自变量的函数，例如: 二元函数：z f (x, y)，三元函数：u f (x, y,z)等等.例1如果圆锥体底半径为r,高为h，那么其体积vV = 3它是二元函数.其中，r和h是自变量，v是因变量(函数)定义域：D (r,h)r 0,h0 .例2黑白电视：在t时刻屏幕上坐标为(x,y)处的灰度z为：z z(x, y,t)，它是三元函数.例3在一个有火炉的房间里，在t时刻，点(x,y, z)处的温度u是x,y,乙t的函数： u u(x, y,z,

2、t)，称为温度分布函数，它是四元函数.例4求函数z 、a2 x2 y2的定义域.解: a2 x2 y2 0,定义域为 D (x, y)x2y2 a2ln(x y)例5 求z 的定义域.ly解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有y 0x y 0D (x,y)y 0,x y 04.3 4.4偏导数二元函数z f (x, y)在点(x°,y。)处关于x的偏导数y取值不变，恒为 y0)lim 丄x,y°)f(x0,y0)(注意到:x 0记作： 一 或fx(x0，y0).类似地，关于y的偏导数: x(勺山)f(X。，y°y) f(x°,y°)y

3、2fy(x, y) 3x cos3yzy (1,0)fy(1,0)3x2 cos3y(1,0)求偏导数，包括两个偏导数，一个是对 应把y看作常数.这样z就变为了一元函数, 求偏导也类似.x求偏导，一个是对 y求偏导.对x求偏导时， 于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y元函数y f (x)在X。处可导，那么在X。处连续.多元函数z f (x, y)在(x。，y。)可导和在(x。，y。)连续，二者不能互推全微分z f(x, y)称dx dyx y为函数z f (x, y)在点(x, y)处的全微分例1：求z f (x, y) x2 sin3y在点(1,0)处关于x的偏导数解:将y看作常数,-

4、2xsin3y，xx2xs in3y(1,。)(1,。)解：z(2xy 当)2 11 (x2 -)x(1, 1) x(1, 1)y(1,1) x例2:求z乂在点(1, 1)处的全微分x2(1, 1)因此，dz dx 2dy4.5复合函数与隐函数微分法 复合函数求导法 设 z f (u,v)，而 u u(x, y)，v v(x, y)，那么zzuzv_zxuxvx y例1:z exy sin(x y).解法1 ：利用复合求导公式设xy , v x y，那么 zeusin vz uz vu(e sinv) y u xv x(eu cosv) 1ye® sin(x y) exy cos(x

5、 y)zeu sin v, u xy , 2xyfv x y(eu sin v) x (eu cosv) 1xexy sin(x y)exy cos(x y)解法2:直接求/ xy(e )sin(x y) xexy(sin (xy)yexy sin(x y) exy cos(xy)同理,xexy sin(x yy)exy cos(xy)例2:f (xy,x y),解：设uxy,v x y,那么z f (u,v)yfu解：设ux,2 血 xy ，求二2x,v xy ,那么 zf(u,v)xfu注意:2 .f (3x , sin x)，求dzdxf是二元函数：f u, v , un3x , v s

6、inx而z是关于u,v的二元函数,dzdx最终是关于x的一元函数.z du z dv u dx v dx6x fv cosxz f (x2y3)，求x y注意：f是一元函数，而 z是关于x, y的二元函数.z f (u), u2 X!3y ,z fuf 2xy3, z fu f 3x2y2XXyy例6 方程F(x,y)2 2x y2 a0( y 0)其图形为上半圆周，相应的函数为dy2xXy y(x)'22。显然，.aXdx2 . a2x2y另一种观点：2 X2ya20, x2y2(x)a20d小2yy0,X：2x,ydxy例7设函数yy(x)由方程xln yyexy 20所确定，求

7、y (x)解：无法由方程解出y(x) 但此y(x)应满足xln y(x) y(x)exy(x) 20ddx:Inxy yexyxy ,ye (y xy )0由此解出y : y3 xyyl n yyexy2 xy ?x ye xy ey4.6二元函数的极值二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似.假设对(Xo，yo)附近的(x, y)均有f(x°,y°)f (x, y)，那么称(xo, yo)是 f (x, y)的极小点，f(xo，yo)是极小值假设 - ' ，那么称是的极大点，是极大值.极大值点、极小值点统称为极值点极大值、极小值统称为极值.极值存在

8、的必要条件假设一元函数yf(x)在X。处可导，且X。是极值点，那么f(X。) 0假设二元函数z f (x, y)在(x0, y0)处可导，且(x0,y0)是极值点，那么fx(Xo,y。)0 , fy(x0, y0)0二元函数最大值、最小值假设z f (x, y)在闭区域D内连续，那么z f (x, y)在d内必有最大值和最小值.假设z f(x, y)在D内可导，且在D内有唯一驻点(x°,y°)，那么z f(x, y)在该驻点 (xo, yo)处的值就是最大值或最小值.下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤：(1 )根据题意，建立函数关系；(2 )求驻点；如果驻点合理且

9、惟一，那么该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点).例2用铁皮做一个体积为 V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省?解：设长、宽分别为x, y，那么高为xy，外表积为Sx解得x yxy2x 2yxy xy32V ,此时高为xy3 2V2答：当长、宽、高分别为3 2V、3 2V、一2匕时,22Vx无盖箱子用料最省.463条件极值在例2中，给定体积 V,求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值.拉格朗日乘数法求函数f (x, y,z)在条件(x,y,z)0下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法:令拉格朗日函数：F f (x, y,z) (x, y, z)求 F f(x,y,z)(x, y, z)的(无条件)极值：FFF0,0,-0,xyzF(x, y, z)0解此方程组.用拉格朗日乘数法解例2：求原题即为求S xy2xh2 yh在条件xyhV下的最小值