高中数学必修五1.1.2余弦定理第一课时

1、12复习回顾复习回顾正弦定理：正弦定理：ccbbaasinsinsinr2可以解决两类有关三角形的问题可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。已知两边和一边的对角。3那么，如果在一个三角形（非直角三角形）中，已那么，如果在一个三角形（非直角三角形）中，已知两边及这两边的夹角知两边及这两边的夹角( (非直角），能否用正弦定非直角），能否用正弦定理解这个三角形，为什么？理解这个三角形，为什么？不能，在正弦定理不能，在正弦定理 中，已知两边中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个

2、未知量。个未知量。sinsinsinabcabc二、提出问题二、提出问题a ab bc ca ab bc ccbacba4在三角形在三角形abcabc中，已知中，已知ab=c,ac=bab=c,ac=b和和a,a,求求bcbcabccba222cdbda22( sin )(cos )bac ba22cos2222cossinababcacb222cosbcacb 当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。自己完成。d几何法几何法三、概念形成三、概念形成5那么，学过向量之后，能否用向量的方法证明余弦那么，学过向量之后，能否用向量的方法证明余弦定理呢

3、？定理呢？cba向量法向量法cbacbcba2222acbcbcos|2|22即：abccbacos2222三、概念形成三、概念形成222)(|cbaacba6由此可明确由此可明确 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方和的平方等于其他两边的平方和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。cabbaccos2222bcaacbcos2222abccbacos2222应用：已知两边和一个夹角，求第三边应用：已知两边和一个夹角，求第三边7从余弦定理，我们可以得到它的推论从余弦定理，我们可以得到它的推论bcacba2cos222acb

4、cab2cos222abcbac2cos222应用：已知三条边求角度应用：已知三条边求角度 判断三角形。判断三角形。8余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方和的平方等于其他两边的平方和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。cabbaccos2222bcaacbcos2222abccbacos2222勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？9cabbaccos2222勾股定理勾股定理c为钝角为钝角;c为锐角为锐角.222bac令令c900令令c900令令c900222bac222bac10【分析】【分析】首先利

5、用余弦定理求出边首先利用余弦定理求出边b，然后，然后用正弦定理，结合边角关系以及三角形内角用正弦定理，结合边角关系以及三角形内角和定理求得另外两角和定理求得另外两角应用一：已知两边和夹角1112【点评】【点评】 已知两边及其夹角解三角形时先已知两边及其夹角解三角形时先利用余弦定理求第三边，后用正弦定理求其利用余弦定理求第三边，后用正弦定理求其余两角，解是唯一的余两角，解是唯一的13自我挑战自我挑战1在在abc中，中，a120，b3，c5，求：，求：(1)a；(2)sinbsinc.1415 在在abc中，已知中，已知a7，b3，c5，求最大角和求最大角和sinc.【分析】【分析】在三角形中，大

6、边对大角，所以在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大边所对角最大已知三边，解三角形已知三边，解三角形1617【点评】【点评】在解三角形时，有时既可用余弦在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理定理，也可用正弦定理18返回目录返回目录练习：练习： 【分析【分析】由条件知，均可用余弦定理由条件知，均可用余弦定理. .在在abcabc中，中，（2 2）a a=3,=3,b b=4,=4,c c= = ，求最大角求最大角；（3 3）a a：b b：c c=1=1： ：2,2,求求a a，b b，c c. .37319返回目录返回目录.2.3 .21cos.6 ,23232432cos .2

7、,3, 2:3:1:(3) .120 ,2143237432cos ,2)( 22222222222cbbaxxxxxbcacbaxcxbxacbacabcbacc同理由余弦定理得可设由于最大显然角20返回目录返回目录【评析【评析】（】（1 1）余弦定理可解两类三角形问题：一类是已）余弦定理可解两类三角形问题：一类是已知三边；另一类是已知两边及其夹角知三边；另一类是已知两边及其夹角. . （2 2）对于题中的第（）对于题中的第（3 3）小题，根据已知条件，设出三）小题，根据已知条件，设出三边的长，然后由余弦定理求解，是解题的关键，在求出角边的长，然后由余弦定理求解，是解题的关键，在求出角a a

8、后，后，也可用正弦定理求角也可用正弦定理求角b b，但要注意讨论解的情况，但要注意讨论解的情况. .21返回目录返回目录根据下列条件解三角形根据下列条件解三角形. .（1 1）b b=8,=8,c c=3,=3,a a=60=60; ;（2 2）a a=20,=20,b b=29,=29,c c=21.=21.解：解：已知两边和夹角，已知三边解三角形，根据余已知两边和夹角，已知三边解三角形，根据余弦定理来求弦定理来求. . （1 1）根据余弦定理，得）根据余弦定理，得 a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2-2-2bcbccoscosa a=8=82 2+3+32 2-2-28 83

9、cos603cos60=64+9-=64+9-24=49.24=49. a a=7,=7,由推论得由推论得6928. 014138723872cos222222 abcbac22返回目录返回目录 c c=22=22, , b b=180=180-60-60-22-22=98=98. . （2 2）根据余弦定理的推论得）根据余弦定理的推论得 b b=90=90,c c=90=90-44-44=46=46. ., 0212022921202cos,441724. 0212922021292cos222222222222acbcababcacba又又. 23abccbacos2222baccabcos2222cabbaccos2222bcacba2cos222acbcab2cos222abcbac2cos2221.利用余弦定理解三角形小结：小结：余弦定理能解决的问题：余弦定理能解决的问题：、已知两条边和夹角，解三角形。、