直线的倾斜角和斜率2

1、学科：数学教学内容：直线的倾斜角和斜率【基础知识精讲】课本从此节开始较系统地介绍平面直角坐标系内直线的表示及其性质的运用，建议同学们先复习一次函数的图像与性质， 以及正切函数的定义与性质， 向量的坐标表示，便于更好 地学习本节知识本节知识要点：1. 直线的方程和方程的直线的概念2. 直线的倾斜角的概念，倾斜角范围：0°w a°V 180° .3. 斜率的概念，k= tan a .（0 °w a v 180° 且 a 工 90° ）.4. 过两点的直线的斜率公式k = 丫2 - % .x25. 当直线不垂直于x轴时，其方向向量的坐标为（

2、1 , k）.本节学习要求坐标系的建立，使得平面内的点和坐标、曲线和方程等联系起来，为我们运用代数的方法研究几何问题架起了一座“桥梁”，达到了形和数的结合.坐标法是我们研究直线的一种重 要方法，也是广泛应用于其它领域的重要数学方法.本节的斜率公式就是通过直线上两点的坐标对直角坐标平面内的直线相对于x轴的倾斜程度的定量刻画.学习过程中注意体会数形结合的数学思想，逐步学会运用观察、分析、联想、转化等数学方法解决问题.【重点难点解析】本小节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式，难点是斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立1. 倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度

3、的.倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值.2. 过两点的直线的斜率公式是对斜率的定义式的坐标化.关于斜率公式，应弄清以下几点：（1）斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；（2）斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而，使用时较方便；（3）当X1 = X2,y1 y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角a等于90°,没有斜率；（4）当a = 0。时，k=tan a = 0,斜率公式仍 适用，只不过此时不必再用公式求得.例1经过两点（2 , 3）和（4 , -5）的直线

4、的倾斜角是（）A. arctan4 B.arctan（-4） C.n -arctan4D.n tantan4解：由斜率公式k= * 一 = 3 一（ 一5） = -4知，直线的倾斜角为钝角，因正切值为 -4x2 x<i2 4的相应钝角是n -arctan4 ，故选C.例2 设直线的斜率为k ,且-.3<k<上?,则直线的倾斜角a的取值范围3是.解：由斜率的范围，求倾斜角的范围必须注意倾斜角应在0, n 内取值.2 -答：a0,) U (, n 63例3 直线I过点A(1 , 2)、B(m,3)，求I的斜率和倾斜角. 分析 这里m的范围不足，求I的斜率和倾斜角需分类讨论求解解：

5、设直线I的斜率为k，倾斜角为a .(1)当m= 1 时，直线I与x轴垂直，斜率 k不存在，倾斜角 a =2当m 1 时，3-21k= tan a =m-1 m-11°当m>1 时，a = arcta n1m -12°当m<1 时，a = n -arctan1.m -1【难题巧解点拨】例1 (1)如果AC<0且BC<Q那么直线 Ax+By+C= 0不通过()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A C解：直线方程可变形为 y = -x- B BC由BC<0知该直线在y轴上的截距->0.B由AC<0,BC<0得ABC&

6、gt;0, AB>0,故该直线的斜率k<0，倾斜角为钝角作出该直线的示 意图知该直线不经过第三象限，选C.(2)对于直线xcos a +y+1 = 0，其倾斜角v的取值范围是()jin兀3A.-,B.n 4444ji3nJlC.0,-U，二)D.0,一U:-,n )4442解:斜率为-cosa -1 ,1 选 C.过点A(-1 , 2)作直线l，使它在x轴、y轴上的截距相等，则这样的直线 ()A.只有1条B.只有2条C.只有3条D.共有4条解：过原点和斜率为-1的两条直线满足题意，选B.v + 2 例2 已知3x+5y+14 = 0,其中x -3 , 2,求：| 一 |的最小值X

7、+1解：由已知得线段：3x+5y+14 = 0,x -3 , 2的两个端点 A(-3 , -1) , B(2 , 4)，而|I可以看作线段AB上的点与点(-1 , -2)连线斜率的绝对值，记P(-1 , -2)，则 kPA=12,kpB=-,23当 3x+5y+14 = 0,x -3 , 2时,k= y 2 ,x x 12- -3，1:,.2| k | min12 *即I y 21I的最小值是一.x 12【命题趋势分析】本节考点为直线倾斜角的概念、范围，过两点的直线的斜率公式及简单应用，考题通常是与直线方程、三角函数的性质、公式等相联系的综合题预测考题：1. 如果AC<0且BC<0

8、,那么直线 Ax+By+C= 0,不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知有向线段 氓打的起点A和终点B的坐标分别为 A(-1 , 1)和B(2 , 2),过点(0 , -1)的直线I与有向线段不相交，则直线I的斜率的取值范围是【典型热点考题】3例1已知一条直线的倾角是 arcsin ,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求5此直线方程3 3解：因为所求直线的倾角是 arcsin -是锐角.且这个角的正切为一，所以直线的斜率为5434 *3设所求直线的方程为y = 3x+b44直线与坐标轴的交点分别是 (-b,0)和(0,b)31 4由题意得一I b - b |=

9、 62 32 2.| b |= 9 即 b = 9b=± 33.所求直线的方程为y= x±34即 3x-4y+12 = 0 和 3x-4y-12 = 0例2 已知直线I经过点P(2 , 1)，且它的倾斜角等于已知直线I': 3x-4y-17 = 0的倾1斜角的丄，求I的方程2分析 求I的方程可借助求一次函数解析式的方法，用待定系数法由已知倾斜角的关系求斜率，用已知线上的点求纵截距解：设直线I'的倾角为a,贝U I的倾角为3 兀 tan a = >0,0<x< ,4 2COS a tan '21 -cos：.1 cos：x-3y+1

10、= 0说明：求半角的正切值，根据 上所在象限确定符号，只取正值得一解.如果求出的tan2a = -3 或 tan a1=丄有二解，从而忽视了对a所在象限的讨论，不会舍去tan a = -3而多解.3【同步达纲练习】一、选择题1. 经过两点A丄 4 A.arcta n 3M(6, 8)、N(9, 4)的直线的倾斜角为 c丄4B. arccot34C.arcta n(-)32. 若图中的直线l1、D. n -arctanC.k3<k2<kiI2、)A.k1<k2<k3B.k3. 若三点A(3 , 1),A.2B.3i<ks<k23<k1<k2C.k3

11、<k2<k1D.kB(-2 , b) , C(8, 11)在同一直线上，则实数b等于()C.9D.-9B.arcta n4. 直线ax+by = ab(a>0,b<0)的倾斜角是(A.arcta n(-)bC. n -arctanD.+arcta nb2bTT5. 若a是直线的倾斜角，则Sin( a )的取值范围是()4A. C -1，二:242B. (-1 ,)2C.(-2222)yj2 忑D.-,)2 2二、填空题6. 若ab<0,则方程ax+by = 1表示的直线的倾斜角的取值范围是37. 已知点 P(3 , -1) , MP连线的倾斜角为arcta n，且

12、丨MP| = 3,则点 M的坐标4为 .8. 已知直线的斜率的绝对值为、.3，则此直线的倾斜角为三、解答题9已知A(-3，2)、B(a,3)，求直线AB的斜率与倾斜角AA级一、选择题1. 下列说法中正确的是()A. 一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B. 直线的倾斜角a的取值范围是第一或第二象限角.C. 和x轴平行的直线，它的倾斜角为 180 °D. 每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率2. 下列多组点中，三点共线的是()B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)D.(0 , 0) , (2 , 4) , (-1 , 3)A.(1 , 4) , (

13、-1 , 2) , (3 , 5)1C. (1,0),(0,-),(7 , 2)33. 已知直线11的方程是ax-y+b = 0, I2的方程是bx-y-a = 0(ab丰0,a丰b)，则下列各示意图形中，正确的是()1过点P(1 , 1)且与线段-2)，直线4.设点 A(2 , -3) , B(-3 , 取值范围是()AB相交，则I的斜率k的A.k > 3 或 k< -443C.-4 < k <45.过原点引直线I，使I与连接A(1 , 的取值范围是3D.-< k < 441)和B(1 , -1)两点的线段相交，则直线 I倾斜角6.已知 A(-3 sin

14、0 ,cos20 ),B(0,1)是相异两点，则直线AB的倾斜角的取值范围7.要使三点 A(2, cos2 0 ),B(sin 2 0 ,-),C(-4,-4)3共线，则角0的值为 2 28.已知直线(2a -7a+3)x+(a -9)y+3a=0的倾斜角为则实数a=【素质优化训练】1.已知点 M(rcos a ,rsin a ),N(rcos3 ,rsin 3 ),(-< ),则直线MN的倾2斜角为(A.)Jl +CL + PC.a + P B.222. 若点 R(2 , 3) , P2(3 , a) , P3(4 ,A.a = 4,b = 5C.2a-b = 3D. a + 3 -

15、nb)共线，则(B.b-a = 1D.a-2b = 33. 在直角坐标系中， ABC的三个顶点是 A(0 , 3)、B(3 , 将厶ABC分成面积相等的两部分，则实数a的值为()A. .3B.22C.1+仝34.点(a+b,c)、(b+c,a)和(c+a,b)的位置关系是A.同在一条直线上C.三点连线组成一个直角三角形5.设a是直线I的倾斜角，且满足:3)、C(2,D.2-0)，若直线x = a()B.三点间的距离两两相等D.三点连线组成一个等边三角形1sin a +cos a = ，则直线I的斜率为()5B.-或-43C.-3D.-36.过点P(-1 , 2)的直线I与x轴和y轴分别交于A、

16、B两点,AP若P分AB所成的比PB1-，求直线I的斜率和倾斜角补充题：1.如果AC<0且BC<0,那么直线 Ax+By+C= 0,不通过()2A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限2.已知有向线段的起点A和终点B的坐标分别为 A(-1 , 1)和B(2 , 2),过点(0, -1)的直线I与有向线段入打不相交，则直线I的斜率的取值范围是诸做天作业匡再覇答呆！参考答案：【同步达纲练习】1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6.(07.(9.解：a=-3时，斜率不存在,倾斜角为;a工-3时，斜率21倾斜角为arctan;当a +3a v -3时,倾斜角为n +arctan35.3-2 k=a 3 a 3114-)8.60 °或 1