相似三角形典型模型及例题

1、:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分 别与等腰三角形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是 “一线三等角”中当角为直角时的特例， 三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型

2、相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型：二：相似三角形判定的变化模型8字型拓展旋转型：由A字型旋转得到一线三等角的变形一线三直角的变形2:相似三角形典型例题(1) 母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCDh AD/ BC对角线 AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于E.求证：OC2 =OA OE .例2：已知：如图， ABC中，点E在中线AD上, . DEB =/ABC .求证：(1) DB2 二 DE DA ；(2) . DCE 二 DAC .例 3:已知：如图，等腰 ABC中, AB= AC ADL BC于 D, CG/ AB BG分别交 A

3、D AC于 E、F. 求证：BE2 =EF EG .1、 如图，已知AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2二FB FC .2、已知：AD是Rt ABC中/A的平分线，/ C=90 , EF是AD的垂直平分线交 AD于 M EF、BC的延长 线交于一点 No 求证： AM0A NMD; (2)ND 2=NC- NB3、 已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于 D, E是 AC上一点，CF丄 BE于 F。求证：EB- DF=AE DB4、在人ABC中，AB=AC高AD与BE交于H, EF丄BC ,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF M是AH勺中点。求

4、证：- GBM = 905已知：如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=2, AC=4, P是斜边 AB上的一个动点，P丄AB交边 AC于点D (点D与点A C都不重合)，E是射线DC上一点，且/ EP=Z A设A P两点的距离为x, BEP 的面积为y. (1)求证：AE=2PE(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当厶BEP-与 ABC相似时，求 BEP的面积.(2) 双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分别是 AC AB上的高求证：() ABMA ACE (2) AD0A ABC (3)BC=2ED2、如图，已知锐角

5、 ABC AD CE分别是BCAB边上的高， ABCD BDE的面积分别是 27和3, DE=6 2 , 求：点B到直线AC的距离。(3) 共享型相似三角形 、 ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上，/ DAE=120 ,已知BD=1, CE=3,求等边三角形的边长2、已知：如图，在 Rt ABC中, ABAC / DAE45°.求证：(AB0A ACD(2) BC2 =2BE CD .(4) 一线三等角型相似三角形BD例 2： (1)在 ABC 中，AB =ACC例1：如图，等边 ABC中，边长为(1) 求证： BD0A CFD(2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE点B

6、重合)，且保持 APQ =/ABC. 若点P在线段CB上(如图)，且BP = 6，求线段CQ的长； 若BP二x , CQ二y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持.APQ =90 .当CQ =1时，求出线段 BP的长.例 3:已知在梯形 ABCDL AD/ BC ACk BC 且 AD= 5, AB= DC= 2.(1) 如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A. 求证； ABMA DPC 求AP的长.(2) 如果点P在AD边上移动(点 P与点A D不重合)，且满足/

7、 BPEZ A, PE交直线BC于点E,同 时交直线DC于点Q,那么 当点Q在 DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 当CE= 1时，写出AP的长.例4：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB=CD=BC=6 , AD =3 .点M为边BC的中点, 以M为顶点作 EMF二/B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF .(1) 求证： MEF BEM ;(2) 若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3) 若EF _CD，求BE的长.1、如图，在 ABC中，AB=AC=8 , BC =10 , D是

8、BC边上的一个动点，点 E在AC边上，且ADE "C .(1) 求证： ABMA DCE 如果BD二x, AE = y，求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域;(3) 当点D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.2、 如图，已知在厶 ABC中, AB=AO6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE并 作.DEF =. B，射线EF交线段AC于 F.(1)求证： DBEA ECF(2 )当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3) 联结DF,如果 DEF与 DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCDK AD/ BC,

9、A氏BC且BC=6 , AB=DC=4,点E是AB的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且 BF=2.求证： BEP CPD(2) 如果点P在BC边上移动(点 P与点B、C不重合)，且满足/ EPf=Z C, PF交直线CD于点F, 同时交直线AD于点M那么 当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x , DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域；9 当SD -9SBEP时，求BP的长.4、如图，已知边长为3的等边=ABC，点F在边BC上，CF = 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边=EFG，直线EG, FG交直线AC于点M , N ,(1) 写出图中与 B

10、EF相似的三角形；(2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设be二x,MN二y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;(4) 若AE =1，试求GMN的面积.(5) 一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中, CD=2 AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE _ CP , 交边AB于点E,设PD =x,AE =y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。CA例 2、在:ABC 中，.C =90°,AC =4, BC =3,0是 AB上的一点，且AC 2A0 =2，点P是AC上的一个动点，PQ _ CP交线段BC于点Q （不与AB

11、 5点B,C重合），设AP二x,CQ二y，试求y关于x的函数关系，并写出定 义域。31.在直角 ABC中，.C =90°,AB =5,tanB ，点D是BC的中点，4点E是AB边上的动点， DF _ DE交射线AC于点F（1）、求AC和BC的长（2）、当EF/BC时，求BE的长。（3）、连结EF,当ADEF和AABC相似时，求BE的长。2.在直角三角形 ABC中，.C = 90°, AB = BC,D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DF _ DE , DF与射线BC相交于点F.（1）、当点D是边AB的中点时，求证： DE二DF（2）、当竺二m，求匹的值DBDFAD 1(3)、当 AC =BC =6,=,设 AE =x, BFDB 2=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域E为AB边上的一个33.如图，在 AABC 中，.C =90，AC =6，tanB，D 是 BC 边的中点,4动点，作.DEF =90，EF交射线BC于点F 设BE = x , BED的面积为y （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（2） 如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求