数学建模灰色预测方法

1、灰色预测法1灰色预测理论2 gm仃,1)模型3gm(1,1)模型的改进 4灰色预测实例1灰色预测理论一、灰色预测的概念(1) 灰色系统、白色系统和黑色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知的，系统内各因素间有不 确定的关系。(2) 灰色预测方法灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测

2、。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型, 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。(3) 灰色预测数据的特点:1) 序列性：原始数据以时间序列的形式岀现。少数据性：原始数据序列可以少到只有4个 数据。(4) 灰色预测的四种常见类型灰色时间序列预测即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。灾变预测即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候岀现在特定时区 内。系统预测通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化

3、。拓扑预测（波形预测）将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。对灰数的处理主要是利用数据处理方法去寻求数据间 的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生 新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称 为数据的生成。数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累 减生成和加权累加生成等。(1)累加生成的次累加生成，数列则称兀为数列(°)称为数列x(0)的1 次累加生成数列。类似地有kx(f k)=工x(i(z) (k = 12,/ » 1)称之为x(0)的八次累加生成。记7

4、=1累加的规则:将原始序列的第一个数据作为生成列的第一 个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列 的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据, 将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则 进行下去，便可得到生成列。对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。累加举例：设原始时间序列为x（o）=1,2,1.5,3一次累加生成列为x（i）=l,3,45,75x（。）的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大, 而x已呈现明显的增长规律性。如果数据列为

5、x(1) = x卫(2), ¥)()，令（2）累减生成将原始序列前后两个数据相减得到累减生成 序列累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式为:如果数据列为x(1) = x卫(2), ¥)()，令如果数据列为x(1) = x卫(2), ¥)()，令兀(尸t)= x(f k)-兀什)(k -1) k = 2,3,为数列的累减生成数列。x(q)(k)=兀(k)x 仇一1)，k =2则称xw(k)为数列 x(1)的1 次累减生成。一般地，对于厂次累加生成数列则称（3）均值生成设原始数列x(0) = k(0),x(°

6、;)(2)，术(°)伙1), x(0) (k,x(0)则称*°）伙）为数列x(0)的邻值,为后邻值，严）伙）为前邻值.对于常数a e 0,1如果数据列为x(1) = x卫(2), ¥)()，令如果数据列为x(1) = x卫(2), ¥)()，令z (q = d°)(q + (1- a)x(0) (k 1)为由数列x(0)的邻值在生成系数（权）的邻值生成数（或生成值）。特别地，当生成系数(x = 0.5时，则称z伙)二 0.5x(0)伙)+ 0.5x(0) (k -1)为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。类似地，可以定义非紧邻值生成数z(k) =

7、 m(0) (£ +1) + (1 &)x(°)(k -1)z 伙)=0.5x(0)伙 +1) + 0.5x(0) (k 1)而得的数列z（o）二（z（o）（l）,z（2）,二（0）（）称为紧邻均值生成数列。、gm (1, 1)模型概述2 gm ch 1)模型灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。灰色预测模型称为gm模型，g为grey的第一个字母, m为model的第一个字母。gm (1, 1)表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。gm (1, 1)是一阶单

8、序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。、gm (1, 1)模型概述设有数列x(0)共有"个观察值x(o)(l),兀(2)，兀仇)对x(°)作累加生成，得到新的数列xq)其元素kxw(k) = yx(o)(/n) k = 2,nm=l有：x(1)(1) = x(o)(1) x(1)(2) = x(o)(l) + x(o)(2)= x(1)(l) + x(o)(2)、gm (1, 1)模型概述兀(3) = x(o)(l) + x(o)(2) + x(o)(3)= x(1)(2) + x(o)(3)x(1)(«) = x(1)(«-l) + x(0)(w

9、)令z为x的均值序列z=(z(2)，z()其中:z伙)=05(兀(k) + x(1) (k 一 1)则gm(1的灰微分方程模型为：式中：a.b 为待估计参数。分别称为发展灰数和内生 控制灰数。gm(1,1)的白化型：必x(0k)为灰导数，对应于5-atz仇)为白化背景值，对应于x(1)(0则灰微分方程对应的白化方程为:dxwdt+ axw(t) = b灰方程也可改写为：-az(1)(k)+b = x(k)设a为待估计参数向量，则$ = ；按最小二乘法求解，有：§ = （btb 尸 bw式中：'-z (2)1、(0)(2)'b =-z(3) 1y = ，一z （/” 1

10、 丿x(0)(/<)将4代入 计:,并解微分方程，有 预测模型白化响应式（解）为:x（1）a+i）=fx（0）（i）-a/+-弭=i,2, ka） ax（o）a+i）=x（i）a+i）-x（i）a）/h、= （l-ea） x（o）（l）- w"汀=1，2, 'aj注意：gm（1,1）白化型不是从定义推导出来的，是一种“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。也可由gm（1,1）模型推导出另一表达式内涵型表达式:1 - 0.5a y21 + 05a丿bax(o)(l)l+05a灰色预测的事前检验 给定序列x(0)能否建

11、立较高精度的gm(1,1)模型,般用序列x®的光滑比p仇)对x(°)作准光滑性检验; 用累加序列x的级比o仇)对x作准指数规律性检验来判断满足建模条件光滑比定义:p(k) =x(o)(k)(1)若光滑比满足 且0.5)k>3则称x(°)为准光滑序列。级比定义：b仇)=(2)若级比满足：xw(k)x(q)(k-l)b仏)b) ba = 3<0.5则认为x具有准指数规律。当 (2)都满足时可对x(°)建gm(1,1)模型。若原始数据不适合建立gm(1,1)模型，则进行予处理。注：gm(1, 1)模型中发展系数a的取值范围(-2 2、ae匕+ 1，

12、 + 1丿列刘"（1）*（2）,.）,其中卅丽 少 仕二1,2,./）?-1（2）对对与护分别进行推光滑性处）二严（1）/卅优-1）与准扌讖规律性 （叫沪x优）心优一1）检瑟 卩tx®.（3）确定麴啟盼-z(1* (3) 1,二严(3)- 2(月)1 "求参数列m建立生翩据iwj模型 + 2严分 d dt及时间响应式剣 + 1）二（?0）0）-）严+你aa（6）建立原始btiwiim-充*q糾_壬（_ 1）二（兀（1）_苛（1 一护）丄 1三、模型检验灰色预测检验一般有残差、关联度和后验差检验。（1）残差检验按预测模型计算沁）,并将0临）累减生成"）（|

13、 然后计算原始序列x（o）（0与he）的绝对误差序列及相 对误差序列。残差：£（i）=兀（i）-f （i）i 1,2,., h残差序列严=（£（1）,£（2）, £（）、£（'）11 c相对误差:af. = - xloo%i = 12qx v）一般要求 az < 20%,最好是 a, <10%平均相对精度：/=(l-a)xl00%平均相对误差：a=y i az i般要求p° >80% ,最好是 p°>90% 而对于给定的a,当a < a且a” < a成立时,(a”为n点的模拟相对误

14、差)称为残差合格模型。(2)关联度检验第一步计算原始数列x(0)的模型计算值x第二步计算x(0)与x的绝对误差aa(z) =1 x(o)(i) -x(o)(o i (i =1,2,/)代入 x(o)(i)>x(o)(i)数据得：a(o=lx(o)(i)-x(o)(oi第三步计算最小差与最大差最小差为：mina(i) 最大差为： maxa(i)第四步计算关联系数炎)臾)=式中：§0) 第i个数据的关联系数;p分辨系数，一般取0.5第五步计算关联度§1 jlr刃）式中：g数列x(0)对x的关联度。n样本个数。根据经验，当p=05时，关联度大于0.6便满意了。此外，也可计算

15、x®与x的绝对关联度£【1】，若对于给定的 勺>0，有£>£0，则称为关联度合格模型。(3)后验差检验 b.计算原始数列的方差誉涪冲a.计算原始数列的均值c.计算残差序列£(°)的均值d.求残差的方差g郭s艸c.计算均方差比弋注：对给定的cn>o,当cvc°称模型为均方差比 合格模型。f.计算小误差概率p = p2 (i) glvo6745sj注：对给定的po>o,当p"。称模型为小误差概 率合格模型。g.检验根据经验，对给定a,0,c0,p0的一组取值，就确定 了检验模型模拟精度的等级划分

16、如下表。通过以上检验，如果相对误差、关联度、均方差比值、 小误差概率都在允许范围之内时，则可用所建模进行预 测，否则应进行残差修正。表预测精度等级划分指标临界值相对误差关联度均方差比值小误差概率ac。po精度等级一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60gm(1,1)模型经以上检验合格后可用于预测，其预测公式为：x(o)(i) = x(1)(i)-x(1)(i-l)式中：x(o)(i)i时期预测值。至,x(1)(i-l)生成数列预测值，按分g+d计算。对于数列预测，要建立多个预测模型，得到多组

17、预测值，然后进行分析，从中确定出一个合适的预测模型，以取定 一组合适的预测值。对于一组数列，要建立多个预测模型，是通过对原始数 列进行不同的取舍，形成新的数列，即对数列中的数据用 不同的组合方式和取舍方式派生出新的数列，对原始数列 和派生出来的新数据都建立预测模型，这样就对一个数列 建立了多个预测模型。例如有下述原始数列：x(0)=(x(0)(l),x<0) (2),兀(°)(3),x(0) (8)对x(°)中的数据可用如下取舍：x：o)= (x(0)(l),x(0),工(。)(3),兀(0),兀(。)(5)x；°)= (x(0) (2),卅)(3),卅)(

18、4),卫),卅)xy =(x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5), x(0) (6), x(0) (7)z°)=(八(4), *°)(5),*°)(6),兀(。)(7),*°)这样就形成了四个新数列：,再加上原始数列，就可建立五个gm (1, 1)模型。一、用残差模型进行修正若用原始时间序列x(。)建立的gm(1,1)模型 检验不合格或精度不理想时，则可用gm (1, 1) 残差模型进行修正以提高原gm (1, 1)模型的预 测精度，从而达到改进目的。(1) gm (1, 1)残差模型如有原始数列 x(0),并已建立gm (1, 1)模

19、型(b、bx(1)g + l)= x(o)(l)一一 eal+-la)a由该gm (1, 1)模型可得生成数列x的模拟值x(1)x(1)=(x(1)(l),x(1) (2),，护)记生成数列x与其模拟值 f(1)之差为 p叫则有艸(力=0)(j)-x(1)(j)式中：j开始进行残差修正的原始数列x(°) 的数据序号；第j个生成数据与其模拟值的偏差。如果取/=他，心+1,则可建模的残差尾段为严=(f)(他)|, f)(心 +l)|,.,|?0)(n)|j注意：八)必须满足(o)(j),j >0符号一致；>4将上述的残差尾段仍记为艸=(£叫心),尹(心+1), 显&

20、quot;)（0）的的一次累加生成数列为。£（1）=（£（1）（他）,£（1）（他+1）,£（1）对畀）建立gm （1, 1）模型有：公仏+ 1）=仃°）（心）一?厂 +-,k>kq 、a ja对上式求导数得残差尾段小°）的模拟序列鉀=（鉀仇0）,鉀傀+1）,£°）何）其中纠）仇 + 1） = （af）（界）傀）一 -_a，（0）,k > k0i a丿用公修正累加序列x的模拟序列疋则得则得x 的残差修正gm (1, 1)模型，j兀一纠严+?,k<kqme 出 2 ；x(o)(l)- eak +-&

21、#177;s(k+k>k.aa式中的正负号应与残差尾段£(°)的符号保持一致。二、对gm(1,1)模型的其它改进方法(1) 新信息gm (1, 1)模型不断地补充新出现的信息, 即在预测下一时刻的值时，将最新的信息加入。此模型 随着时间推移，序列长度会越来越长；(2) 新陈代谢gm (1, 1)模型即新信息出现后，将老 信息去掉，加入新信息，保持序列长度不变；(3) gm (1, 1)模型群法用原始时间序列数据建立 多个gm (1, 1)模型，给出预测值的区间；4灰色预测实例、数列的预测实例原始数据x(0) = (x(o)(l),x(o)(2),x(o)(3),x(o

22、)(4)=(27260,29547,32411,35388)(1)求原始序列的一届累加生成x=(兀，兀,兀，兀)=(27260,56806,89218,124606)(2)对x(0)作准光滑性检验p(k) =x(o)(k)对x(1)作准指数规律性检验工x(0k-l)(4)作x(1)的紧邻均值生成序列z并且确定b,yz仇)=05(兀仇)+兀仇-1)-z1-42033.5 1'(0)(2f_29547_b =-z (3) 1-73012.5 1y =汕)32411-z1-106612 1x(o)(4)35388= (btb)1bty(6)确定模型dxwdt25790.2 0.089995兀

23、=25790.2(5)按最小二乘法确定比b的估计值其时间响应式(x(1k + 1) = 3138340089995a: - 2865741 x<0)(ar + 1) = xa)(k + 1) x(1)(zr)并得0°)的模拟值f (0) = (f(0)(1)/(0)/)=(27260,29553,32337,35381)(7)检验误差相对误差检验残差序列£(0)= (0)(1), £(0)(2),*)(3),*)(4) =(0,七74,7)相对误差序列a = (apa2,a3a4) = (0,0.0002,0.0022& 0.0002)平均相对误差:

24、14si4i=0.067% < 0.01误差：a4 =0.02%<0.01,精度为一级。关賊检验eo. 997>0. 90,关联度为一级。均方差比检验:x = 3115.5, s、= 6103.4&e = 18.75, s2 = 64.46= 0.01 < 035,均方差比值为级。小误差概率:0.6745s = 4116&p = p s(i)-£< 06745 sj = 1 > 095, 小误差概率为一级。(8)预测应用|x(1)(k + 1) = 3138340089995ar -286574x(0)(a： 4- 1) = x(1)(k 4- 1) xa)(k)可得x的两个预测值如下：x(0)=(