常微分方程精品课程

1、§5.3 常系数线性微分方程组1常系数线性微分方程组的解法（复特征根）    从上一讲我们已经知道，求解方程组                                      &#

2、160;   （5.20）归结为求矩阵a的特征根和对应的特征向量问题现在考虑复根情形因为a是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理5.11，对应解是                     其中t1，t2是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（5.20）的实值解，这可由下述方法实现    定理

3、5.12 如果实系数线性齐次方程组                         有复值解其中u(x)与v(x)都是实向量函数，则其实部和虚部                证明 因为是方程组(5.

4、8)的解，所以                   由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：                  , 即u(x), v(x)都是方程组(5.8)的解.证毕. 定理5.13 如果

5、是区间(a,b)上的n个线性无关的向量函数，b1,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组                   (5.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.    证明 (反证法)如果(5.24)线性相关，那么依定义5.1存在n个不全为零的常数，使得对区间(a, b)上的所有x皆有      所以&#

6、160;     因为线性无关，从而          从上式可知，,因为b1,b20,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知,实矩阵a的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果=a+ib是特征根，则其共轭也是特征根.由定理5.11，方程组(5.20)对应于的复值解形式是              &#

7、160;                       这里是对应于的特征向量.由于矩阵a是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(5.20)对应于特征根的解，记作. 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为           由定理5.12和定理5.13，它们分别是方程组(5.2

8、0)的解， 并且由此得到的n个解仍组成基本解组.     例1 求解方程组                                    解 它的系数矩阵为   

9、                      特征方程是               即            

10、              特征根为                           先求对应的特征向量为       

11、60;                     再求所对应的特征向量.它应满足方程组              即            &

12、#160;               用2i乘上述第一个方程两端，得                          显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程

13、是独立的，即                             求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是     4求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是故，原方程组的通解为      

14、0;         5.5.2 矩阵a的特征根有重根的情形    由定理5.11，我们已经知道，当方程组(5.20)的系数矩阵a 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵a 的特征方程有重根时，定理5.11不一定完全适用，这是因为，若是a 的重特征根，则由齐次线性方程组             &

15、#160;               所决定的线性无关特征向量的个数,一般将小于或等于特征根的重数.若=,那么矩阵a对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与5.5.1情形相同.若，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵t的列向量，可将矩阵a化成若当标准型          

16、0;         其中未标出符号的部分均为零无素，而                        是阶约当块，是(5.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.    于是，在变换(5.21)下方程组(5.20)化成  &#

17、160;                        (5.25)根据(5.25)的形式，它可以分解成为m个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(5.20)的基本解组所应具有的结构对于一般情形，其推导是相似的.设方程组        

18、                                              （5.26）中a是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方

19、程组(5.26)化为                                                &#

20、160;       (5.27)我们假定                    这时，方程组(5.27)可以分裂为两个独立的小方程组                 &

21、#160;                             (5.28)v                    

22、;                   (5.29)在(5.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得                           同样对(

23、5.29)可解得                          这里是任意常数.由于在方程(5.28)中不出现，在(5.29)中不出现我们依次取                

24、        可以得到方程组(5.27)的五个解如下       从而                              (5.31)是方程组(5.27)的一个

25、解矩阵.又                             ,所以(5.31)是方程组(5.27)的一个基本解矩阵.而(5.30)是(5.27)的一个基本解组.现在把(5.30)的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组(5.26)的五个解，,      

26、;        而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式                 则显然有.至此我们已清楚地看到，若j中有一个三阶若当块，是(5.26)的三重特证根，则(5.26)有三个如下形式的线性无关解，        &

27、#160;                               (5.32)其中每个是x的至多二次多项式.因此(5.32)也可以写成如下形式            

28、0;             其中都是五维常向量.而对于j中的二阶若当块，是(5.26)的二重根，它 所对应的(5.26)的两个线性无关解应是如下形式                          

29、0;    其中也都是五维常向量.    最后，我们还应指出，对于方程组(5.20)，若是a的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于.这样，由以上分析我们得到    定理5.14 设是矩阵a的m个不同的特征根，它们的重数分别为.那么，对于每一个，方程组(5.20)有个形如        的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的

30、次数不高于-1的多项式.取遍所有的就得到(5.20)的基本解组.    上面的定理既告诉了我们当a的特征根有重根时，线性方程组(5.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论. 引理5.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是, , 记n维常数列向量所组成的线性空间为v，则    (1) v的子集合       

31、60;                 是矩阵a的维不变子空间，并且    (2) v有直和分解                        

32、60;    现在，在定理5.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.    定理5.15 如果是(5.20)的重特征根，则方程组(5.20)有个形如                             (5.33)的线性无关

33、解，其中向量由矩阵方程                            (5.34)所确定.取遍所有的，则得到(5.20)的一个基本解组. 证明 由定理5.14知，若是（5.20）的重特征根，则对应解有（5.30）的形式.将（5.33）代入方程组（5.20）有    

34、60;                   消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有                       （5.35）注意到方程组（5.35）与（5.34）是等价的.事实

35、上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同（5.35）与（5.34）同解的证明请见教材    这样，在方程组(5.31)中，首先由最下面的方程解出r0，再依次利用矩阵乘法求出.由引理5.1得知，线性空间v可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由(5.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(5.31)逐次求出其余常向量，就得到(5.20)的n个解.记这n个解构成的解矩阵为y(x)，显然，y(0)是由(5.34)最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理5.1的2)矩阵y(0)中的各列构成了n维线性空间v的一组基，因此，于是y(x

36、)是方程组(5.20)的一个基本解组.例2 求解方程组                                解 系数矩阵为            &#

37、160;                特征方程为                             特征根为 对应的解是   

38、60;                       下面求所对应的两个线性无关解.由定理5.15，其解形如                      

39、     并且满足                          由于                  那么由可解

40、出两个线性无关向量                              将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是             

41、;       最后得到通解                   例3 求解方程组                     

42、60;      解 系数矩阵是                        特征方程为                 

43、60;           有三重特征根                            由定理5.15，可设其解形如                       满足方程组