第37讲空间夹角和距离

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版咼二新数学第一轮复习教案(讲座37)空间夹角和距离一. 课标要求：1 能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2 .能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用。二. 命题走向空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况:(1) 空间的夹角；(2)空间的距离；(3)空间向量在求夹角和距离中的应用。预测2007年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡 化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用 的讲解，因此作为立体几何的解答

2、题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法， 在复习时应加大这方面的训练力度。题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。三. 要点精讲1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。(1)异面直线所成的角的范围是 (0/ 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法2 是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置， 顶点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角。(2) 直线与平面所成的角的范围是0,。求直线和平面所成的角用的是射影转化2法。具体步骤如下: 找

3、过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足， 得出斜线在平面的射影， 确定出 所求的角； 把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角， 是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角，即若B为线面角，a为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有(3 )确定点的射影位置有以下几种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射 影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线 在平面上的射影在这个角的平分线上； 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平

4、面的交线上； 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a. 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上 的射影是底面三角形的内心 （或旁心）；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角 形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指（0,二，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这 两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 面

5、上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作 垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二 面角的平面角； 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条 射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式： S 二Scos（S为原斜面面积，S 为射影面积，二 为斜面与射影所成二面角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角形，任意多边形都成立.是求 二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时，如果能找得斜面面积的射影面积，可直接 应用公式，求出二面角的大小。2 .空间的距离（1）点到直线的距离：点p到直线a的

6、距离为点p到直线 a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A,过A作a的垂线，垂足为e连pe,则由三垂线定理可得线段pe即为点p到直线a的距离。在直角三角形pab中求出pe的长即可。点到平面的距离：点P到平面:的距离为点P到平面 :的垂线段的长常用求法作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面:-的斜线上两点a,b到斜足c的距离ab,AC的比为 m:n,则点A, e到平面的距离之比也为 m:n .特别地，ab = ac时，点a,b到平面:-的距离相等；体积法(2)异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长.常有求法先证线段ab为异面直线 a,b

7、的公垂线段，然后求出ab的长即可. 找或作出过b 且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离.找或作出分别过a,b且与b , a分别平行的平面， 则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离.根据异面直线间的距离公式求距离。(3 )直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面 间的距离。(4 )平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到 另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上 两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。3 .空间向量的应用(1 )用法向量求异

8、面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b的法向量，点E a, F b，则异面直线 a与b之间的距离是b面aEF n d = -_ n(3) 用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到 平面的距离问题。(4) 用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的 距离问题转化成点到平面的距离问题。(5) 用法向量求二面角如图，有两个平面 a与3,分别作这两个平面的法向量ni与门2，则平面a与3所成的角跟法向量 m与门2所成的 角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角

9、。(6 )法向量求直线与平面所成的角cos n,a :，易知n,a要求直线a与平面a所成的角先求这个平面 a的法向量n与直线a的夹角的余弦四典例解析题型1 ：异面直线所成的角例 1. (1)直三棱住 AiBiCiABC，/ BCA=90°，点 Di、Fi 分别是 AiBi、AiCi的中点，BC=CA=CC i,贝U BDi与AFi所成角的余弦值是()%301.30,15(A )(B) 一(C)(D)1021510(2 ) ( 06 四川)已知二面角:-1 - 的大小为600 ,m, n为异面直线，且m _ :, n _ :，贝U m,n所成的角为()(A) 300(B) 600(C)

10、 900(D) 1200i解析：(i)连结 DiFi,则 DiFi/ BC ,=21 BC / BiCi A DiFi/BC2设点 E 为 BC 中点，a DiFi/BE, a BDi/ EFi,./EFiA 或其补角即为 BDi 与 AFij 30所成的角。由余弦定理可求得cos乙ERA =' 。故选A。i0(2)二面角二-I 的大小为60°, m, n为异面直线，且m_>, n_ :，则m,n所点评：通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角。例2 .已知正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为2,点E为棱AB的中点。求：DiE与平面BCiD所成角的

11、大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则 A 2,0,0、B 2,2,0 , C 0,2,0 ,Ai 2,0,2 , B 2,2,2 , D! 0,0,2 , E 2,1,0 ,AC 二-2,2, -2 ,DiE =2,1, 2 , AB =0,2,0 , BBi 二 0,0,2。不难证明AC为平面BCiD的法向量，9 ° ACQEDiE与平面BCiD所成的角的余弦值为 °9点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。题型2 :直线与平面所成的角线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）i、23A.B.C.223D.例3. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射

12、线的夹角均为600，那么直c故cos CPO =胞=仝，即选C °PC 3解：构造正方体如图所示，过点C作CO丄平面PAB, 垂足为 O,贝U O为正 ABP的中心，于是/ CPO为PC与2 v 3平面PAB所成的角。设 PC=a，贝U PO=PD ' a ,3 3思维点拨：第（2）题也可利用公式 COST - COS ： COS直接求得。例2 . （ 03年咼考试题）如图，直三棱柱ABC AiBiCi中，底面是等腰直角三角形，/ ACB = 90，侧棱AAi = 2, D、E分别是CCi与AiB的中点，点E在平面ABD上的射 影是 ABD的重心G。求AiB与平面ABD所成角

13、的大小（结果用余弦值表示）解析：如图所示，建立坐标系，坐标AB =(2,2, 2)/ GE为平面ABD的法向量，且D（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。 AD 丄 PA、AB, A1B与平面ABD所成角的余弦值是F。点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线 面角。题型3:二面角例5 .在四棱锥 P- ABCD中，ABCD为正方形,PA 丄平面 ABCD , PA = AB = a, E 为 BC 中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小 （用正切值表示）；解析：（1）延长AB、DE交于点F,则PF为平 面PDE与平面PAD所成二面角的棱，

14、T PA丄平面ABCD ,PAA AB=A DA 丄平面 BPA 于 A,过A作AO丄PF于O,连结OD，则/ AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角75的平面角。易得tan . AOD -，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为（2）解法1 （面积法）如图IAD 丄 PA、AB, PAA AB=A , DA丄平面BPA于A,同时,BC丄平面BPA于B ,、.52 PBA是厶PCD在平面PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成二面角大小 为 0, cos 0 =Spab/S pcd= - /2 ' 0 =45。即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为 45°解

15、法2 （补形化为定义法）如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD- PQMN 则PQL PA PD于是/ APD是两面所成二面角的平面角。在Rt PAD中，PA=AD，则/ APD=45。即平面 BAP与平 面PDC所成二面角的大小为 45。例6. （1） （2003年，北京卷高考题）如图6,正三棱柱 ABC -AB.G的底面边长为3，侧棱AA 3 . 3 , D是CB延长线上一点，且 BD = BC。求二面角B1 - AD - B2的大小。（略去了该题的，问）（2） （06四川卷）已知球O的半径是1, A、B、C三点都在球面上， A、B两4的大小是（)71JIn(A)(B)-(C)-4

16、32解析：(1)取BC的中点O ,连AO。点和A、C两点的球面距离都是 二，B、C两点的球面距离是由题意：平面ABC _ 平面 BCG B ,",则二面角B-OA-C3(D)AO _ BC ,. AO _ 平面 BCC1B1 ,2以O为原点，建立如图 6所示空间直角坐标系，则 A（0,0,33）, B （-,0,0） , D （9,0,0） , B/-,，3,0）,2 2 2 2 2AD =（9，°，一3间，BD =（十，°），BB1 吨皿，由题意BB_! _平面 ABD ,3BB! =（0, 3J3,0）为平面ABD的法向量。2设 平面AB1D的法向量为 n2

17、=（x, y,z）,则亡丄竺,巴竺", n2 丄 B Dn2 BQ =03x_3、3y=0不妨设 n（23,1,2），由 co： BB1, n2 =BB1 n2I BBi | | n2 |3、33'3 2得：:BB1, n2=60。故所求二面角 B<| - AD - B的大小为60。评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲： 找一一证一一求”直接简化成了一步曲： 计算”这表面似乎谈化了学生的空间想象能力, 但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培 养，体现了教育改革的精神；3,-1,-3）时，会算得2

18、 2（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取120，但依cos ： BB1,匕=-1，从而所求二面角为2题意只为60。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取相等角”或取补角”（2）解析：球 O的半径是 R=1，A, B,C三点都在球面上，代B两点和 AC两点的球面距离都是'，则/ AOB , / AOC都等于，AB=AC , B,C两点的球面距离是 一，4 43/ BOC= , BC=1，过B做BD丄AO，垂足为 D，连接 CD，贝U CD丄AD，则/ BDC是 3二面角B -

19、 OA - C的平面角，BD=CD=，/ BDC=',二面角B - OA-C的大小2 2是一，选Co2题型4 :异面直线间的距离例7如图，已知正方体ABCD-A B Ci D棱长为a ,A1D1C1B求异面直线ED与 B1 C的距离.解法一：连结AC交BD的中点O,取CC1的中点M,连结BM交B1C于E,连AC1，则OM/AC1，过E作EF又斜线AC1的射影为A C , BD AC,/O M交OB于F,贝 U EF/AC1 o.” BD 丄 A®,二 FE 丄 BD。同理AC1丄B1C, EF丄B1C，二EF为bd与B1C的公垂线，由于M为cc的中MEC s BEB,MCBB

20、1MEBEBM2 (5BE MBa , EF/OM,3 3BFBEBO BM=2，故 BF O33EF =BE2 - BF23解法二.（转化为线面距）因为BD/平面 B1D1C , B1C 平面B1D1C，故bd与 B1C的距离就是bd到平面Bi Di C的距离。由Vb _B1D1C叫占bc，即 1 f Sa ' h = 3解法三.（转化为面面距）易证平面 B1D1C/平面 ABD，用等体积法易得A到.'3平面A1BD的距离为a。3J3-同理可知：Ci到平面BiDiC的距离为a，而AC = 3a，故两平面间距离为33 a .3解法四.（垂面法）如图，ED/平面Bi DiC ,B

21、i Di _ AiCi, Bi Di _ OOi , Bi Di _ 平面 OOi CiC ,平 面 OOiCQ -平面 Bi DiC = OiC , Oi Bi Di，故 O 到平面BiDiC的距离为Rt OiOC斜边上的高7丿rzcAB3a。3解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点作ME _BC于E,过E作EN _BD交BD于M ,易知MN为BD与BiC的公垂线时，MN最小。设 BE= x, CE=ME= a -x , EN= 22MN=x2 +（a _x23 x2 2ax +a232 a2x _ a23x ,2 i13.当时 x a，时，MN min a。3 3例&如图2，正四

22、棱锥S_ABCD的高SO =2 ,底边长AB = 2。求异面直线 BD和SC之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则（"0），b（¥¥°），（¥舟,。），D（寻辛,0）,（0,0, 2）。CDB*2, 2，°），CS=（#¥2）。令向量 n =(x, y,1)，且 n _ DB, n _CS，jS- n DB =0 则 一n CS =0(x,y,1) ( 2, .,2,0) =072 近5）訂）二。x y =0xy 2、2 =0 '.n =(.2, 2,1)。BD和SC之间的距离为:oCnnd =（-乎咨,。）

23、（M）(- 2, 2,1)E_1 勺 +0|_2亦。,（- .2）2 （ 2）2 125题型5 :点面距离例9.如图，已知ABCD为边长是4的正方 形，E, F分别是AB,AD的中点，GC垂直 于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B至U 平面EFG的距离。解法一：连结B F , B G ,11S bef BE FA 2 2=2 ,22又E , F分别是A B , A D的中点，BD 2，CH VAC，GH=GC2 CH 2 = . 22=22 。S.GEF21Vg_bef2 2 ,32 . 2. 22 =2.11 , Vb _efg1 2 J1 h3.EF/BD, . B到平面GEF_ A&

24、quot;O ,EF/BD,.h 二11解法二.幕E,F分别是AB,AD的中点, 的距离为BD上任一点到平面GEF的距离，BD.EF _ AC,又 GC _ 平面 ABCD,EF 平面 ABCD, EF GC,EF平面GEF,.平面GEF 平面GCH,过O点作 OO ' _ HG,贝U OO ' _平面G EF, OO 为O到平面GCH的距离，即B到平面GEF的距离。AOH = AC -、2 由解法一知：GH - 22 ,由 HOO s : HCG 得 4OHGHOO,oo=QGC11思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种 常用的方法。例10.

25、 (1) (06安徽)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 A在平面内，其余顶点在:-的同侧，正方体上与顶点 A相邻的三个顶 点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P到平面的 距离可能是： (写出所有正确结论的编号.) 3;4;5;6;7(2)平行四边形的一个顶点 A在平面内，其余顶点在:-的同侧，已知其中有两个 顶点到:的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面:的距离可能是：1 ; 2;3;4;以上结论正确的为。(写出所有正确结论的编号 )解析：(1)如图，B、D A1到平面:-的距离分别为1、2、4，贝U D A的中点到平面:-

26、的距离为3,所以Di5到平面:-的距离为6;B、A的中点到平面:-的距离为，2所以B1到平面:-的距离为5;则DB的中点到平面:-的3 7距离为一，所以C到平面o(的距离为3; C、A的中点到平面ct的距离为，所以C到22平面的距离为7;而P为C Ci、Bi、Di中的一点，所以选。3(2)如图，B、D到平面的距离为1、2，贝U D B的中点到平面:-的距离为 ，2 所以C到平面:-的距离为3;B、 C到平面:-的距离为1、2, D到平面的距离为x，则X T =2或x，即 X =1，所以D到平面:-的距离为1;C、 D到平面:-的距离为1、2,同理可得B到平面的距离为1;所以选。 题型6 :线面

27、距离例11 已知正三棱柱 ABC - AB1C1的底面边长为B8,对角线B1C =10 , D是AC的中点。(1)求点B到 直线AC的距离。(2)求直线AB1到平面C1BD的距离。解析：(1)连结BD , B1D，由三垂线定理可得：BQ _ AC，所以B1D就是B1点到直线AC的距离。在 Rt B1BD 中 BB = BC2 - BC2 二、.102 -82 = 6, BD =4. 3 .BD = JBD2 BB2 =2、21。BQBCE，贝V AB1/DE ,(2)因为AC与平面BD C1交于AC的中点D,设所以AB/平面C1BD，所以AB1到平面BD C1的距离等于A点到平面 BDC1的距

28、离,等于C点到平面 BD C1的距离，也就等于三棱锥 C - BDC1的高。VC -BDC1= VCBDC ,1 hS BDC32 13S bdc CC1, - h所以，直线 AD313到平面BD C1的距离是13思维点拔：求空间距离多用转化的思想。图7例12.如图7,已知边长为42的正三角形 ABC 中,E、F分别为BC和AC的中点，PA _面ABC ,且PA =2 ,设平面:-过PF且与AE平行。 求AE与平面间的距离？分析：设AP、AE、EC的单位向量分别为 e、Q，选取e，e2 , Q作为空间向量的一组基底。易知 e e2 =e e? e2 e3 =0，AP =2e, AE =2.6q,EC =2.