数值分析ppt课件

1、第4章 数值积分和数值微分1;4.1 引言2;问题的提出问题的提出 badxxffIba)()( :,上的积分上的积分常常需求在区间常常需求在区间中中在科学研究与工程技术在科学研究与工程技术.)()(,),()()( ,的原函数的原函数是是其中其中莱布尼茨公式莱布尼茨公式可运用牛顿可运用牛顿从理论上讲从理论上讲xfxFaFbFdxxfba 3; 100cos102 , ,sin :,dxededxxxx 如积分如积分原函数原函数用解析式表达的用解析式表达的有很多被积函数找不到有很多被积函数找不到但实际上但实际上.,.,.,)(,法进行积分法进行积分必须用数值的方必须用数值的方在这些情况下在这些

2、情况下法按此方法积分法按此方法积分也无也无还有些函数是列表函数还有些函数是列表函数计算也很困难计算也很困难复杂复杂但非常但非常的表达式的表达式有的积分即使能找到有的积分即使能找到此外此外xF4;一. 数值积分的基本方法从定积分的几何意义开始谈起从定积分的几何意义开始谈起:5;:,.,)()(),)()(有不同的方法近似来求有不同的方法近似来求未知的未知的但平均高度往往是但平均高度往往是上的平均高度上的平均高度在在看成是看成是可可这里这里由积分中值定理知由积分中值定理知baxffabfdxxfba )2()()( ,)2(:)1(bafabfIbaf 故故有有去去近近似似平平均均高高度度用用矩矩

3、形形公公式式6;)()(2)( ,2)()(:)2(bfafabfIbfaf 故有故有去近似平均高度去近似平均高度用用梯形公式梯形公式)()2(4)(6)( ,6)()2(4)()2(),(),(:)3(bfbafafabfIbfbafafbafbfafSimpson 故有故有去近似平均高度去近似平均高度的加权平均的加权平均用用公式公式7;.,:积积分分从从而而可可用用计计算算机机计计算算定定公公式式求求原原函函数数的的困困难难莱莱布布尼尼茨茨这这就就避避免免了了用用牛牛顿顿化化为为函函数数值值的的计计算算从从而而将将定定积积分分的的计计算算转转观观察察到到从从以以上上的的三三个个公公式式可可

4、以以 合合点点上上的的函函数数值值的的线线性性组组I I( (f f) )可可表表示示成成一一些些., )()( ,)(), 1 , 0(,0机械求积公式机械求积公式称为称为该公式该公式称为求积系数称为求积系数称为求积节点称为求积节点这里这里即有即有的线性组合计算定积分的线性组合计算定积分然后用然后用上的若干点上的若干点如果选取如果选取一般地一般地iiniiiiiAxxfAfIxfnixba 8;二二. 插值型求积公式插值型求积公式.)(,)()(,)(,),(,10进行近似求积进行近似求积们可以尝试用们可以尝试用故我故我合合在各点函数值的线性组在各点函数值的线性组从形式来讲是从形式来讲是而而

5、是较好的近似是较好的近似拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式上的上的其在其在对于一个函数对于一个函数回想到回想到xLxfxLxLxxxxfnnnn将将f(x)用简单的函数近似替代是构造具体数值积分算法的基本思想用简单的函数近似替代是构造具体数值积分算法的基本思想.9;则则的拉格朗日插值多项式的拉格朗日插值多项式构造构造上取节点上取节点设在设在),()(,10 xLxfbxxxabann niiibaniiibannxfAdxxfxldxxLfIfI00)( )()()()()(dxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxlAbaniiiiiiniibaii )()()()()()( )(,110

6、110其其中中10;),( ,)()!1()( )()()(,1)1(badxxnfdxxLxffRbannbann 其其余余项项为为这这就就是是插插值值型型求求积积公公式式:.21)(,我们来看一下我们来看一下时的特例时的特例和和在在就是就是公式公式式和式和我们前面介绍的梯形公我们前面介绍的梯形公事实上事实上 nnfISimpsonn11;.),()(2)()( ),()()( ,111110这就是梯形公式这就是梯形公式故故则则令令时时bfafabdxxLfIbfabaxafbabxxLbxaxnba 12;.),()(4)(6 312)(22 2)1()()( ,2)1()()( , 2/

7、 )(,)(,2,2210020020020020200202210公公式式这这就就是是故故为为牛牛顿顿向向前前插插值值公公式式表表示示可可用用则则令令时时SimpsonxfxfxfabffxfabdtfttftxfhfIfttftxfxLabhthxxxLbxbaxaxn 13;)1()5 . 0()1()(21011fAfAfAdxxf 中中的的系系数数计计算算下下列列插插值值求求积积公公式式,31)5 . 01)(11()5 . 0)(1()(,916)15 . 0)(15 . 0()1)(1()(,95)11)(5 . 01()1)(5 . 0()(, 1, 5 . 0, 1:1111

8、22111111111100210 dxxxdxxlAdxxxdxxlAdxxxdxxlAxxx由题意知由题意知解解例一例一. ).1(31)5 . 0(916)1(95)(11fffdxxf 故故14;三三. 代数精度代数精度.,.),()(,的概念的概念为此引入为此引入度度衡量求积的精确衡量求积的精确我们也希望从此角度来我们也希望从此角度来积公式积公式插值构造的机械求插值构造的机械求对于其它的不一定通过对于其它的不一定通过启发启发受此受此次的多项式能精确成立次的多项式能精确成立公式对于不超过公式对于不超过该该式式对于插值型机械求积公对于插值型机械求积公例如例如代数精度代数精度nfIfIn

9、由数值求积公式得出的定积分的值对于大多数函数的积分来讲只是近似值由数值求积公式得出的定积分的值对于大多数函数的积分来讲只是近似值. 对于一个好的数值求积方法对于一个好的数值求积方法, 我们自然希望该求积公式能尽可能多地对有些我们自然希望该求积公式能尽可能多地对有些函数函数f(x)成立成立.15;.,)(,), 1 , 0( ,)(:1mm次次代代数数精精度度该该求求积积公公式式有有则则称称不不能能精精确确成成立立而而对对能能精精确确成成立立若若一一个个求求积积公公式式对对定定义义 mixxfmixxf.)(2)()(2,32323223),()(22.)()(2)(:22222332221 b

10、ababadxxbaabbfafabababababdxxbfafababxdxbfafabfI而而因为因为代数精度代数精度具有一次具有一次梯形公式梯形公式例如例如16;., )()(1,0至至少少有有n n次次代代数数精精度度其其式式个个节节点点的的插插值值型型求求积积公公对对具具有有一一般般地地 niiinxfAfIn. 0)()!1()()(, 1 , 0,)(:1)1( bannnidxxnffRnixxf 余项余项对对证明证明以代数精度作为标准以代数精度作为标准, 可获得构造机械求积公式另一种方法可获得构造机械求积公式另一种方法, 称为代数精度称为代数精度法法, 例如下面的例二例如下

11、面的例二.17;)3()2()1()0()(3321030fAfAfAfAdxxf 次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式试确定一个具有试确定一个具有 4/812789942/93231,3:30332130232130321303210dxxAAAdxxAAAxdxAAAdxAAAA则根据定义有则根据定义有次代数精度次代数精度要有要有解解例二例二. 18;.3,)().3()2(3)1(3)0(83)(,83,89,89,834303210次次代代数数精精度度的的公公式式具具有有故故所所得得其其不不能能精精确确成成立立代代人人上上式式时时将将故故有有解解得得xxfffffdxxfAAAA

12、19;四四. 求积公式的收敛性和稳定性求积公式的收敛性和稳定性).max(,)()(lim )(:100,0iibaniiihnniiixxhdxxfxfAxfA 其其中中的的则则称称该该求求积积公公式式是是收收敛敛满满足足若若求求积积公公式式定定义义本章后面给出的求积公式都需要研究其收敛性本章后面给出的求积公式都需要研究其收敛性.20;.)(,)()()(0控制控制的误差能否得到有效的的误差能否得到有效的误差时误差时有有当当稳定性是研究和式稳定性是研究和式fIxfxfAfIniniiin ,)(,)(iiiiifxffxf 其其误误差差为为现现设设 niiinnnixfAfIfIfI0.)(

13、)(,| )()(|,|, 0, 0:是稳定的是稳定的则称求积公式则称求积公式就有就有使得只要使得只要如果存在如果存在对任意对任意定义定义 .)(,)(:的的误误差差就就可可任任意意小小于于一一个个稳稳定定的的算算法法而而言言则则对对足足够够小小的的误误差差只只要要被被积积函函数数该该定定义义表表明明fIxfni 21;., 0)()(:0则该求积公式是稳定的则该求积公式是稳定的的系数的系数若求积公式若求积公式定理定理 iniiinAxfAfI.0,)( | )(| )()(|,|)(|., 0:00时是稳定的时是稳定的故求积公式在故求积公式在有有时时当当取取对于任意对于任意证明证明 inii

14、niiiinniiAababAfxfAfIfIfxfab 22;4.2 牛顿-柯特斯公式 (Newton-Cotes公式)23;一一. Newton-Cotes公式的一般形式公式的一般形式.,)()()(,0公公式式称称为为有有比比较较简简单单的的形形式式插插值值型型求求积积公公式式形形下下在在求求积积节节点点是是等等距距的的情情CotesNewtondxxfxlfIbaniiin . , )()()(:)(0)(系系数数称称为为其其中中公公式式为为CotesCxfCabfICotesNewtonniniini 24;则则节节点点为为等等分分设设积积分分区区间间,/ )(, 1 , 0,nab

15、hniihaxnbai nnijjinnthxxbaniiiiiiniibainidtjtinindtniiiiiintitittabhdxxxxxxxxxxxxxxxxxabdxxlabC0,00110110)()()!(!)1()()1()(1()0()()1()(1()0()()()()()()(1)(10Cotes系数的求法系数的求法: 25;.,.,)(求积公式求积公式并给出相应的并给出相应的就能算出就能算出只要给定只要给定因此因此无关无关与积分区间和被积函数与积分区间和被积函数有关有关系数只和系数只和由此可见由此可见CotesNewtonCnnCotesni .14124系系数数表

16、表给给出出了了页页上上表表参参考考教教材材Cotes .4,8,公公式式的的一一般般只只用用所所以以我我们们保保证证故故稳稳定定性性不不能能时时出出现现负负数数当当从从表表中中可可以以看看到到CotesNewtonnn 26;27;二二. 几个低阶几个低阶Newton-Cotes公式及其余项公式及其余项由于由于Newton-Cotes低阶时较实用低阶时较实用,下面我们来讨论下面我们来讨论3个低阶的个低阶的Newton Cotes公式及其余项公式及其余项:)()(2)( ,1)(bfafabfTna 求积公式为梯形公式求积公式为梯形公式时时28;)()2(4)(6)( ,2)(bfbafafab

17、fSSimpsonnb 公公式式求求积积公公式式为为时时)(7)(32)(12)(32)(790)(,4)(43210 xfxfxfxfxfabfCCotesnc 公公式式求求积积公公式式为为时时29;其其余余项项是是次次的的代代数数精精度度为为,1)()(fTa)( 12)(6)(2)()(2)()(2)()(33 fababfdxbxaxfdxbxaxffRbabaT 加权积分中值定理加权积分中值定理代数精度及其余项代数精度及其余项: )(12)()( 3 fabfRT 故梯形公式的余项是故梯形公式的余项是30;.3,.22,)(次代数精度次代数精度公式有公式有上上但实际但实际次代数精度次

18、代数精度公式至少有公式至少有时的时的次代数精度知次代数精度知有有阶插值型求积公式至少阶插值型求积公式至少根据根据SimpsonSimpsonnnnb .3,)(.)(,246)(4., 1)(:433334432次次代代数数精精度度故故其其有有不不成成立立对对公公式式易易验验证证成成立立公公式式对对故故公公式式显显然然成成立立对对证证明明xxfSimpsonxxfSimpsonbbaaababdxxSimpsonxxxfba 31;Simpson公式余项的推导须借助于埃尔米特插值的使用公式余项的推导须借助于埃尔米特插值的使用,因由拉格朗日插因由拉格朗日插值多项式得出的余项表达式不能直接反映其代数精度为值多项式得出的余项表达式不能直接反映其代数精度为3的事实的事实.)(2)(4)()()(,)()( , 2 , 1 , 0),()( :)(2)4(11bxbaxaxfxRxHxfxHixfxHxHii 的余项为的余项为的结果知的结果知则根据该节课件上例一则根据该节课件上例一米特插值多项式米特插值多项式是满足如下条件的埃尔是满足如下条件的埃尔若令若令32; babababababasdxbxbaxaxfdxxHxfdxxHdxxfbHbaHaHabdxxfbfb