二次函数与角度问题

1、二次函数专题一：角度一、有关角相等1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接、，试比较和的大小，并说明你的理由.思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是cd和x轴平行（过点作轴的平行线与抛物线交于点）对于第（2）问，比较角的大小a、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判

2、断角的大小d、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有m、c、a、b这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d这一条解：（

3、1）cdx轴且点c（0，3），设点d的坐标为(x，3) 直线y= x+5经过d点，3= x+5x=2即点d(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为m（1，y），又直线y= x+5经过m点，y =1+5，y =4即m（1，4）设抛物线的解析式为点c（0，3）在抛物线上，a=1即抛物线的解析式为3分（2）作bpac于点p，mnab于点n由（1）中抛物线可得点a（3，0），b（1，0），ab=4，ao=co=3，ac=pab45°abp=45°，pa=pb=pc=acpa=在rtbpc中，tanbcp=2在rtanm中，m（-1，4），mn=4an=2tannam=2bcp

4、nam即acbmab后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、（2012朝阳一模第24题8分）24. 在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点n（2,5），过点n作x轴的平行线交此抛物线左侧于点m，mn=6.（1）求此抛物线的解析

5、式；（2）点p（x,y）为此抛物线上一动点，连接mp交此抛物线的对称轴于点d，当dmn为直角三角形时，求点p的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点c，在此抛物线上是否存在点q，使qmn=cnm ？若存在，求出点q的坐标；若不存在，说明理由.24. 解：（1）过点m、n（2，5），由题意，得m（，）. 解得 此抛物线的解析式为. 2分（2）设抛物线的对称轴交mn于点g，若dmn为直角三角形，则.d1（，），（，）. 4分直线md1为，直线为.将p（x，）分别代入直线md1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）设存在点q（x，），使得qmn=c

6、nm. 若点q在mn上方，过点q作qhmn，交mn于点h，则.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若点q在mn下方，同理可得（6，）. 8分3、（2012西城一模25题8分）25平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于点a、点b，与y轴的正半轴交于点c，点 a的坐标为(1, 0)，ob=oc，抛物线的顶点为d (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点p满足apb=acb，求点p的坐标； (3) q为线段bd上一点，点a关于aqb的平分线的对称点为，若，求点q的坐标和此时的面积 图925解：（1） ， 抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴交于 点a、点b，点a的坐标为， 点b

7、的坐标为，ob3 1分可得该抛物线的解析式为 ob=oc，抛物线与y轴的正半轴交于点c， oc=3，点c的坐标为将点c的坐标代入该解析式，解得a=12分 此抛物线的解析式为（如图9） 3分 （2）作abc的外接圆e，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点f，设e与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10） 可知圆心e必在ab边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上 、都是弧ab所对的圆周角， ，且射线fe上的其它点p都不满足由（1）可知 obc=45°，ab=2，of=2可得圆心e也在bc边的垂直平分线即直线上 点e的坐标为 4分 由勾股

8、定理得 点的坐标为 5分由对称性得点的坐标为 6分符合题意的点p的坐标为、.（3） 点b、d的坐标分别为、，可得直线bd的解析式为，直线bd与x轴所夹的锐角为45° 点a关于aqb的平分线的对称点为，（如图11）若设与aqb的平分线的交点为m，则有 ，q，b，三点在一条直线上 ， 作x轴于点n 点q在线段bd上， q，b，三点在一条直线上， ， 点的坐标为 点q在线段bd上， 设点q的坐标为，其中 ， 由勾股定理得 解得经检验，在的范围内 点q的坐标为 7分此时 8分二、特殊角（一）、450角1、如图，在平面直角坐标系xoy中，点p为抛物线上一动点，点a的坐标为（4,2），若点p使a

9、op450，请求出点p的坐标。2、二次函数图象经过点a（3,0）、b（1,8）、c（0,6），直线与y轴交于点d，点p为二次函数图象上一动点，若pad450，求点p的坐标。3、（20092010海淀初三上期末）已知，抛物线与x轴交于点a（2,0）、b（8,0），与y轴交于点c（0，4）。直线y=x+m与抛物线交于点d、e（d在e的左侧），与抛物线的对称点交于点f。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求dcf的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点p，使dpf450，且满足条件的点p只有两个，则m的值为_.（第（3）问不要求写解答过程）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a

10、（x+2）（x-8），抛物线与y轴交于点c（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，m=2，直线的解析式为y=x+2，直线y=x+2与抛物线交于点d、e，与抛物线的对称轴交于点f，f、d两点的坐标分别为f（3，5），d（-2，0）设抛物线的对称轴与x轴的交点为m，可得cm=fm=md=5，f、d、c三点在以m为圆心，半径为5的圆上dcf=dmf=45°（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为g（3，-）设f（3，3+m），则fg=m+3+，设d关于对称轴的对称点为d1，当

11、四边形dgd1f为正方形时，满足题意，此时p点与顶点g重合，或者与d1重合，故dd1=fg，d点横坐标为：x=-（fg-3）=-，纵坐标为-（fg-3-m）=，将d点坐标抛物线解析式，解得m=-（二）、900角1、如图，抛物线，与轴交于点，且（i）求抛物线的解析式；（ii）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （iii）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值思路点拨：（ii）问题的关键是直角，已知的是ac边，那么ac边可能为直角边，可能为斜边，当ac为斜边的时，可知p点是已ac为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与a、c重合，明显只有o

12、点；当ac为直角边时，又有两种情况，即a、c分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是a或者c为直角顶点，总有一个锐角等于oca（或rtpac和rtoac相似），利用这点就可以求出op的长度了（iii）从题目的已知条件看，除了abc=45°外没有知道其他角的度数，那么这两个角要么全是特殊角（30°，45°，60°，90°），在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到abc=45°，可知，这两个角的差就是45°，那么我们需要证

13、明的就是abd=cbe，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明bce是一个直角三角形且与bad相似解：（i），且代入，得（ii）当可证 同理: 如图当当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，（iii） 又2、（2012房山一模24题7分）24如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，抛物线y=ax28ax16a6经过点b（0，4）.求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为d，过点d、b作直线交x轴于点a，点c在抛物线的对称轴上，且c点的纵坐标为-4，联结bc、ac.求证：abc是等腰直角三角形；在的条件下，将直线db沿y轴向下平移，平移后的直线记为l

14、 ，直线l 与x轴、y轴分别交于点a、b，是否存在直线l，使abc是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由 图 备用图 24 解：由题意知： 解得： 抛物线的解析式为：-1分证明 ：由抛物线的解析式知:顶点d坐标为（4,6） 点c的纵坐标为4，且在抛物线的对称轴上c点坐标为(4，4)设直线bd解析式为： 有：，bd解析式为直线bd与x轴的交点a的坐标为（8,0）过点c作ce轴于点e，则ce=4，be=8又ob=4，oa=8, ce=ob,be=oa,ceb=boa=90°cebboa(sas)-2分cb=ab, 1=22+3=90°，2+3=90°

15、;1+3=90°，即abc=90°abc是等腰直角三角形-3分存在.当cab=90°时，如图1所示， ababoab=bao易证:eca=oab图1eca=baotanbao=taneca=ea=2a坐标为(2,0)直线l解析式为-5分当acb=90°时，如图2所示，图2过点c作ce轴于点e，易证afcbecaf=be由tanbao=设b坐标为（0，n）有b坐标为（0，）直线l解析式为-7分3、（2012石景山二模25题8分）25已知：抛物线yx22xm-2交y轴于点a（0，2m-7）与直线yx交于点b、c（b在右、c在左）（1）求抛物线的解析式； （2

16、）设抛物线的顶点为e，在抛物线的对称轴上是否存在一点f，使得，若存在，求出点f的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线oc上有两个动点p、q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线oc运动，以pq为斜边在直线bc的上方作直角三角形pmq（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若pmq与抛物线yx22xm-2有公共点，求t的取值范围解：25.解：（1）点a（0，2m-7）代入yx22xm-2，得m=5抛物线的解析式为yx22x3 2分（2）由得，b（），c（）b（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得 5分（3）当在抛物线上时，可得，当在抛物线上时

17、，可得，舍去负值，所以t的取值范围是8分三、角的范围1、二次函数的图象与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于c点，在二次函数的图象上是否存在点p，使得pac为锐角？若存在，请你求出p点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。2、 二次函数的图象与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于c点，在二次函数的图象上是否存在点p，使得锐角pcoaco？若存在，请你求出p点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。专题2-二次函数与角度问题复习目标：1掌握与角度有关问题常见的思路和方法；一、教案（供教师教学时使用）【例】如图，抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，点d(3，4)在抛物线上，连接bd，点p为抛物线上一点，且dbp =45°，求点p的坐标 【答案】p的坐标为解题方法总结：二、学案抛物线与并轴分别交于a、b两点，与y轴的正半轴交于c点，抛物线的顶点为d，连接bc