2021届江苏省南通市如东中学高三10月月考数学试题(解析版)

1、2020-2021学年如东中学10月高三月考i=iA. -2,3;B.22,3C. 2一3D.3数学试题一、选择题(本大题共8小题，共40分)1, 5 = t2,贝iJCuB)=()1 已知集合"=一2一1,0, 1, 2, 3,山=一10,2. 设a e R则"a> 1” 是"a2 的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3若护一2)'3=-3一儿则下列结论正确的是A.B.ln(y-%+ 1) < 0C.ln|%y| >0D.ln|x-y| <04.已知ae (Ojr),且3cos2a -Sco

2、sa = 5,则sin a =A.y-sTC.D.v-55已知？向>3=(mn)t b = (-2m) 9 若|a + 5| = |a- 则实数宛=()A. 士B. V2C. 一2D. 26. 若抛物线y2 - 2p(p> 0)的焦点是椭圆彩+寻=1的一个焦点，贝9p=()A. 2B. 3C. 4D. 87. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著需左理，该左理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的 交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：各十召=l(a>0)的离心 率为则椭圆O的蒙日圆方程为A.x2 4-y2 =9 B. x2 4-y2 =7 C x2 4

3、-y2 =5 D r2 + y2 = 48. 已知M为函数y=?的图像上任意一点，过M作直线MA, MB分别与圆%2 -Fy2 = 1相切于A, B 两点，则原点O到直线AB得距离的最大值为()B.以MN为直径的圆的而积大于4tt二、不定项选择题(本大题共4小题，共20分)9设M, N是抛物线*=咒上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-字,则下列说法错误的是()C.直线MN过抛物线 y2=x的焦点D.0到直线MN的距离不大于210、已知If(诳定义域为 R 的函数，满 f(r+l)=/(r-3> f(l+r) =/(3-r),当 0<x<2Bff(x)

4、 = x2 -j,则下列说法正确的是(：)A. fO)的最小正周期为4B. fO)的图像关于直线x=2对称C. 当0MXM4时，函数fS)的最大值为2D. 当 6<z<ar>-，函数代劝的最小值为一扌y11.已知函数/'(%) =Asin(w+ <p)(A> 0血<的图象如图才木所示，令gCOh(对+广则下列关于函数g(©的说法中正确的厶 _；是()A.函数9(%)图象的对称轴方程为久=加一$(展Z)B.函数g(%)的最大值为2<2C.函数9(©的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线ly= 3兀一1平行D.方程gM=2的

5、两个不同的解分别为x19x2,则1巧-衍1最小值为12. 把方程兀凶+y|y|= 1表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有(A. y= fd：的图象不经过第三象限B. f(>)在R上单调递增C. y= f(%：的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D. 函数=/(z)+jc不存在零点三、填空题(本大题共4小题，共20分)13. 已知双曲线C：扌一护=1，O为坐标原点，F为C的右焦点,过尸的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、M若A0MN为直角三角形，则|剜|=14将函数y二3sin(2x + J)的图象向右平移存、单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.15在AAB

6、C中，AB= 2 , AC=3, LBAC= M、N分别为 BC、AM的中点，贝ijcW. aB-16.已知lnX 衍山+2 = 0, %2 +2力21n2 6 = 0,记A/二（七x2）2 +（b一兀一则 M的最小值为:当M最小时，%2 = 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17-在厶 ABC b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且满足(b a) (stnB slnA) = c (y3s InBs InC)-(1)求A的大小：(2声a=2, B = *求的而积.18为调査某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人，统讣了他们的课外阅读达标情况(一

7、个学期中课外阅读是否达到规左时间)，结果如下:是否达标性别不达标达标男生3624女生1030(1)是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附:2 _叫,k _(a+c)(&+ofP6c2 > fc)0.05C0.0250.01C0.0050.001k3.81-15.0246.63E7.87910.828(G如果用这mo名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率.且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取3人（2男1女 ），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”,试求X的分布列和数 学期望.19. C知関g2十丁2十

8、2工_3 = 0求过点po冋且和圆C相切的直线方程：（G若斜率为1的直线"与圆交于。丘两点，求0 CDE面积的最大值及此时直线"的方程.的离心率为近，焦距为T（2如图，动直线人尸S样交椭圆E于蛀两点Y是椭圆E上-点，直线OC的斜率为煜且认二乎“是线段OQ延长线上-点，且lMC：AB=2：r© m的V为OS"足0财的两条切线，切点分别为s站刖的最大值，并求取得最大值时直线/的斜率.21 已知函 Cf(r) = 2x3-ajc2+2*讨论心的单调性；0<a<3时记代幻在区间Ri的最大值为M'最小值为加求有两个极值点.的取值范朗.22. C

9、知凶放广（灯二尤2（61皿一4兀十6a 3）求a的取值范囤1 2%2（X1 < %2）是fOO的两个极值点，证明：云+孟>°2020-2021学年如东中学10月高三月考高一试题一、选择题(本大题共8小题，共40分)1. 已知集合U = -2j-L0, 1, 2, 3, 4= -1,0, 1, 5 = 1,2,则Cir(i4uB)=()A. -2,3：B. 一22,3C. 2j1,0,3D. 2 1,0, 2,3【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的并集与补集的混合运算，是基础题.先计算出Auff,再求补集即可.【解答】解：因为A=-l,0JLE=i,2-所以AU 3=

10、九0丄2,又 17= -2,-1,0,1,2,31所以G(AuB)=-2,3.故选A.【分析】本题主要考査了充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题.由不等式以>a a> 1 a< 0知选A.【解答】解：不等式a2>a«a>l a<0,所以a > 1能推出a2但反过来推不出,故选A.3. 若2X - 2>T < 3 - 3-,则下列结论正确的是(A.ln(y-Jt+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|xy| >0D.ln|x-y| <0【答案】A【解析】【分析】本题考査指数函数和对数函数的单调

11、性，是基础题.由函数y= 2X - 3一*单调递增，化简护-2y< 3= 3r为卩-3= < 2歹一 3刁得尤< y即可求解.【解答】解：由2x - v < 3x - 3y2x - 3x < 2 - 3y,因为函数卩=- 3x在R上单调递增，所 lx<y,所以y % + 1 >1,所 Wn (y xl 1) > lnl = 0.故选A.4. 已知a e(Ojr)» 且3cos2a -3cosa =5,贝ijsina =A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.根据题意得至U6c

12、os% 8costr 8 = 0,进而得到cos a =-彳即可.【解答】解：因为3 cos2a 8cosa =5,所以3(2cos2a-l) -8coscr 5 = 0, E!卩6cos% -8coscr-8 = 0,解得：cosct = 2 (舍去=- ?因为a所以sin© = xl- cas2a =亨,故选A.5. 若抛物线y2=2p*(p>0)的焦点是椭圆£ + £ = 1的一个焦点，贝也=()A.2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与椭圆的标准方程及几何性质，属于基础题.根据抛物线的焦点坐标为(殳0),列方程即可

13、求得结果.【解答】 解：根据抛物线的焦点坐标为(?0)，所以根据焦点相同得到3p-p= g)2.解得p=8.故选D.6. 已知m工0,向颤=(矶町，艮=(一2丿珂，若|a+b| =|a-b|，则实数兀=()A. 土迈 B. 近C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】本题考查平而向量模、平面向量数虽积的坐标运算，属于基础题.由|a + S|=|a-&|.可得堀 9,结合向量坐标计算可得实数”的值.【解答】解：因为0十匸|二忆一和所以|a + b|2=|a-5|2,即总3=0,因为向虽云=(矶宛)，& = ( -2,771)，所以一 2m + mn = 0.即 73= 2.故选D

14、.7. "蒙日圆”涉及几何学中的一个著划立理，该泄理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：各十斗=l(a>0)的 离心率浑，贝IJ椭圆C的蒙日圆方程为()A. x2 4-y2 =9 B. x2 4-y2 =7 C x2 4-y2 =5 D r2 + y2 = 4【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率和新左义问题，属于中档题.先根据椭圆的方程和离心率求出“的值，再取特殊点（何H0），（0问，从而可得到两条切线方程以及切线的交点几 将点P的坐标代入蒙日圆的方程即可求岀英半径，进而得解.【解答】 解：椭圆的离心

15、率为才 旁今，解得“3.椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，胡戈两个特殊点，分别为（VFT,o）,（0问，对应的两条切线分别是Va + 1. y=逅，这两条直线的交点为P（亦门;Q，点P在蒙日圆上，（va+1）2 + （xfa）2 = r2 = 7.:椭圆C的蒙日圆方程为x2 +y2=7.故选8.已知M为函数?的图像上任意一点，过M作直线MA, MB分别与圆%2+y2=l相切于A, B两点，则原点O到宜线得距禽的最大值为（A.B.【答案】B【解析】【分析】本题考査圆的切线方程的求法，以及点到直线的距离公式和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题.可设M（肌善），设麵龙1

16、必）,陀2旳，由岡上一点的切线方程，可得MA, MB的方程，进而得到AB的方程，由点到直线的距离公式，结合基本不等式可得所求最大值.【解答】解：可设域肌洛），皿工0,设 A（%i，yi）,B（x2,y2），由圆的切线方程可得MA： %1x+y1y=l,MB： x2x + y2y= 1，由M为AM, BM的交点,可得?n衍+兰”=1, tnmx2 + y2 = 1 由过两点确宦一条直线，可得AB的方程>J7?w + -y=l, m丿即有o到AB的距离为况=当且仅当m = ±2V2时，距离d取得最大值壬故选B二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9. 设M, N是抛物线少忆二

17、工上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-扌,B.以MN为直径的圆的而积大于4tt则下列说法错误的是（A. OM + | ON > 441【答案】ABC【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达宦理及直线的斜率公式的应用， 直线恒过泄点问题，考查转化思想，计算能力，属于中档题.斜率不存在时，可求得MN的方程，即可判断|删 十|0N|=2晶4迈二2V5,以MN为宜径的圆的而积2皿可判断A, B.斜率存在时，设直线MN的方程，代入抛物线方程并联立即可求得直线MN恒过宦点，可判断D. 根据抛物线几何性质求得焦点坐标，可判断C.【解答】解：当

18、直线MN的斜率不存在时，设川乎丿一沟），由斜率之积为一扌，可得一分=一占即托=2,所以MN的宜线方程为兀=2;y当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx + m,联立g二;十皿，可得/cy2-y + m = 0.设域巧力，“血乃），则7172 = p 中2二吕，所=- = -=-即机=一2匕所以，直线方程 jy=kx-2k = k（x-2）.X 上2 Ml£则直线MN过定点则O到直线MN的距离不大于2.故D正确.当MV的直线方程为兀=2时，M（2,迈），逅），此时|0M|十|QN|=2品C4迈，故A错弟当MN的直线方程为兀=2时，域2,迈）小卩一近），此时|ACV| = UI、以为直

19、径的圆的而枳2“抛物线戸二才的焦点是(1,0).故C错误；故选ABC.10. 已知 f(©是泄义域为/?的函数，满足 /,(r+l)=/(r-3>当 02J甘，fM=x2-x,则下列说法正确的是(A. fd)的最小正周期为4B. fQO的图像关于直线尤=2对称C. 当时，函数的最大值为2D. 当 6<x<3M'，函数fO)的最小值为一扌【答案】ABC【解析】【分析】本题考查函数的周期性，对称性以及函数的最值.由/-(rll) =/(r-3X#f(r+4) =/(%).可判宦A，由f(llr) =/(3-xX#f(2+r) =f(2-r).判泄B，求出10 &

20、lt; x < 2lhff(x)的最大值棚最小值，由对称性可判定C，再由周期性判定d【解答】解:由l/-(r+l) =/(r-3)Wf(r+4)所以心的最小正周期为4, A正确;/，(l+r)=/(3-r)m/，(2+r)=/(2-r). f(©的图像关于直线兀=2对称，B正确；当0<z< 2H寸，ffr) =-x.兀=2时f(©取得最大值2,又因为f(©的图像关于直线x= 2对称，所以0<%< W，函数f(©的最大值为2, C正确：当0兰兀兰2lht. fM=x2 一工最小值为f(|) =- 所以当2兰兀兰4时，代戈)的最

21、小值也是一? f(©的最小正周期为4,所以±|6<x<8|hh函数代幻的最小值为D错島故选ABC.11. 已知函数MO =sin(oj% + cp)(z4> O& > Qt(p < 9的图象如图所示，令则下列关于函数的说法中正确的是(A.函数9(%)图象的对称轴方程为x = k7r-(kEZ)B. 函数9S)的最大值为2V2l；y= 3% 1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为尤-九2，则卜1一恕I最小值为C. 函数90)的图象上存在点从 使得在P点处的切线与直线【答案1ABD【解析】【分析】 本题考査了三角函数y=4sin(3

22、% +(p)的图象与性质，考査了导数的几何意义，考查了辅助角公式的应用，属于中档题.由函数的图象与性质可得函如对的对称轴由题意可得9(工)=f(巧十JW = 2厲血(工十誇)，方用为工二一召十伽k 6 N函数能)取得最大值2皿山导数的几何总义町彳讥得在P点处的切线7tt纭直线/：y= 3x-1平行，则k=gx0) = 2“©08円+話方脚伍)=2，二+计=3 ,解得曲（罚+誇H27;r tt <s,.-7tt ；衍 .- ,/. J： + = * 4- 2A：7i, k Zjc+ = 4- 2k?r:k Z ,12则I衍-恋I最小值为名从而可得正确答案.【解答】解：根据函=A5

23、inx +(pXA> Q.co > 0,(p < 的图象知,T = 27C60 = y = 1 t根据五点法画图知，当=6时，Q* + %= § + *= 丁，P= §.*. f(n) = 2sill) =2如卜+彳)，2 匹 sin (r + 彳 + ：)=2辺 sin 十寻);, 7sT 7T ,. r令刀+巨=+ hgk Z, 解得£ = 一誇十A兀kEZ,7T函数5(%)的对称轴方程为力=一迈+畑/ Z，a匸确：当e+碁=£+2hr,kE Z时，函数9(工)取得最大值2迈，B正确；(/M = 2血皿(工十誇)，假设函如'

24、(©的图象上存在点P(%oo)，(_ 引+养 解得COs(j：o十籍)二磊 】，显然不成立，所以假设错決，即C错误： 方程5(劝=2贝胖辺血石十需)=2,方程的两个不同的解分别为衍必剧，则I衍-恋I最小值为右 故D正确.故选ABD.12.把方程兀|%|+y|y|= 1表示的曲线作为函数y二f(X的图象，则下列结论正确的有(A. y= fS：的图象不经过第三象限B. R上单调递增C. y= fS：的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D. 函数g(x)=fM+x不存在零点【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了含有绝对值的函数的图象.以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，

25、属 于中档题.分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的貞假性.【解答】解：y>0, x2+y2=l此为圆心在原点，半径为1的圆在第一象限的部分，减函数(2) %>0. y<0, r2-y2=l,此为a=b = l,实轴为x轴的双曲线在第四象限的部分，减函数(3) %<0. y >0. y2-x2=l,此为a=b = l.实轴为y轴的双曲线在第二象限的部分，减函数(4) %<0. y<0. -2-/=1不表示任何图形，所以函数图象不存在，所以A选项正确：根据上述情况作岀相应的图象，如图所示,由图象可得./(r) R ±

26、;单调递减，所以B选项错误：由图象可得，图象在第-象限的部分为圆x2+y2=l的一部分，第二，第四象限为双曲线的一部分,所以由图象可W.y = f (x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1,所以C正确：函数(工)+工的零点等价于g二丁严的交点，因为7=久为对应双曲线部分的渐近线，结合图象所以没有交点，所以函数0(©二f 口)+耳不存在零点，所以D选项正确；故选ACD.三、填空题(本大题共4小题，共20分)13.将函数y= 3sin(2x+-)的图象向右平砖个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴 的方程是.【答案】= 【解析】【分析】本题主要考查了函数图织的平移，函y=A

27、sin(a)x-(p)的性质，属于基础题.先平移，再利用函数Asin(a)x-(p)性质即可求解.【解答】IT7T解:将解:皿川2力+了）的图象向右平移百个单位长叮7Tg(j) = f(x 一 77) = 35" 27TX 7T1=;歸伽-誇）的图象,7tt24平移后函数图象的对称轴方程为2工壽=血+k Z，即工=第+訐，k E Z,7""t5t当/c=0时， =,当上=1时，® = 一訂，5冇 加，小y轴最近的对称轴的方程是©=-訂斤7T故答案为"=14.任山验中，AB=2 , AC=3, LBAC= M、N分别为BC、AM的中点，

28、则c? - aB=【答案】一夕4【解析】【分析】本题考查向量的加法.减法、数乘运算及平而向量数量枳的il算，属于中档题.根据己知条件计算可得丽丽二；丽 1 一 3 一 一 = AB-AC)-AB占乔元，即町求得结论.44【解答】 解:因为在 ABC中.AB=29 AC=3, lBAC= N分别为BC、AM的中点,则丽.乔=|(刃+丽)乔1 、1* >= -C-ACCB)-AB1 > 1> 、 ? = -AC-(AB-AC)AB1)23) *= *AB -AB-AC4410 31=-x 22 -Tx2 x3 x-442故答案为一;4C15已知双曲线C：右一於=1，O为坐标原点，

29、F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的解：由双曲线 C： y y2 =1 得a = V3,b = l,c = 2>所以渐近线方程为y = ±亭如 即直线OM, ON的斜率为亭,-亭,所以跑N = 60G, lMOF= 30°,在直角三角形MOFOF =c = 29所以二V5，在直角三角形 MON 中，|MN =|OAf|X tan60D =3.故答案为3.16.己知 %i Xi +2 = 0, %2 + 2y2 21n2 6=0,记M =(七匕)2 +(Vi 兀严，则 M 的 最小值为:当M最小时，r2 =.【答案】寻等【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，

30、两条直线垂直的判左，点到宜线的距离公式和两条直线的交点坐标.利用题目条件把问题转化为函数y= Irx-x + 2图象上的点与宜& + 2y-6-2/n2=0上的点的 距离的最小值的平方，利用导数的几何意义得勺函数lnj-r+2图象相切且与直线% + 2y-6-2/n2=0平行的切点的横坐标，从而得切点坐标，再利用点到直线的距离公式得最小 值，再利用两条直线垂直判宦过切点与宜 + 2y-6-2/n2 = 0垂直的直线为 2r-y-4+ln2= 0,再利用两条直线的交点坐标计算得结论.【解答】解：因为(帀-x2)2+(yi-y2)2的最小值可转化为函数In工一龙+2图象上的点与直线% +

31、2y-6-2/n2 = 0上的点的距离的最小值的平方，由y = lnx %4-2,可得y1,而与直m + 2y-4-2/n2 = 0平行的直线的斜率为所以令|一1二一評尤=2, 因此切点坐标为(21n 2),切点到直线x + 2y-6-2/n2=0的距离为|2+21n2-G-21n2| _ 4V?Tim 5即M的最小值为d2=.过切点与直JU + 2y-4-2/n2 = 0垂直的直线为2r-y-4 + ln2= 0,p + 2y- 6 21n2 = 0H，f 2%-y-4+ln2 = 0四、 解答题（本大题共6小题，共70分）17.在中，4 b, C分别为内角A, B, C的对边，且满足（b

32、一 aj涉+ sinA） = c（屈inB-sinC）.（1球A的大小;(2声比=2, E = ?求的而积.【答案】解：因为(b - a) (sinB + sia4) = c (:vsinB - sinC).由正弦定理佥=角=爲？彳J(b a) (b十a) = c (y3b 一 c)，即以+ c2 - a2 = xWbc， 所以cosH =因为X A兀所以A=由正弦泄理总=醫得b =2屈由余弦定理b2 = a2+c2 -2accost 得(2近尸=2?牛 c2 -2 X 2ccos?解得c = V5十品,所以 /Wt?的而积5二|acsinB = |x 2 x (逻十x/6) X乎=V5十1【

33、解析】本题主要考査了正弦左理、余弦立理以及三角形而枳公式的应用，属于基础题 根据题目条件结合正弦宦理可Wb2 + c2-a2 = V3&c代入余弦公式可得casA= 结合人的取 值范用，可得A的大小.（2）由（1）结合正弦定理可求得”，代入余眩定理，可解得c二逅十苗，进而代入三角形而积公式计算可得结果.18为凋查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人，统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规泄时间，结果如下:是否达标性别不达标达标男生3624女生1030否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附:_(+a)(c4tf) (a+c

34、)(&+ofP&2 > fc)0.05C0.02E0.01C0.00E0.001k3.8115.0246.63E7.87910.828（G如果用这wo名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取3人(2男1女 )，设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”,试求X的分布列和数 学期望.【答案】解：(1)假设禺：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得100X(36X30-24X10)2(36+24)X( 104-30X( 36+10)X( 24+30)2450207«

35、; 11.856> 6.635,因为当成立时，k > 6.63E的概率约为O.OL所以冇99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关；(2)记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标: 事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标.由题意知：P如詔,P二欝Y随机变量X的取值可能为0, 1, 2, 3.P(灼 O)=(1-|)2X(1-|) = P(X= 2)=(|)2x (1-扌)+C 淀x (1-1) xU IP(y=3)=(|)2x=l所以随机变疑x的分布列为：0123p93923100100525QQq92期 = 0x-+lx- + 2x? + 3x- = 1.55

36、.【解析】本题考查独立性检验，古典概型的汁算公式，离散型随机变虽的分布列与期望的求法，考 查计算能力，属于中档题.(1)根据表格数据，利用公式求岀护的观测值h判断即可.(2球岀男生、女生课外阅读“达标”的概率，列岀随机变量X的分布列，求得数学期望即可.19. i2知圆C：%2 4-y2 +2兀一 3 = 0-求过点也0,苗)且和圆Q相切的直线方程：(2若斜率为1的直线"与圆交于d,e两点，求 S CDE面积的最大值及此时直线"的方程.【答案】解：(1)设所求切线/的斜率为h"、解法一：设宜线n的方程为亠X贝IJ圆心到直线的距离为彳_旷1|,UJy=尤十 °

37、;a=尸学詈申戸囚打曙1)2显当且仅当h (m 即h=或时取(满足直线与圆相交yV2近故圉诈而积的最大值为2'此时直线”的方程为尸兀十3或y=x-l-解法二：Sw遐=卜 CD CE sin 乙DCE = 2«in ZDCE 无 2 ,当且仅当sinzDCE=9(H即仞丄加时'图CDE的面积加人此时DE = 2返设宜线"的方程为十扩则圆心到直线"的距离li-n，y7Tiiid<r 1-22 <&< 1 + 229li，DE=2Vr2-d2 =2/4 = 2y/2d= V2* 即磐二卮"b=3或一 1'所以直

38、线“的方程为尸龙十3或j【解析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，涉及圆的标准方程、点到直线的距离、弦长公式、 基本不等式、与圆有关的最值问题，属于中档题.(1) 由圆的标准方程得到圆心及半径，进而可知点P在圆上，求出直线PC的斜率后即可求得圆的切 线斜率，最后得到直线的方程；(2) 解法一：先求出圆心到直线的距离及弦长DE，利用基本不等式求得最值即可：解法二：由三角形的而枳公式SCi)f：=yCD-CE-sin LDCE = 2sin乙DCE Q2知CD丄DE时 三角形面积最大，此时DE = 2迈，由弦长公式求得d二逅，进而由点到宜线的距离即可求解.20 在平而直角坐标系® 中，椭

39、圆& + = l(d>b> 0)的离心率为疥 焦距为(1逑椭圆E的方程;"、如图，动直线人F府交椭圆E于厶片两点，C是椭圆E上一点，直线(2)y=扎万OC的斜率为煜且 中2二学M是线段°C延长线上一点，且I就I：的“:3的半径为|曲|'OS"是耐的两条切线，切点分别为s严止0T的最大值，并求取得最大值时直线/的斜率.【答案】解：(/油题意知。=£ =密2c = 2, a 2刃以1 二b = I,因此椭圆E的方程为+y2=l.联立方程y4-y2=iJy= 3字,得（4妤 +2）/ -4V3M-1 = 0,由题意MIA >

40、0,2忌衍+兀2=云申'衍乂2 =一贾公汁疔由题意可知圈M的半径=AB =由题设知上也2 =字因此直线OC的方程为y二±x.因 itOC = Jx2+y2 =上 SOT r1由题意可得2 一 ,十OC JOCI ,|屮乃2 而凹T 叔叫33V2 l + 2/Cj24 Ji+4k血+込令 t = l + 2fcf,则t>l. y6 (OQ'2t2+r-l=_ -(= _ -,= > 12J24 '当且仅当即片=2时等号成立，此时幻=±善.【解析】本题考査直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题.

41、(1) 由题意得关于"，k C的方程组，求解方程组得“，“的值，则椭圆方程可求7(2) 设4(切y) 肌恋2，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|肋|,由题意可知陨1M的半径r,则-2_2、习i+询阿由题意设知上2=密得到直线311142好4X1OC的方程，与椭|园方程联立，求得C点坐标，可得|冗|由题意可知，厶SOTr18,11= r + OC = l | |0C| ,枭化为关于b的函数，换元后利用配方法求得取得最大值时直线/的斜率为灯=±学21.已知函数f(© = 2X3 ax2 +2 讨论代灯的单调性;（2当

42、0<a<3时，记 代幻在区间0J的最大值为 最小值为心 求M-7H的取值范围.【答案】解：（l）/r（z）=6%2-2ax = 2x（3x-a）.令广“，得=o或*丁.若,则炉（一曲叫丐卄）时，rw>0;'J（o,訂时，rw<Qf故心在单调递增,在(0,9单调递减:若“、在（一x,+x）单调递增； a= u / W若X0,则当叹（-喘）50卄）时，厂>0；%丘（和）时厂3）"'故"、在（一2 狀单调递增，在£单调递减.f（Q3（十0）（2当。<X 3时,由知，心在隔）单调递减,在炉）单调递增,所以f（©

43、在区间0J的最小值为心=_兰 最大值为代0） = 2或广=4 _ a.r4-a,O< a < 2 ,M=U2<a<3所-nt=Ka + °<a<2 - （存X 3当时，可知°农单调递减,a< 22 a H27所以MF的取值范围是（討当2g时,农单调递增,27所以的取值范用是f ,巧 综上，M-m的取值范购是亘,2【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究闭区间上函数的最值，是较难题.导，分a>0, a=O和a<0三类分类讨论即可求解：、"i0<a<3时，从而代刁在（0冷）单调递减，在（存）单调递增，所以代幻在区间0,1的最小值为代沪-討,最大值为f（0） = 2或代1） = 4 一乩分0< a< 2和2<a< 3讨论即可求解.15.已知函数f