离心率地求法总结材料精

1、实用文档圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值：1.利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合求范围：1.利用圆锥曲线相关性质建立a、c不等关系求解.2. 运用数形结合建立a c不等关系求解3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：（成都市2010第二次诊断性检测）已知椭圆的一个焦点为 F，若椭圆上存在点 P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为 .解斬记裟飪的中虑为FFi-ZOM.呼方程得593 *题2

2、:已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°, 则双曲线C的离心率为a> 0, b> 0的渐近线与抛物线2y = x +1相切，则该双曲线2 2题3:设双曲线冷一爲=1a b2题4: （2009浙江理）过双曲线笃a2 y b21(a0,b0）的右顶点A作斜率为-1的直线,直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为uuuB，C.若 AB1 ULUTBC，则双曲线的离心率是（2(B),'3(C) 5(D).10解析对T则宜线方程为T丁一“一叽直线芍购新近线的交点夕円（帛肆S） 吉L备网有乔洛倍卜尬（-艄磐因为2无3 =百&所以4d二

3、护上=岳.故选U2. 几何法题1 :以椭圆的右焦点F,为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点（Fi为左焦点）是圆F2的切线，M是切点，则椭圆的离心率是 M若直线MF的离心率等于（）（A）.3（B）2(C)5(D)6解:由题双曲线22x - y -1221a> 0,b> 0的一条渐近线方程为ybx，代入抛物线方程aba整理得ax2bx a 0 ,因渐近线与抛物线相切，所以 b2 4a20 ,即c25a2e.5，故选择CoMF1= 1,F1F2 = 2,MF1 = 3,e= 3- 1实用文档题2: Fi,F2为椭圆的左、右两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF4 PQ且求

4、椭圆的离心率.题3:PFIPQ，如图2设丨PFi ；= I,则| PQ I 1PFt r + f PQ f + l QF； 2 4.'2a = 1 哼2c = / I PF| VI（05全国）设椭圆的两个焦点分别为 F1> F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,rpf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是运 B 血-12 . 2A.C. 2 - 2D.（采用离心率的 定义以及椭圆的定义求解）离心率的定义e解：如右图所示，有c 2c椭圆的定义a 2a2c2 - 2c 2c 2 1.2-12c|PF1| |PF2| 故选 D2 13.与其它知识点结合题1：已知M为椭圆上一点,椭圆的

5、离心率为（A）1a -1Fl, F2是其两个焦点，且/ MFF2= 2a，/ MFFi=a ( a丰0)，则)2sin a (B)l sin 2 a (C)1-cos2 a (D)2cos«由已知及正弦定理，得! F”!sin 3 金1閱sin a sin 2a比例性质得I MF. W 晒 I =sin a -4 sin 2a.-_ IFlF_'* -丨 MI-1 H | MF23a 一.tin a 4 an 2a3血a二4逾)Nsin l + Scnfi a)3 “ Osin2空r,=;i = 2 心 a - 1.1 亠 2ca? a故NDI MF】I题2:已知P为双曲线右

6、支上一点，Fi、F2是其左、右两焦点，且/ PFF2=15°, / PF2F=75°,则双曲线的离心率为练习:2 2X y1.设双曲线 =-=1（0< a< b）,半焦距为c,直线I过点（a,O）,（O,b） a b直线I的距离为3c，则双曲线的离心率为（）42 .33A两点，已知原点到32.已知双曲线的渐近线为y二？ x，则双曲线的离心率为4343.过双曲线的一个焦点双曲线的离心率等于F作垂直于实轴的弦 MN A为双曲线的距F较远的顶点，/ MAN=90 ,2b2aa+ c4.（07安徽卷）2 2吒和尸2分别是双曲线X2 71（aa b的圆与该双曲线左支的两个

7、交点，且0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|0片|为半径F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（A. 3B. 5C.D. 1 +. 35.（07全国口 ）2 2设印f2分别是双曲线 笃 爲 伯勺左、右焦点，若双曲线上存在点 代使f1af2 a b|AF1| 3|AF2|,则双曲线的离心率为（B）290°,A.C.-T D. 5求离心率的取值范围1.利用圆锥曲线相关性质建立a、c不等关系求解.2 2题1: （2008福建）双曲线 笃 与 1 （a > 0,b >0）的两个焦点为Fx F2,若P为其上一点, a b且|PFi|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值

8、范围为（）A.(1,3)B. 1,3C.(3,+)D. 3,分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析： |PF1|=2|PF 2|, IPF1I |PF2|=|PF 2|= 2a, |PF2| c a 即 2a c a 3a c所以双曲线离心率的取值范围为1 e 3，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应 焦点的距离不小于c a ）则可建立不等关系使问题迎刃而解.实用文档2 2题2: (04重庆)已知双曲线写爲a b1,(a 0,b0)的左，右焦点分别为Fi,

9、F2,点 P 在双曲线的右支上，且|PFi| 4|PF2|,则此双曲线的离心率 e的最大值为：(2/ |PFi|=4PF2|, A |PFi| |PF2|=3|PF 2|= 2a , |PF2|c a 即 a3所以双曲线离心率的取值范围为1 e 5，故选B.3练习:2 21.已知Fl，F2分别为古1(a 0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任点，若PFiPF2的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是(2PFj (2a PF?)2pfJ |pf2A (1,2 B (1,3 C 2,3 D 3,)PF； PF2 4a 2石4a 8a，欲使最小值为8a，需右支上存在一点P,使PF22a，而

10、PF2c a 即 2a c a所以 1 e 3.r aa -氏但由椭圆范围及今尸耳=90°Inor3 <Z73惫O圮且rS从而丽邑 =-<1a 2a所央日¥为题2：椭圆G :2y21(a b0)的两焦点为Fi( c,0), F2 (c,0)，椭圆上存在点M使bULUV UJUJVFM gF2M 0.求椭圆离心率e的取值范围;uuuv uuu解析设 M(x,y),FM F2M 0X y c将 y2 b27 x2代入得 x2aa2b2点评:2 X2 ab21(a b 0)中x a，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数2.利用曲线的范围，建立不等关系2 2Xy题

11、1.设椭圆 _+ _= i(a> b> 0)的左右焦点分别为 Fi、F2,如果椭圆上存在点 P,a b使？RPF2 90°，求离心率e的取值范围。解：设尸(兀刃 因为= 90°，所以丄苓 1丄F罠如；出鬲=-1工+匸 X Ca +yy，可解得将这个方程与椭圆方程联立，消去范围问题中经常使用，应给予重视实用文档题1:（06福建）已知双曲线2 x2 a(A) (1,2( B)(1,2)(C) 2,)(D) (2,)3. 运用数形结合建立a、c不等关系求解2笃 1（a0,b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60b的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率

12、的取值范围是所以双曲线的离心率取值范围是（£ 2）u（迈）解析 欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率bac2 4 a2即e 2故选C.22题2:直线L过双曲线x2y .21(a0,bab->3，即 b 3a 即 c2 a2 3a2 /.a0）的右焦点，斜率k=2，若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。如图1,若 -，则L与双曲线只有一个交点;若 丄，则L与双曲线的两交点均在右支上,/ - > 2> >2a2 >> 5a2ae >a题3 :已知R、

13、F2分别是双曲线2卷1(ab0,b0）的左、右焦点，过 F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若 ABF是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值解：如图2,因为 ABF是等腰三角形，所以只要/ AFaB是锐角 即可，即/ AHF1<45°。则- 2ac <0,1 < 0, 1 «« < 1+4. 运用函数思想求解离心率2 2题1：（08全国卷叮设a 1，则双曲线a2 Ji）21的离心率e的取值范围是A C.2,2) B. C.2,5)C. (2,5) D. (2,、. 5)解析：由题意可知e/2 e 、,5，故选 B.5. 运用判别式建

14、立不等关系求解离心率2题1 ：（全国I）设双曲线C：与 y21（a 0）与直线l : x y 1相交于两个不同的点 AaB.求双曲线C的离心率e的取值范围解析 由C与I相交于两个不同的点，故知方程组X2人有两个不同的实数解.消去y并整理得x y 1.(1 - a2) x2+2a2x 2a2=0.1 a20.ll所以 422 解得0 a ；2且a 1.4a 8a (1 a )0.双曲线的离心率e 1 a 、1Q 0 a 2且a 1,.e 且e 彳a Ya2练习：q，离心率e?犏犏2,2，则q2 2仁设X2 y21(a0,b0)两条渐近线含实轴的所成角为a b的范围 0055刍=7- = -? e

15、 I-'t. - 二刍丘:垮卫丘号号放选匚实用文档1组题设是双曲线一点与两焦点之间关系1。分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,应想到用双曲线第一定义如何找不等关系呢？解析： |PFi|=2|PF 2|,|PF2|=|PF 2|= 2a, |PF2|c a 即 2a c a 3a c所以双曲线离心率的取值范围为1 e 3，故选B.（双曲线上任一点到其对应点评：本题建立不等关系是难点， 如果记住一些双曲线重要结论 焦点的距离不小于c a ）则可建立不等关系使问题迎刃而解 2,v |PF1|=4PF2|, IPF1I |PF2|=3|PF 2|= 2a , IPF2I c a 即 2

16、 a3所以双曲线离心率的取值范围为5，故选B.32练习:解析PF2|PFi|2(2a IPF2D需右支上存在一点1。解：设''1 -4a2PF2p,使 |PF2PF22a,PF2I 4a 2、4a2而 IPF2I c a 即 2a4a 8a ,欲使最小值为 8a ,c a所以1 e 3.因为'1,所以匚1y yIX-l-C x3 . 2 2+y =c将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得但由椭圆范围及耳=90。即0 <. < 出a2-h7uuv ULULV2,解析 设 M (x,y),F|M F2M 0执而得上2也才>=-<1a 2q所央日专x

17、2y2c2将y2b2x2代入得 x2aa2a2b2Q 0 x2a2求得宁实用文档a，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线 b2 2X V点评：21(a b 0)中 xa b范围问题中经常使用，应给予重视.3组1,解析欲使过点F且倾斜角为60的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ac24 a2即e 2故选C.2，解：如图1，若 -J，则L与双曲线只有点均在V - > 2 >2a>5tJ3aa-个交点；若a，则L与双曲线的两交右支上,-»、3，即 b , '3a 即 c2 a2 3a2 20.ARB是锐角即可，即/ AF2Fi<45°o3,解：如图2,因为 ABF是等腰三角形，所以只要/2么吩 <0»?2