一元函数积分学定积分概念性质

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学a a3.2.1 3.2.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 变速直线运动的路程变速直线运动的路程3.2.2 3.2.2 定积分的概念定积分的概念3.2.3 3.2.3 定积分的简单性质定积分的简单性质 中值定理中值定理3.2 3.2 定积分定积分定积分的概念与性质定积分的概念与性质3.2.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程 3.2.2 定积分的概念定积分的概念3.2.3 定积分的简单性质定积分的简单性质中值定理中值定理定积分的概念习例定积分的概念习例1-3 定积分的

2、性质习例定积分的性质习例4-8 定积分的几何意义定积分的几何意义 本节内容小结本节内容小结 abxyo? a曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 思考方法思考方法: 利用利用“矩形面积矩形面积=底底 高高”. 一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面

3、积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系播放播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形

4、面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演

5、示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关

6、系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，, ,)1(1210bxxxxxabann 内插入若干个分点，内插入若干个分点，在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小

7、区间iiixx ,)2(1 iiiaxf )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx iniiniixfaa )(11 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfa )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max ,)3(21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为全过程为：分割、近似求和、取极限全过程为：分割、近似求和、取极限.实例实例2 2 （求变速直线运动的路程（求变速直线运动的路程）., 0)(,)(,21的路程的路程体在这段时间内所经过体在这段时间内所经过求物求物且

8、且的一个连续函数的一个连续函数上上间隔间隔是时间是时间已知速度已知速度设某物体作直线运动设某物体作直线运动 tvttttvv思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取极限）取极限,ma

9、x21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值注意注意: 上述两例的共同点上述两例的共同点(1) 所求量与一个函数及区间有关所求量与一个函数及区间有关. ,)(baxfa与与面积面积 ,)(21tttvs与与路程路程 (2) 变与不变的矛盾变与不变的矛盾. (3) 处理方法一样处理方法一样: 分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限. (4) 结果一样结果一样: 都是同一形式的和式的极限都是同一形式的和式的极限. 设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界， ( (3 3) )记记,max21nxxx ， 如如果果不不论论对对,ba(1)(1)在在,ba中任意插入

10、中任意插入 若若干干个个分分点点 bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，(2)在各小区间上任取在各小区间上任取 一一点点i （iix ）， 作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i 并作和并作和iinixfs )(1 ，1.定义定义二、二、 定积分的概念、定积分的几何意义定积分的概念、定积分的几何意义怎怎样样的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区

11、间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法， 只只要要当当0 时时，和和s总趋于总趋于确定的极限确定的极限i，我我们们称称这这个个极极限限i为为函函数数)(xf 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：(1) 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.如果存在如果存在, 它就是一个它就是一个确定的数值确定的数值! ( (2 2) ) 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时

12、时， 称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. ,)()(,: )3( abbadxxfdxxfba时时当当规定规定. 0)()(, aabadxxfdxxfba时时当当;,0)4( n时时当当 . 0 时不一定有时不一定有但但n,)( )5( badxxfa曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)( 21 ttdttvs路程路程(6) 定义中区间的分法和定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的. .)(,在区间上不可积在区间上不可积则则存在存在积分和的极限不同或不积分和的极限不同或不的不同的取法所得到的的不同的取法所得到的与与若对区间的不同的分法若对区间的不同的分法xfi 如如diri

13、chlet函数的讨论函数的讨论.若定积分存在若定积分存在, 则可用特殊的区间分法和点的取法则可用特殊的区间分法和点的取法来计算定积分来计算定积分.(7)定积分的存在性有以下两个定理定积分的存在性有以下两个定理(不加证明不加证明)定理定理1 .,)(,)(上有界上有界在在则则上可积上可积在在若若baxfbaxf定理定理2 :,)(,)(上可积上可积在在则则上满足下列条件之一上满足下列条件之一在在若若baxfbaxf.,)()3(;,)()2(;,)()1(上上单单调调在在断断点点上上只只有有有有限限个个第第一一类类间间在在上上连连续续在在baxfbaxfbaxf(8)定积分是一个构造性的定义定积

14、分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单可利用定义求一些简单函数的定积分函数的定积分;同时可利用定义求同时可利用定义求n项和的极限项和的极限. ninbanabnabiafdxxf1)(lim)( ninnnifdxxf1101)(lim)(, 0)( xf baniiiaxfdxxf10)(lim)( 曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baniiiniiiaxfxfdxxf1010)(lim)(lim)( 曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值a2a3a4a4321)(aaaadxxfba 1ab2.定积分的几何意义定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的

15、面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 .dxebax 利利用用定定义义计计算算定定积积分分例例2 求求已知已知,641102 dxx).41241141(lim222222nnnnn 例例3 .0, 2, 1, 1 所围成的图形的面积所围成的图形的面积利用定积分的定义计算利用定积分的定义计算 yxxxy3.定积分的概念习例定积分的概念习例.dxebax 利利用用定定义义计计算算定定积积分分解解);, 2 , 1( ,)( ,)

16、1(ninabiaxnabxnbaii 分点为分点为各小区间长度为各小区间长度为等分等分分成分成将将则则即即为区间的右端点为区间的右端点取取,)(,)2(nabiaxiii iniiniixexfi 11)( nabeninabia 1)( ninabiaeenab1)(nababnabaeeeenab 1)1(例例 1 1)1(lim)(lim10 nababnabanniiieeeenabxf nabeenababan )1(limabee .abbaxeedxe 求求已知已知,641102 dxx).41241141(lim222222nnnnn 例例2 解解 ninninnnnn122

17、22222241lim)41241141(limnninin1)(41lim12 dxx 10241.6 .0, 2, 1, 1 所围成的图形的面积所围成的图形的面积利用定积分的定义计算利用定积分的定义计算 yxxxy例例3 解解xyo12dxxs 21)1(依题意依题意nninin11)1(lim1 .25 证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限

18、多个函数作和的情况)性质性质1 1三、三、定积分的简单性质定积分的简单性质中值定理中值定理(定积分对积分区间具有可加性定积分对积分区间具有可加性) babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbca

19、dxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证 , 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx badxxf)(性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，. 0)(lim10 iinixf 性质性质5 5的推论的推论1 1：证证 ),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)

20、()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证 , )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论的推论2 2：（2）设设m及及m分分别别是是函函数数证证 ,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()

21、()(abmdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abmdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证 mdxxfabmba )(1)()()(abmdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。例例 6