双曲线和抛物线的区别究竟在哪？

1、. 双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）； （ 图1） （图2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且

2、大于等于时，交线为双曲线（如图2）。在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。为研究问题的方便，我们特作如下的约定：图3 设圆锥的轴截面顶角，平面与圆锥轴线所成的角。设平面过母线上的点，又，不妨设平面平面在平面上的射影为，为平面截圆锥面所得图形上任一动点。以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系(如图3)，则，因而再设则，两边平方整理可得：1、 当时，式变为即 ，得到一个圆。2、 当时，式变为显然是两条直线。3、当时

3、，式变为显然是一条抛物线。4、当且时，式可变为，此时若因为，则式显然表示椭圆；若因为，则式显然表示双曲线。很显然，当时，所得截面周界是抛物线；当时，所得截面周界是双曲线。椭圆、双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。2.从圆锥曲线第二定义比较通过上面的研究我们发现，圆锥曲线是用平面

4、截圆锥面得到平面曲线，因此它们之间存在着千丝万缕的联系，但又有着本质的区别。圆锥曲线是平面内动点到定点与到定直线距离的比为常数的点的轨迹（定点不在定直线上）。这个常数叫圆锥曲线的离心率，定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫圆锥曲线的准线。当时，其轨迹是双曲线，此时它有两个焦点、两条准线、两条渐近线；当时，其轨迹是椭圆，此时它也有两个焦点、两条准线；当时，其轨迹是抛物线，此时它只有一个焦点和一条准线，没有渐近线。实际上离心率的几何意义就是曲线上的动点到焦点和准线距离之比。离心率是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程

5、中，具有不可低估的特殊功能。双曲线的离心率是用来刻画双曲线“张口”的大小的量。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，但始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过这两条直线（通常称渐近线）。而抛物线只向外无限延伸，不受任何条件的约束，它是没有渐近线的。因此从离心率的大小、焦点个数、准线条数来看，双曲线和抛物线是属于两类不同性质的问题。3.从有无渐近线比较要从有无渐近线比较，就必须首先了解什么是渐近线。从仿射几何的角度，二次曲线的渐近线就是二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称此直线为二次曲线的渐近线。从中学教材中渐近线可以理解为：当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，若这一点到一条直

6、线的距离无线趋近于零，则这条直线就称为这条曲线的渐近线。换一句话说，渐近线就是一条曲线和一条直线无线靠近，但永远不相交。因而双曲线有两条渐近线，抛物线没有渐近线。下面我们来证明上面的问题。（1）设是双曲线在第一象限内的点，则，因为，所以，即因而，双曲线在第一象限内的点都在直线的下方。再设是第一象限内两个具有相同横坐标的点，且点在双曲线上，点在直线上，则根据得，这样当随着的增大而增大时，随着的增大而减小，从而两点间的距离随着的增大而减小，且当无限增大时，无限趋近于0，即双曲线在第一象限内与直线越来越近。再根据对称性可知，当双曲线的两支在向外无限延伸时，双曲线与两条直线无线逼近，但永远不会与这两条

7、直线相交。因而双曲线有两条渐近线。（2）假设抛物线存在渐近线为，设是第一象限内两个具有相同横坐标的点，且点在抛物线上，点在直线上，则设表示点到直线的距离，则由假设可知是抛物线的渐近线，即当逐渐增大时，无限接近于零。图4而令有时，是单调增的。即当逐渐增大时，也逐渐增大，逐渐增大时，无限接近于如图4，设直线的倾斜角为，则当所以当逐渐增大时，点到直线的距离也逐渐增大。这与假设矛盾，所以抛物线不存在渐近线。因而，双曲线有两条渐近线，抛物线没有渐近线。4.两者有着不同应用从物理性质比较，两者具有不同的物理性质。将一个点光源放在其焦点上，经过曲线反射后，汇聚一点，则曲线是椭圆（如图5）；若经过曲线反射后，光线分散，其反向延长线汇聚一点，则曲线是双曲线（如图6）若经过曲线反射后，光线为平行光线，则曲线是抛物线（如图7）。圆锥曲线这些性质在现代的航天、航空、航海及现代化的通信领域中都有着广泛地应用。·图7F2··F1图6··AF1F2DO图5B通过从以上几个方面对抛物线和双曲线的比较分析，使学生对两者有了一个清醒的认识，并从本质上加强了对圆锥曲线的再