《电动力学第三版》chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量

1、?电动力学第三版?chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量2. 哈密顿形式哈密顿形式* *6.7 6.7 电磁场中带电粒子的拉格朗日电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量量和哈密顿量分析力学形式具有普遍的意义分析力学形式具有普遍的意义. . 一般广义坐标下研究力学系统的运动一般广义坐标下研究力学系统的运动. . 微观带电粒子的运动问题具有重要地位微观带电粒子的运动问题具有重要地位. 量子力学中用哈密顿量和拉格朗日量描述粒子量子力学中用哈密顿量和拉格朗日量描述粒子. 这里从经典电动力学引入带电粒子在电磁场中的这里从经典电动力学引入带电粒子在电磁场中的拉格朗日量和哈密顿量拉格朗日

2、量和哈密顿量. 在经典力学中在经典力学中, , 满足一定条件的动力学系统满足一定条件的动力学系统的运动方程可以表为拉格朗日方程的运动方程可以表为拉格朗日方程 1. 拉格朗日形式拉格朗日形式0ddiiqLqLt其中其中qi为广义坐标为广义坐标, , 为广义速度为广义速度, , 拉格朗日量拉格朗日量L是是广义坐标和广义速度的函数广义坐标和广义速度的函数iq ),(iiqqLL例如保守力场中运动的质点：例如保守力场中运动的质点：L=TVT：动能动能, , V：势能势能. . 对非保守系统对非保守系统, , 只要找出函只要找出函数数 , , 就可以用分析力学来研究该系统的运动就可以用分析力学来研究该系

3、统的运动. . ),(iiqqL电磁场中带电粒子的运动方程电磁场中带电粒子的运动方程)(ddBvEqtp此式在相对论情形仍然成立此式在相对论情形仍然成立, 其中粒子的动量是其中粒子的动量是2210cvvmp探讨找到一个拉格朗日量探讨找到一个拉格朗日量L使运动方程化为拉氏方程使运动方程化为拉氏方程. . )(vtv把电磁场用标量势和矢量势表示把电磁场用标量势和矢量势表示, 那么那么在拉氏形式中在拉氏形式中, 坐标坐标 和速度和速度 是独立变量是独立变量, 算符不作用在算符不作用在 的函数上的函数上, 因此因此 xvvvv)()()(ddvtvqtp因此有增量矢势由此引起内有位移在时间由于粒子运动

4、 .d,dd,AxAxtxvvttdd)()(ddvqqpt注意到动量和矢势可以分别写为注意到动量和矢势可以分别写为,12220cviicmvpvvAii)(ddvtvqtp运动方程可以写为拉氏形式运动方程可以写为拉氏形式0ddiixLvLt其中拉格朗日量其中拉格朗日量L为为)(12220vqcmLcv考察考察L的变换性质的变换性质. 把上式乘以把上式乘以 =(1v2/c2)1/2得得UqAcmL20四维速四维速度矢量度矢量洛伦兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量在分析力学中在分析力学中, , 拉氏量对时间的积分是作用量拉氏量对时间的积分是作用量LdLdtS固有时固有时洛伦兹不变量洛伦

5、兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量自由粒子情形自由粒子情形. 粒子的状态由速度确定粒子的状态由速度确定, 协变量是四维协变量是四维速度速度U, 构成一个不变量构成一个不变量UU=c2. 因此因此, L是一个洛是一个洛伦兹不变常量伦兹不变常量a, 得得221cvaL当当vc时时, 上式应趋于非相对论的动能上式应趋于非相对论的动能, 由此得由此得a= m0c2, 因而自由粒子的拉格朗日函数为因而自由粒子的拉格朗日函数为22120cvcmLS的不变性确定带电粒子拉格朗日函数的不变性确定带电粒子拉格朗日函数. 作用量的洛伦兹不变性在现代物理学中有重要意义作用量的洛伦兹不变性在现代物理学中有重要意义, ,

6、 这种不变性常常是找出一个物理系统的拉格朗日函这种不变性常常是找出一个物理系统的拉格朗日函数的重要依据数的重要依据. . 静电场中静电场中, 当粒子速度当粒子速度vc时时, 这项应等于粒子这项应等于粒子在静电场中的负位能在静电场中的负位能q, 由此定出由此定出b=q. 根据协变根据协变性性, 确定带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日量为确定带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日量为)(12220vqcmLcv 当粒子在电磁场内运动当粒子在电磁场内运动时时, 除了除了U之外之外, L还依还依赖于四维势赖于四维势A或电磁场张量或电磁场张量F. 由粒子的四维速度由粒子的四维速度U与电磁场的四维势与电磁场的四维

7、势A可构成一个不变量可构成一个不变量UA , 因因而而L可以含有一项可以含有一项bUA, b为一待定常数为一待定常数. 对于用拉氏量对于用拉氏量L描述的动力学系统描述的动力学系统, 广义动量广义动量Pi定义定义为为iiqLPPi也称为与广义坐标qi共轭的正那么动量. 系统的哈密顿量为 LqPHiiiH是广义坐标是广义坐标qi和广义动量和广义动量Pi的函数的函数),(iiPqHH 2. 哈密顿形式哈密顿形式用哈密顿量可以把运动方程表为正那么形式用哈密顿量可以把运动方程表为正那么形式 iiiiqHPPHq,电磁场中的带电粒子运动情形电磁场中的带电粒子运动情形icviiiqAvmvLP2210正那么

8、动量正那么动量 即即AqpP正 那 么 动正 那 么 动量量机械动量机械动量附加动量附加动量但但H应该用正那么动量而不是用速度表出应该用正那么动量而不是用速度表出qcmcqP42022)(右边第一项为哪一项粒子的运动能量右边第一项为哪一项粒子的运动能量W(包括静止能包括静止能量量), 因而因而H对应于对应于P+qA的第四分量的第四分量. 引入四维正那引入四维正那么动量么动量qApP带电粒子的哈密顿量为带电粒子的哈密顿量为 qcmLvPHcv22120那么哈密顿量与那么哈密顿量与P的第四分量的第四分量 相联系相联系)i,(HcPP不难验证哈密顿方程相当于原运动方程不难验证哈密顿方程相当于原运动方程.当当vc时时, 以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下