初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)(共17页)

1、分式竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当为何值时，分式有意义?(2)当为何值时，分式的值为零?解题策略(1) 要使分式有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母和，它们都不为零，即且，于是当且时，分式有意义，(2) 要使分式的值为零，应有且，即且，于是当时，分式的值为零画龙点睛1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零.2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1. (1)要使分式有意义的的取值范围是( ) (A) (B) ( C)

2、 (D)(2)若分式的的值为零，则的值为( )(A) (B)或 (C) (D)2. (1)当 时，分式的值为零;(2) 当 时，分式3. 已知当时，分式无意义;当时，分式的值为零，求.融会贯通4. 若，求值的范围.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题若，求的值解题策略因为，所以将等式的左边分子、分母同时除以，得，所以有因此画龙点睛对于含有形式的分式，要注意以下的恒等变形:举一反三1. (1)不改

3、变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数: 2. 已知，求的值.3. 已知，求的值.融会贯通4. 已知，求的值.3 分式的四则运算 分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题 计算：解题策略原式画龙点睛 在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1. 先化简，再求值：，其中.2. 计算： 3. (1)已知实数满足，求的值

4、 (2)已知、为实数，且，设，试比较、 的大小关系.融会贯通4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧裂项法我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:，经典例题 已知，求、的值解题策略 由，可得，解得画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出、的值即可.举一反三1. 若在关于的恒等式中，为最简分式，且有，求，.2.

5、化简：3. 计算：融会贯通4. 已知，当时永远成立，求以、为三边长的四边形的第四边的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法 有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题 已知，且，求的值解题策略由得从而设，则，三式相加得，即，所以，或若，则，符合条件；若，则与题设矛盾，所以不成立因此画龙点睛1. 将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2. 在得到等式后.不要直接将等式的两边除以，因为此式可能等于0.3. 在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件

6、矛盾.举一反三1. (1)已知，求值；(2)已知，求的值2. 若，求的值3. 已知实数、满足，并且，则直线一定通过( )(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限 (C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限融会贯通4. 已知，且，求的值6 整数指数幂一般地，当是正整数时，这就是说是的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题 已知，求的值解题策略画龙点睛 将所求的代数式转化为以、为底的乘方，进而代入相应的值进行计算.举一反三1. 计算(1)(2)(3)2. 水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是kg，8 g水中大约有多少个水分子?通过

7、进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为kg，求一个氢原子的质量.3. 已知，求(1)；(2)；(3)融会贯通4. 如图，点、在数轴上表示的数分别是0、0. 1.将线段(分成100等份，其分点由左向右依次为、，;再将线分成100等份，其分点由左向右依次为、，;继续将线段分成100等份，其分点由左向右依次为、，.则点所表示的数用科学记数法表示为 7 分式方程的解法 分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题 解方程解题策略解法一 去分母，得所以验根知为原方程的解.解法二 方程两边加1，得即所以

8、解得验根知为原方程的解.解法三 原式可化为所以以下同解法二画龙点睛1. 通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2. 除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3. 解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1. (1)解方程 (2)解方程 2. (1)解方程 (2)解方程3. 若解方程是会有增根，求它的增根融会贯通4. 已知方程 (是常数，)的解是或，求方程 (是常数，且)的解.8 列分式方程解应用题和整式中的一元一次

9、方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.经典例题某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略设该市去年居民用水价格为元/m3，则今年用水价格为元/m3.根据题意得:，解得：经检验：是原方程的解.所以所以该市今年居民用水的价格为2. 25元/m3.画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式

10、方程并验根;写出答案.举一反三1. 某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2. 便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完.又用17 600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3. 从甲地到乙地共50 km，其中开始的10 km是平路，中间的20 km是上坡路，余下的20 km又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙

11、两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完成. (1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天? (2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.参考答案1 分式的概念1. (1)B (2) C2. (1) (2) 或3. 64.

12、2分式的基本性质1. (1)(2)2. 由已知，得，所以原式3.4. 将分子和分母同时除以，得3 分式的四则运算1.当时，原式2.3. (1) 由知所以原式(2) 所以4. 设两次购买肥料的单价分别为元/千克和元/千克(、为正数，且)，则甲两次购买肥料的平均单价为： (元/千克).乙两次购买肥料的平均单价为： (元/千克).因为，又，所以所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些4 分式的运算技巧裂项法1.且，所以，从而可得，2. 原式3. 原式4. 因为所以所以，解得，所以四边形的第四边的取值范围应满足，解得5 含有几个相等分式问题的解法1. (1)设，则(2)设则解得2. 设则所

13、以，得当时，原式当时，原式3.于是因为所以直线的图象经过第一、三、四象限故选择D4. 设，故所以又 所以6 整数指数幂1. (1)(2)(3)2. 个 kg3. (1)因为，且 所以所以(2) (3)4. 表示的数为 表示的数为 表示的数为7 分式方程的解法1. (1)原方程分母因式分解为去分母得解得检验知为原方程的根(2) 原方程式变形为整理得解得检验知为原方程的根2. (1) 原方程分母因式分解为去分母得解得检验知为原方程的根(2)原方程化为解得检验把代入最简公分母，所以是原方程的根3. 去分母，得如果增根为，则，如果增根为，则，无解，所以4. 将方程整理得所以，或故或8 列分式方程解应用题1. 设服装厂原来每天加工套演出服.根据题意，得解得经检验是原方程的根.2. 设原进价为元一件，则第二次进价为元一件，依题意得解得经检验是原方程的根服装店这笔生意第一次购进件，第二次购进件，服装店这笔生意共盈利(元