中考数学二次函数综合练习题及详细答案

1、每件多少元时，厂家每月获得的利润当销售单价X定为每件80元时，厂家每月获得的利2先根据利润销售数量（销售单价-成本），由试销期间销售单价不低于成本单价,中考数学二次函数综合练习题及详细答案一、二次函数1.某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量 y（万件）与销售单价x（元）之间符合一次函数关系，其图象如图所示.1求y与x的函数关系式;2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价 x定为w最大？最大利润是多少?润W最大，最大利润是 4800元.【解析】【分析】1根据函数图象经过点40,200和点60,160 ,利用待定系数法即可求出y

2、与x的函数关系式;也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值.【详解】解：1设y与x的函数关系式为 y kx b k 0 ,Q函数图象经过点 40,200和点60,160 ,40k b 200k 260k b 160,解得：b 280,y与x的函数关系式为y 2x 280._ _2 _，22 由题意得：w x 40 2x 280 2x 360x 112002（x 90）5000.Q试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，自变量x的取值范围是40 x 80.Q 2 0,当x 90时，w随x的增大而增大

3、，x 80时，w有最大值，当 x 80 时，w 4800,答：当销售单价x定为每件80元时，厂家每月获得的利润W最大，最大利润是 4800元.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法.2.如图，直线 AB和抛物线的交点是A (0, - 3) , B (5, 9),已知抛物线的顶点横坐标是2.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)在x轴上是否存在一点 C,与A, B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；(3)在直线AB的下方抛物线上找一点 P,连接PA PB使得4PAB的面积最大，并求出这 个最大值

4、.【答案】(1) y12x248x 3 ,顶点 D (2,63) ；( 2)C (4VT0,0)或555(5 2722 , 0)或(97 , 0) ； ( 3) 75102【解析】【分析】(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x-b 2,抛物线过A (0, - 3),则：函数2a的表达式为：y=ax2+bx- 3,把B点坐标代入函数表达式，即可求解；(2)分AB=AC、AB=BG AC=BC,三种情况求解即可；1一 .(3)由 SPAB ?PH?xb,即可求解.【详解】2，抛物线过A （0, - 3）,则：函（1）抛物线的顶点 D的横坐标是2,则x2a数的表达式为：y=ax2+bx- 3,把B点

5、坐标代入上式得:得：a 12, b 48, c=-3, 抛物线的解析式为:9=25a+5b - 3，联立、解y 12x2 丝x-3.55当x=2时，y63 ,即顶点D的坐标为（2,63 ）55(2) A (0, 3),B (5, 9),则 AB=13,设点 C坐标(m, 0),分三种情况讨论:55当AB=AC时，则：（m） 2+（3） 2=132,解得：m=±S0 ,即点C坐标为: （4 30 , 0）或（-4 而 0）；当AB=BC时，则：（5-m） 2+92=132,解得：m=5 2/22，即：点C坐标为 （5 2及2，。）或（5-2 及2，0）;则点C坐标为97 当 AC=BC

6、时，则：5 m) 2+92= ( m) 2+(-3) 2,解得：m=一，10（柒 °）。综上所述：存在，点 C的坐标为：（±4/10 , 0）或（5 222，0）（3）过点P作y轴的平行线交 AB于点H.设直线AB的表达式为y=kx-3,把点B坐标代12_ ,x- 3,设点P坐标为(m ,5一.一12入上式,9=5k - 3,则k 一，故函数的表达式为:5m2 m - 3),则点 H 坐标为(m, m - 3) , S>apab ?PH?xb 5552212 c-5 2 755 一 _( 一m2+12m) = 6m2+30m= 6(m )，当 m=一时，8pab取得最

7、大值为:5222752答：4PAB的面积最大值为75I【点睛】本题是二次函数综合题.主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能 力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表 示线段的长度，从而求出线段之间的关系.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3 (awp与x轴交于点A ( - 2, 0)、B (4, 0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段 AB上以每秒3个单位长度的速度向 B点运动，同时点 Q从B点出发，在线段 BC上以每秒1个单位长度的速度向 C点运动，其中一个点到达终点时，另一个

8、点也停止运动，当 4PBQ存在时，求运动多少秒使 4PBQ的面积最大，最大面积是 多少？(3)当4PBQ的面积最大时，在 BC下方的抛物线上存在点 K,使 热cbk： Sa pbc=5： 2,求 K点坐标.【答案】(1) y=3 x2 - 3x- 3 84一 一9(2)运动1秒使PBC的面积取大，取大面积是 一1027、15、(3) K1(1 ?, K2( 3,-)88a、b的解析试题分析：(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 式，通过解方程组求得它们的值；9(2)设运动时间为t秒.利用二角形的面积公式列出Szxpbq与t的函数关系式 Sapbq=-10. 9 (t-1)

9、2+ .利用二次函数的图象性质进行解答；10(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x- 3,由二次函数图象上点的坐标特征4可设点K的坐标为(m , 3 m2 - m - 3).84如图2,过点K作KE/ y轴，交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得Sa cbk=.则根据图形得到：Sa cbk=Sa cek+Sx bek=： EK?m ?EK? (4-m),把相关线段的长度代入推知：-3 m2+3m=-.易求得Ki(1, -27) ,K2(3,-竺).4488解：(1)把点 A ( 2, 0)、 B (4, 0)分别代入 y=ax2+bx3 (awQ ,得4a 2b 3 038

10、3416a 4b 3 0 a 解得 b所以该抛物线的解析式为：y=3x2- -x- 3；84(2)设运动时间为t秒，则AP=3t, BQ=t. .PB=6- 3t.由题意得，点C的坐标为(0, - 3).在 RtBOC中，BC=J32 42 =5.如图1,过点Q作QH± AB于点H. .QH / CO,.BHQsBOC,HB BGOC BCHb即3 .HQ=3t.5Sa pbq= - PB?HQ=- (6-3t)5105102+-.10当APBQ存在时，0V tv2当 t=1 时,9S PBQ 最大=10答：运动1秒使4PBQ的面积最大，最大面积是9；10(3)把B设直线BC的解析式

11、为y=kx+c （kw。.(4,0) , C (0,-3）代入，得4k解得，直线BC的解析式为y=3x-43.丁点K在抛物线上.，设点K的坐标为（m , 3 m28BC于点E,则点E的坐标为（m, - m43)EK=- m - 3- ( -m2483)当4PBQ的面积最大时,''' S»ACBK：9Spbq=5: 2, Sapbq=109 Sa cbk=.411Sacbk=Sacek+Sxbek= EK?m+?EK? (4 - m)221=X 4?EK2=2(- m2+ m)82="-m2+3m.4即：- ° m2+3m=.4解得m1=1,

12、 Ki (1,4m2=3,27,15T)，K2(3, - T)88点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式 和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范 围.4.已知，抛物线 y=x2+2mx(m为常数且 mO).(1)判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由.(2)若点A (-n+5, 0) , B(n-1, 0)在该抛物线上，点 M为抛物线的顶点，求 4ABM的面 积.(3)若点(2, p), ( 3, g) , ( 4, r)均在该抛物线上，且 p<g<r,求m的取值范围.【答案】(1)抛物线与x轴有2个交

13、点，理由见解析；(2) AABM的面积为8； ( 3) m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】(1)首先算出根的判别式 b2-4ac的值，根据偶数次哥的非负性，判断该值一定大于0,从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；(2)根据抛物线的对称性及 A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；(3)方法一(图象法)：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直

14、线x=2的左边时，显然符合题目条件(如图2),从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-(-m)>-m-2即可(如图3),再列出不等式得出 m的取值范围，综上所述，求出 m的取值 范围；方法二(代数法)：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含 m的式子表示 出p,g,r,再代入p<g<r即可列出关于 m的不等式组，求解即可。【详解】(1)解：抛物线与 X轴有2个交点。理由如下：mwo,b2-4ac = (2m) 2-4X1X0=2>m.，抛物线与x轴有2个交点(2)解：点 A (-n+5, 0) , B(n-1, 0)在抛物线上，抛

15、物线的对称轴 x=n5n-1 222m-=2,即 m=-2 .2 1，抛物线的表达式为 y=x2-4x. 点 A (0, 0),点 B (4, 0)或点 A (4, 0),点 B (0, 0),点 M (2, -4).ABM 的面积为 1* 4X4=82(3)解：方法一(图象法)： 抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m,开口向上。 当对称轴在直线 x=3的右边时，显然不符合题目条件(如图 1)图1)当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件(如图2)此时，-m<2,即 m>-2.当对称轴在直线 x=2和x=3之间时，满足 3- (-m)>-m-2即可(如图3)综上所述

16、，m的取值范围m>-2.5方法二(代数法)：由已知得，p=4+4m, g=9+6m, r=16+8m .p<q<r, . . 4+4m<9+6m<16+8m,解得 m >-2.5.【点睛】二次函数的综合应用题。与X轴交点的情况当=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。A=b24ac<0时，抛物线与x轴没有交点。熟练运用顶点坐标(-b, 4ac > )2a 4a5.如图，抛物线y=ax2+bx-1(aw核x轴于A, B(1, 0)两点，交y轴于点C, 一次函数y = x+3的图象交坐

17、标轴于 A, D两点，E为直线AD上一点，作EFLx轴，交抛物线于点 F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段 EF是否有最大值？若有,求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G,使得G, E, D, C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y= -x2+2x- 1;(2)49, 3312(-2 , 2); (3)点G的坐标为(2,1), (2百，一2 五1), (2&，2 72-1)，L4, 3).(1)利用待定系数法确定函数关系式;(2)由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为(

18、m, m+3)，点F的坐标为(m,1m2+2m-1),由此得到 EF= - 1 m2+1 m+4,根据二次函数最值的求法解答即可；3333(3)分三种情形 如图1中，当EG为菱形对角线时. 如图2、3中，当EC为菱形的 对角线时，如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可.【详解】解：(1)将 y = 0 代入 y = x+3,得 x = 3.，点A的坐标为(-3, 0).设抛物线的解析式为 y= a(x-xi)(x- X2),点A的坐标为(-3, 0),点B的坐标为(1, 0), y = a(x+3)(x - 1).点C的坐标为(0, T),13a= - 1,得 a=一,3，抛物线的解析

19、式为 y= 1 x2+- x- 1；33(2)设点E的坐标为(m, m+3),线段EF的长度为y,则点F的坐标为(m, 1m 2+2m-1)33，y=(m+3) ( m2+ m 1)=- m 2+ _ m+43333即 y=-1(m- L 2+49,3212此时点E的坐标为(1, )22点 G 的坐标为(2, 1), ( 2 J2 , -272-1)，(2J2 , 2J2 - 1), (-4, 3).理由：如图1,当四边形 CGDE为菱形时. EG垂直平分CD 点E的纵坐标y= 1,2将 y= 1 带入 y= x+3,得 x= - 2.EG关于y轴对称， 点G的坐标为(2, 1);如图2,当四

20、边形 CDEG为菱形时，以点 D为圆心，DC的长为半径作圆，交 AD于点E,可得 DC= DE,构造菱形 CDEG设点E的坐标为(n, n+3),点D的坐标为(0, 3) DE= , n? (n 3 3)2 = . 2n2-，DE=DC= 4,J2n2 =4,解得 ni= 2 22 n n2=2 叵-点 E 的坐标为（-2 J2 , - 2"+3）或（2J2, 2 衣+3）将点E向下平移4个单位长度可得点 G,点 G 的坐标为（-2J2 , - 2 J2 - 1）（如图 2）或（2 J2 , 2J2 - 1）（如图 3） 如图4,四边形CDGE为菱形时，以点 C为圆心，以CD的长为半

21、径作圆，交直线 AD 于点E,设点E的坐标为（k, k+3）,点C的坐标为（0, - 1）. - EC= J（k 0）2 （k 3 1）2 = &k2 8k 16 .EC= CD= 4, -2k2+8k+16=16,解得 k1 =0（舍去），k2= - 4. 点E的坐标为（-4, - 1）将点E上移1个单位长度得点 G.，点G的坐标为（-4, 3）.综上所述，点 G 的坐标为（2,1）, （-2>/2，- 2 四-1）, （272 , 2 J2 - 1）, （-4, 3）.【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学

22、会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.6.对于某一函数给出如下定义：若存在实数m,当其自变量的值为 m时，其函数值等于-m ,则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零.例如，图中的函数有 4, - 1两个反向值，其反向距离 n等于5.一 一一 一一1C (1)分别判断函数y=-x+i, y=y=x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距x离；(2)对于函数y=x2-b2x, 若其反向距离为零，求 b的值；若-1巾求其反向距离n的取值范围；x2 3x( x m)(3)若函数y

23、=2()请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出x 3x(x m)相应m的取值范围.【答案】(1) y=-1有反向值，反向距离为 2; y=x2有反向值，反向距离是 1; (2)x b= ± 上 0Wnw§ (3)当 m>2 或 mW 2 时，n= 2,当一2V m W2时，n= 4.【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)根据题意可以求得相应的 b的值；根据题意和b的取值范围可以求得相应的 n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题.【详解】(1)由题意可得，当-m

24、= - m+1时，该方程无解，故函数 y= - x+1没有反向值,1；当-m= 工时，m= ±1，n= 1 - ( - 1)= 2,故y= 有反向值，反向距离为 2, mx当-m = m2,得 m= 0或m= - 1,，n=0- (-1)=1,故y=x2有反向值，反向距离是(2)令m=m2 b2m,解得，m=0或m=b2-1,反向距离为零，. | b2- 1 - 0| = 0 ,解得，b=±l；令m = m2 b2m ,解得，m =0或m = b2- 1,.n = | b2 - 1 - 0| = | b2 - 1| ,- 1 0 诉 wg 2x 3x( x m)y=2,x

25、3x(x m)当x利时，- m = m2 - 3m, 得 m = 0 或 m = 2,n = 2 - 0= 2,- . m >2 或 mW- 2;当x v m时，- m = - m2- 3m,解得，m=0或m=-4,，n=0 ( 4)=4,-2V mwz由上可得，当m>2或mW 2时，n=2,当一2v mW2时，n = 4.【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要 的条件，利用新定义解答相关问题.7.已知，抛物线 y= - x2+bx+c经过点A (T, 0)和 C (0, 3).(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点 坐标，如果不存在，

26、请说明理由；(3)设点M在抛物线的对称轴上，当【答案】(1) yx2 2x 3； (2)当PA PC的值最小时，点 P的坐标为1,2(1)求抛物线的解析式;P,使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的 MAC是直角三角形时，求点 M的坐标.,， 一 8 ,2(3)点M的坐标为1,1、 1,2、1,-或1，&1由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;2连接BC交抛物线对称轴于点 P,此时PA PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐

27、标特征即可求出点P的坐标；3设点M的坐标为1,m，则CM J(1 0)2 (m 3)2，AMC 90°、AC012(3 0)2 屈,AMJi12(m0)2,分ACM 90o和 CAM 90o三种情况，利用勾股定理可得出关于M的坐标.的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点【详解】解：1 将 A 1,0、C 0,3 代入 y x2 bx c 中，1 b c 0b 2得：c 3 ,解得：c 3 ,抛物线的解析式为 yx2 2x 3.1所示.2连接BC交抛物线对称轴于点 P,此时PA PC取最小值，如图当 y 0时，有 x2 2x 3 0,解得：x11 , x2 3,

28、点B的坐标为3,0 .Q抛物线的解析式为y x2 2x 3 (x 1)2 4, 抛物线的对称轴为直线 x 1 .设直线BC的解析式为y kx d k 0 ,将 B 3,0、C 0,3 代入 y kx d 中,3k d 0k 1得：d 3,解得：d 3,直线BC的解析式为y x 3.Q当 x 1 时，y x 3 2,当PA PC的值最小时，点P的坐标为1,23设点M的坐标为1,m ,则 CM：(1 0)2 (m 3)2， AC 0AM 41 2 (m 0)2 .分三种情况考虑： 当 AMC 90o时，有 AC 2 AM 2解得：mi 1 , m22 ,点M的坐标为1,1或1,2 ；当 ACM 9

29、0o 时，有 AM 2 AC2解得：m , 38点M的坐标为1-;3当 CAM 90o时，有CM 2 AM-2斛得：m ,1 2 (3 0)2.而，CM 2,即 101(m3)24m2 ,CM 2 ,即 4m2101(m3)2 ,AC2,即 1(m3)24m210,综上所述：当VMAC是直角三角形时，点【点睛】本题考查待定系数法求二次 （一次）函数轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解也82M的坐标为1,1、 1,2、 1，g或1，,式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、关键是：1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；3分 AMC

30、90°、ACM 90o和 CAM 90o三种情况，列出关于 m的方程.8.温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格 y （单位：万元/吨）与销售数量x （2双w 10单位：吨）之间的函数关系如图所示.(1)若杨梅的销售量为 6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？(2)当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润(w)最大？最大毛利润为多少万元？(毛利润=销售总收入-进价总成本-包装总费用)(3)经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨.深加工费用y (单位：万

31、元)与加工数量 x (单位：吨)之间的函数关系是y= - x+32(2<x< 10 .当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？该公司买入杨梅吨数在 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？Qx （吨）【答案】(1)杨梅的销售量为 6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；(2)当x=8时，此时 W最大值=40万元；(3) 该公司买入杨梅 3吨；3 <x<8【解析】【分析】(1)设其解析式为y=kx+b,由图象经过点(2, 12) , ( 8, 9)两点，得方程组，即可 得到结论；(2)根据题意得， w = ( y-4) x= (

32、x+13-4) x= - - x2+9x,根据二次函数的性质22即可得到结论；(3) 根据题意列方程，即可得到结论；根据题意即可得到结论.【详解】(1)由图象可知，y是关于x的一次函数.，设其解析式为y=kx+b,图象经过点(2, 12) , ( 8, 9)两点，2k b 128kb 91解得 k= - - , b=13, 2一，1，一次函数的斛析式为y= - -x+13,2当 x=6 时，y=10,答：若杨梅的销售量为 6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元;(2)根据题意得， w = (y-4) x= ( x+13 - 4) x= - x2+9x,22当x= - J?_=9时，x= 9不在

33、取值范围内， 2a当x=8时，此时 W最大值=-1x2+9x=40万元；2(3) 由题意得：- -x2+9x= 9x - ( x+3)22解得x= - 2 (舍去)，x= 3,答该公司买入杨梅 3吨；当该公司买入杨梅吨数在 3<xW8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润 大些.故答案为：3<x<8【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润 三者之间的关系.9.如果一条抛物线 y=ax2+bx+c(aw西x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交 点为顶点的三角形称为这条抛物线的抛物线三角形”，a, b, c称为 抛物线系

34、数任意抛物线都有 抛物线三角形”是(填真"或假”命题；(2)若一条抛物线系数为1,0, -2,则其 抛物线三角形”的面积为;(3)若一条抛物线系数为-1, 2b, 0,其抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的 解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A,与x轴交于O, B两点，在抛物线上是否存在一点P,过P作PQ>± x轴于点Q,使得BPgOAB?如果存在，求出 P点坐标；如果不存 在，请说明理由.【答案】(1)假；(2)272；(3)y= x2+2x 或 y=x2 2x；( 4) P (1,1)或 P(1, 3)或 P 11, 3)或(-1, 1).【解

35、析】分析：(1)当4>0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；(2)根据 抛物线三角形”定义得到y x2 2,由此可得出结论；(3)根据抛物线三角形”定义得到y=-x2+2bx,它与x轴交于点(0, 0)和(2b,0)；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为(b, b2),以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到b2 1 2b ,解方程即可得到结论；2(4)分两种情况讨论： 当抛物线为y=- x2+2x时，当抛物线为y=x22x时.详解：(1)当4>0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有抛物线三角形”，故此命题为假命题；9

36、一1 一 X1(2)由题意得：y x 2,令 y=0,得：x= J2，S= 2>/2 2 =；2X2(3)依题意：y=- x2+2bx,它与x轴交于点(0, 0)和(2b, 0)； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形. y=-x2+2bx= (x b)2 b2, .顶点为(b, b2),由直角三角形斜边上的中线等于斜 一一，2 12 I I边的一半得到：b - 2b , b b ,解得：b=0 (舍去)或b= ±12，y=- x2+ 2x 或 y= W 2x.(4)当抛物线为y=x2+2x时.AOB为等腰直角三角形，且 BPgOAB,.BPQ为等

37、腰直角三角形，设 P (a, -a2+2a) , . Q ( (a, 0),则 | a2+2a | = | 2 a | ,即 a(a 2) a 2 .- a 2wqa 1, a= ± ' - P (1, 1)或(一1, 3).当抛物线为y=x22x时.AOB为等腰直角三角形，且 BPgOAB,.BPQ为等腰直角三角形，设 P (a, a22a) ,，Q ( (a, 0),贝U | a2-2a | = | 2+a | ,即 a(a 2) a 2 .a+2 wp. a 1, ，a=± ，P (1, 3,)或(一1,1).综上所述：P (1, 1)或 P(1, 3)或 P

38、 (1, 3,)或(一1, 1).点睛：本题是二次函数综合题.考查了二次函数的性质以及抛物线三角形”的定义.解题的关键是弄懂抛物线三角形”的定义以及分类讨论.10.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A (-1, 0) , B (3, 0)两点， 与y轴相交于点C (0, - 3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHI±x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值； 当4PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.9【答案】(1)二次函数的表达式 y=x2-2x- 3； (2)PM最大=7 ；

39、P (2, - 3)或(3- .、,2 , 2-4、2 )【解析】(1)根据待定系数法，可得答案；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次 函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.【详解】(1)将A, B, C代入函数解析式，a b c 0a 1得 9a 3b c 0,解得 b2,c 3c3这个二次函数的表达式 y=x2 - 2x - 3 ;(2)设BC的解析式为y=kx+b, 将B, C的坐标代入函数解析式，得3kbk 1b 3'BC的解析式为y=x- 3,设 M (n, n3) , P(n, n2

40、 2n 3),PM= ( n- 3) - ( n2 - 2n - 3) =- n2+3n= - ( n - ° ) 2+,24当n= 2时，PM最大=2 ；24 当 PM=PC时，(-n2+3n) 2=n2+ (n2-2n-3+3) 2,解得n1二0 (不符合题意，舍)，n2=2,n2- 2n - 3=-3,P (2, -3);当 PM=MC 时，(-n2+3n) 2=n2+ (n - 3+3) 2,解得ni=0 (不符合题意，舍)，n2=3+J2 (不符合题意，舍)，n3=3-J2，n2- 2n - 3=2-4 点,P (3- 2 , 24 2)；综上所述：P (2, - 3)或(

41、3-J2 , 2- 4J2 ).【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A (- 1, 0) B (3, 0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线 AC的解析式；(2)请在y轴上找一点 M,使4BDM的周长最小，求出点 M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,巳C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用国【答案

42、】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3; ( 2)点M的 坐标为(0, 3)；7 201013(3)符合条件的点P的坐标为(7, 20)或(生，-),3939【解析】分析：(1)设交点式y=a (x+1) (x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C (0, 3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式；(2)利用二次函数的性质确定 D的坐标为(1, 4),作B点关于y轴的对称点B',连接DB'交y轴于M,如图1,则B' (-3, 0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时4BDM的周长最

43、小，然后求出直线DB的解析式即可得到点 M的坐标；(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点巳如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=- x+b,3把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3,再解方程组 32y= x 2x 31得此时P点坐标；当过点 A作AC的垂线交抛物y= -x 33线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax- 3a,，2a=2,解得 a= - 1,抛物线解析式为y=-x2+2x+3；当 x=0 时，y=-x2+2x+3=3,则 C (0, 3)

44、,设直线AC的解析式为y=px+q,p q 0 p 3把A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得，解得，q 3q 3直线AC的解析式为y=3x+3;(2) y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,，顶点D的坐标为(1, 4),作B点关于y轴的对称点B',连接DB交y轴于M,如图1 ,则B'(-3, 0),.MB=MB',.MB+MD=MB' +MD=DBilt时 MB+MD 的值最小, 而BD的值不变，此时4BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3,当 x=0 时，y=x+3=3,.点M的坐标为(0, 3);(3)存在.过点C作AC的垂

45、线交抛物线于另一点巳如图2,直线AC的解析式为y=3x+3,，直线PC的解析式可设为y=- 'x+b,3把C (0, 3)代入得b=3,，直线PC的解析式为y=1°-x+3,3y=解方程组y=2x解得3 73 ,则此时P点坐标为（-20320、 ,)9过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-x+b,把A ( - 1, 0)代入得1 +b=0,解得3b=，直线PC的解析式为y=解方程组13、9综上所述,y=y=2x10符合条件的点解得P的坐标为20、一）或910则此时P点坐标为（13、)9103点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点

46、的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题.212.已知函数y（1）当 n 5,x nx n, x n12n n( n为常数)x x , x n222点P 4,b在此函数图象上，求 b的值;求此函数的最大值.（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为 A 2,2、B 4,2 ,当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出 n的取值范围.（3）当此函数图象上有 4个点到x轴的距离等于4,求n的取值范围.945188【

47、答案】（1）b 一；（2） n 4,2 n 时，图象与线段 AB只有285331个交点；（3）函数图象上有 4个点到x轴的距离等于4时，n 8或n 4.2(1)5时有最大值为5；1 2将P 4,b代入y -x2 255-x ；当x> 5时，当2245 .45 ;故函数的最大值为845一；855时，当x 时有取大值为2(2)将点4,2代入ynxn中,得到1854时，图象与线段AB只有一个交点；将点2,2）代入ynxn n ,x 中，得到22n 2, n所以28时图象与线段 AB只有一个交点;3n时,， ni8;当x 一时, 2.31, 一4 ,得到n ，当x n2时，y【详解】解：（1）当

48、2 x5时,5x将P 4,b代入9 b ；25时有最大值为5;当x> 5时，当45一；8当x 5时，当x5一时有取大值为2，函数的最大值为45一；8（2）将点4,2代入ynxn中,1851854时，图象与线段AB只有一个交点;将点2,22 x nxn中,将点2,2代入y1x22n n ,x 中, 228时图象与线段3AB只有一个交点;综上所述:18 n58,L时，图象与线段3AB只有一个交点;(3)当x n时,8;1n 4,，n8 2当x n时，y312，22n n n函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n【点睛】考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键13.如图，矩形过点B

49、, C两点,(0vtv10).(1)请直接写出OABC的两边在坐标轴上，点 A的坐标为( 且与x轴的一个交点为 D ( - 2, 0),点B、C两点的坐标及抛物线的解析式;10, 0),抛物线 y=ax2+bx+4P是线段CB上的动点，设 CP=t(2)过点P作PH BC,交抛物线于点 E,连接BE,当t为何值时，(3)点Q是x轴上的动点，过点 P作PM/ BQ,交CQ于点M,作/ PB&/OCD?PN/ CQ交BQ于点t的值.N,当四边形PMQN为正方形时，请求出【答案】(1) B (10, 4) , C (0, 4),5,-1020x 4; (2) 3； (3)或333【解析】试题

50、分析：(1)由抛物线的解析式可求得c点坐标,由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)可设P (t, 4),则可表示出 E点坐标，从而可表示出 PB PE的长，由条件可证得 PBEAOCD),利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；(3)当四边形PMQN为正方形时，则可证得 COMQAB,利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在RtBCQ中可求得BQ、CQ则可用t分别表示出PM和PN,可得到关于t 的方程，可求得t的值.试题解析：解：(1)在 y= ax2+ bx+ 4 中，令 x= 0 可彳导 y = 4, C (0, 4),四边形OAB

51、C为矩形，且 A (10, 0),.B (10, 4),把B、D坐标代入抛物线解析式可得100a 10b 4 44a 2b 4 0-653a解得b抛物线解析式为 y= x2 + x+ 4;63(2)由题意可设 P (t, 4),则 E (t,-t2+ 5t + 4),63.PB= 10- t, PE= 1t2+5t + 44= 1t2+5t, 6363 / BPE= / COD= 90 ；当/ PBE= / OCD时，则PB上OCD,PE PB,即 BP?OD= CO?PE,OD OC 2 (10-t) = 4 ( 1t2+ 5t),解得 t=3 或 t=10 (不合题意，舍去)， 63 当 t=3 时，ZPBE= / OCD;当/ PBE= / CDO时，贝MPBEODC,PE PB,即 BP?OC= DO?PE,OC OD 4 (10-t) = 2 ( 1t2+ 5t),解得 t = 12 或 t=10 (均不合题意，舍去) 63综上