中考数学一轮复习第十六讲直角三角形专题训练

1、1. 了解直角三角形的有关概念, 掌握其性质与判定.2.掌握勾股定理与逆定理，并 能用来解决有关问题.知识梳理第16讲直角三角形考纲要求命题趋势2.如图，在 ABC3, DE是中位线，/ ABC勺平分线交 DE于F,则 ABF一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D .等边三角形3.下列各组数据分别为三角形的三边长： n2, m2+ n2, 2mn其中是直角三角形的有（A.B . C . D2,3,4 ; 5,12,13 ;® 木,皿； m2 ).直角三角形是中考考查的 热点之一，题型多样，多以简单 题和中档难度题出现，主要考查 直角三角形的判定和性质的应 用，以及运用

2、勾股定理及其逆定 理来解决实际问题的能力.、直角三角形的性质1 .直角三角形的两锐角 2 .直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的 3 .直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .4 .勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.二、直角三角形的判定1 .有一个角等于 的三角形是直角三角形.2 .有两角 的三角形是直角三角形.3 .如果三角形一边上的中线等于这边的 ,则该三角形是直角三角形.4 .勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的 ,那么这个三 角形是直角三角形.自主测试1.在 ABC 若三边 BC, CA AB满足 BCCAAB= 5:12:13 ,则 c

3、os B=()12125A. 12/因事网四曲姓考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在 ABC中，AB= AC / BAG= 90° ,点D为边BC上的任一点，DF，AB于F, DE AC于E, M为BC的中点，i3t判断 MEF勺形状，并证明你的结论.分析：连接 AM可得A阵BM然后证明 BFM24AEM得到FM= ME / EMF90。AB DM C解： ME喔等腰直角三角形.连接AM / BAC= 90° , AM斜边BC的中线，MA= MB= MC MAL BC .AB= AC./ B= / BAM= / MAE 45 . . DF± AR DEL AC

4、, ./AFD= /AED= Z FAE= 90° ,，四边形 DFA屋矩形，FD= EA又. FB= FD FB= EA BF阵 AE哂AS）,.FM= EM / BMF= / AME . / AMF- / BMF= 90 ,，/EMF= Z AMF- /AME= 90 , . MEF等腰直角三角形.方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90。，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得.触类旁通1具备下列条件的 ABC,不能成为直角三角形的是 （） 一 1 一。，-A. / A= / B= 了 C B . Z

5、A= 90 -Z CC. / A+ / B= Z C D. / A / C= 90°考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B, C, E在同一条直线上，连接 DC图1图2/（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DCL BE(1)解：图 2 中 ABE ACD证明如下： ABCW AED匀为等腰直角三角形，.AB= AC AE= AD, / BAC= Z EAD= 90 ./ BAGF / CAE= / EAA / CAE即/ BAE= / CAD又 AB= A

6、C AE= AD . ABE ACD(2)证明：由 AABE ACD® / ACD= / ABE= 45 .又/ACB= 45 , ./BCD= /ACBF /ACD= 90 , . DC!BE方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质.考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC= 6 cm, BC= 8 cm,现将直角边 AC沿直线A所叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合

7、，求CD勺长.A解：设CDK.为x cm,由折叠得 AC擎AAED.AE= AC= 6 cm, / AED= Z C= 90 , DE= CD= x cm.在 Rt ABO43, AC= 6 cm, BC= 8 cm ,.AB= -AC+ BC =-62 + 82 = 10(cm).EB= AB-AE= 10 6=4(cm), BD= BC-CD= (8 -x) cm ,在RtADEEJ,由勾股定理得 DE+ B=dB. .x2+ 42= (8 -x) 2,解得 x= 3.CD的长为3 cm.方法总结1 .勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可

8、以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边.2. 勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形.触类旁通2 如图，在四边形 ABCDK / A= 90° , AB= 3, AD= 4, CD= 13, CB= 12,求四 边形ABCD勺面积.D考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上 A, B两站（视为直线上两点）相距14 km, C, D为两村庄（可视为 两个点），D/AL AB于A, CBLAB于B,已知DA= 8 km, CB= 6 km,现要在铁路上建一个土特 产品收购站E,使C D两村到E站的距离相等，则 E站应建在

9、距 A站多少千米处？分析：因为DAL AB于A, CBL AB于B,在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到 通过勾股定理列方程进行求解.解：设E站应建在距 A站x km处，根据勾股定理有 82+x2 = 62+（14 -x） 2,解得x= 6.所以E站应建在距 A站6 km处.方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型.通过解决数学问题，使实际问题得以解决.触类旁通3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m, 8 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.1

10、. （2012广东广州）在RtABC中，ZC= 90° , AC= 9, BC= 12,则点C到AB的距离是（）A.36512253； 342. （2012 浙江湖州）如图,在 RtMBCK 2 ACB= 90AB= 10, CD是AB边上的中线，则C. 5 D3. （2012浙江宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图 1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的， 可以用其面积关系验证勾股定理.图 2是由图1放入矩形内得到的，/ BAO90。，AB= 3, AC= 4,点D, E, F, G H, I都在矩形KLMJ的边上

11、，则矩形 KLMJ的面积为（）4. （2012山东烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB上，BC与DE交于点M如果/ ADF= 100° ,那么/ BMD。.5. （2012四川巴中）已知a, b, c是4ABC的三边长，且满足关系式 >/c2-a2-b2 + | a b| = 0,则 ABC勺形斗犬为 .6. （2012重庆）如图，在 Rt ABO43, / BAC= 90° ,点 D在BC边上，且 ABD等边三角 形.若AB= 2,求 ABC勺周长.（结果保留根号）习糜毒妙匚 * J? I c E % p| I T r

12、1 .如图所示，将一个有 45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为（）A. 3 cmB . 6 cm C . 3d72cm12 .在ABC3,二边长分别为a,b,c,且a + c=2b,c-a=-b,则 ABB（）A.直角三角形B .等边三角形C.等腰三角形D .等腰直角三角形3 . 一个直角三角形两边的长分别为15,20 ,则第三边的长是（）A. 5" B . 25 C . 547或 25 D .无法确定4.如图，在 RtAABC,以三边 AB, BC CA为直

13、径向外作半圆，设直线 AB左边阴影部分的面积为S,右边阴影部分的面积和为S2,则（）折痕为de则CCE勺值是（）6.如图，在 RtAABC, / ACB= 90° ,点D是斜边AB的中点,A. Si= S2B. S v SC. Si>S2D,无法确定5.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8 ,现将 ABCfe图那样折叠，使点A与点B重合,DEL AC垂足为E,若DE7 .如图，已知等腰 RtABC勺直角边长为1,以RtABC勺斜边AC为直角边，画第二个等腰RtAACID再以RtACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtAADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG则由这五个等腰

14、直角三角形所构成的图形的面积为 8 .如图，已知点D为等腰RtABCft一点，/CAD= / CBD= 15° , E为AD延长线上的一点,且 CEE= CA(1)求证：DE平分/ BDC(2)若点 M在DE上，且 DC= DM求证：ME= BD参考答案导学必备知识自主测试999BC 51. C . BC+ cA=A戌，/C= 90 , cos B= ab= 13.2. B 3. D探究考点方法触类旁通1. D触类旁通 2.解：在 RtAABD, BD= AC2+AB = 42+ 32 = 5,在BCD43, CD= 13, CB= 12, BD= 5, .Cg+BD= CD. .

15、. / DBC 90 .1111 , S四边形ABCD= Sabd+ 及db= AB。AA ,BC BD= 5X 3X 4+ -X 12 X 5= 6+ 30= 36.触类旁通3.解：在 RtABC中，AC= 8, BC= 6,由勾股定理得， AB= aC+ bC = 10,扩充部分为RtAACID扩成等腰三角形 ABD应分以下三种情况：如图1,当AB= AD= 10时，可求得 CD= CB= 6,故 ABD勺周长为32 m.(2)如图2,当AB= BD= 10时，可求得CD= 4,由勾股定理得 AD= AC2+ CD =班，故4ABD 的周长为(20+445) m.如图3,当AB为底时，设

16、AD= BD= x,则CD= x-6,由勾股定理得(x 6) 2+82= x；则x= TT,故 ABD勺周长为弋m. 33图1图2图3品鉴经典考题1. A 根据题意画出相应的图形，如图所示：在 Rt ABC, AC= 9, BC= 12,根据勾股定理得： AB= jAC+ BC2 = 15.过点C作CDL AB,交AB于点D,一 11、.又及 ABC= AC BC= 2AB CDCD=AC BC 9X 12AB = 15363'则点C到AB的距离是M2. C 在RtABC中，Z ACB= 90° , AB= 10, CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，

17、则 CD的长是5.3. C 如图，延长 AB交KF于点Q延长AC交GMF点P,所以，四边形 AOL浣正方形，边长 A0= A济AC= 3+ 4=7,所以，KL= 3+7=10, LM= 4+7= 11,因此，矩形 KLMJ的面积为10X11 = 110.故选C.4. 85 ./AD展 100 , /EDF30 , ./MDB180 -Z ADF- /ED鼻 180 - 100° 30° =50° ,/ BMD180° -Z B- / MDB180 -45° -50° =85° .5. 等腰直角三角形由题意得：c2-a2- b

18、2= 0, a-b=0, .c2 = a2+b2, a= b,则 ABC的形状为等腰直角三角形.6. 解：. ABD等边三角形，/ B= 60 . /BAC= 90° , ./ C= 180° -90° -60° =30° ,. BC= 2AB= 4.在 RtAABC,由勾股定理得： AC= /BC- Ab =42-22 = 2近，. ABC勺周长为 AO BC + AB= 2+4+2= 6+273.研习预测试题1. D1.2. A 由 a+c=2b, ca=2b可得c=5b, a=4b,于是得a2 + b2=c2,所以 ABC直角三角形.3. C 4. A5. C 由折叠性质可知， A&BE设 CE为 x,贝U BE= 8-x.在 RtABCE, 62+x2=r(8-x)2,7724.7 ,CE 4 所以x=4.L故BC66. 4# .点 D 是 AB 的中点，/ ACB90 , DEL AC _11 _, L _ ,CD- 2AB DE=产 AB= 4 5, BC= 4.,.221在 RtAACB, AC= MAB- BC =8, . CE= 2Ao4.CE= BC= 4, /ACB