概率论课件参数的区间估计

1、5.2 5.2 参数的区间估计参数的区间估计 点估计量是一个统计量点估计量是一个统计量,在取得样本观测值后便得在取得样本观测值后便得到未知参数到未知参数 的一个估计值的一个估计值,这个值可以作为这个值可以作为的近似值的近似值.对于一个未知量对于一个未知量,人们在测量和计算时人们在测量和计算时,常不以得到近似常不以得到近似值为满足值为满足,还需要估计误差还需要估计误差,即需知道所求真值所在的范即需知道所求真值所在的范围围.类似地类似地,对于未知参数对于未知参数,除了求出它的点估计除了求出它的点估计 外外,我我们还希望估计出一个范围们还希望估计出一个范围,并且要了解这个范围包含参并且要了解这个范围

2、包含参数数的可信程度的可信程度.这样的范围通常以区间形式给出这样的范围通常以区间形式给出, 同时同时给出此区间包含未知参数给出此区间包含未知参数真值的可信程度真值的可信程度.这种形式这种形式的估计称为区间估计的估计称为区间估计,这样的区间即所谓的置信区间这样的区间即所谓的置信区间. 定义定义6.6： 设总体设总体x的分布函数的分布函数f(x； )含有未含有未知参数知参数 ，对于给定值，对于给定值 （0 1),若由样本若由样本x1, , xn确定的两个统计量确定的两个统计量 使使则称则称1为置信水平或置信度为置信水平或置信度.称称随机区间随机区间 为为 的的置信度为置信度为1的的置信区间置信区间

3、,1 (*)p ),( 1和 分别称为置信度为的置信下限和置信上限。注：注：置信水平就是可信程度置信水平就是可信程度(即可靠度即可靠度) f(x; )也可换成概率密度或分布律也可换成概率密度或分布律。一、概念一、概念6.3.1 6.3.1 单个正态总体参数的区间估计单个正态总体参数的区间估计2220 (1)(),xn设，已知=，求 的置信区间(0,1)/xnn121,1nniixnxxxxxn从总体 中抽取容量为 的样本设用作为 的点估计量，现对于这个估计量找出具有置信水平1- 的置信区间，由定理5.1知/2/22z20z1-按标准正态分布的双侧按标准正态分布的双侧分位点的定义，有分位点的定义

4、，有21/xpzn 即即221p xzxznn 这样就得到了这样就得到了的一个置信水平的一个置信水平为为1-的置信区间的置信区间22,xzxznn例例1 某工厂生产某型号的零件，从某天产品中随某工厂生产某型号的零件，从某天产品中随机抽取机抽取6个，测得直径为（单位：个，测得直径为（单位：cm)14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1设直径设直径x服从正态分布，方差服从正态分布，方差2=0.06；求直径均；求直径均值的置信区间（值的置信区间（=0.05）。）。解解 已知时已知时, 的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为/2/2,xzxznn这里这里14.95,62.45

5、,0.060.245,xn20.0250.05,1.96,zz于是/2/2,(14.75,15.15)xzxznn (1)/xt nsn/2(1)1/xptnsn ) 1(2nt) 1(02nt1-可得可得22 (2)(),xn设，未知，求 的置信区间122212,1,(-)1nniixnxxxsxxn从总体 中抽取容量为 的样本设用作为的点估计量，由定理5.1知/2/2 (1),(1)ssxtnxtnnn这样就得到了这样就得到了 的的11置信区间为置信区间为/2/2 p(1)(1) 1ssxtnxtnnn 即即例例2 某食品厂生产一大批糖果，包装成袋准备出厂，某食品厂生产一大批糖果，包装成袋

6、准备出厂，先从中随机抽取先从中随机抽取16袋，称得重量袋，称得重量(克克)如下如下 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496这里设每袋袋装糖果的重量近似服从正态分布，试这里设每袋袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值求总体均值的置信区间（的置信区间（=0.01）.解解: 未知时未知时, 的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为/2/2(1),(1)ssxtnxtnnn。/2/2(1),(1)(499.18,507.32)ssxtnxtnnn经计算得经计算得503.75,6.2022xs当当=0.0

7、1时，查表，得时，查表，得20.005,(1)(15)2.9467,tnt于是于是222(-1) (1)nsn2221-/2/22(1) p(1)(1)1nsnn22222/ 21/ 2(-1)(-1) 1(1)(1)nsnspnn22 (3)(),xn设，求的置信区间1222,nxnxxxs从总体 中抽取容量为 的样本的无偏估计为，由定理5.1知因为因为即即2222/21/2(1)(1),(1)(1)nsnsnn这样就得到这样就得到 2 2的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为例例3 设某批产品的应力服从正态分布，为了确定这批设某批产品的应力服从正态分布，为了确定这批产品的应力方差，

8、随机抽取产品的应力方差，随机抽取25件进行试验，测得它们件进行试验，测得它们的应力标准差的应力标准差s=100.取取=0.05，对这批产品的应力方，对这批产品的应力方差进行区间估计差进行区间估计.解解 由题设由题设 n=25,s=100,故故s2=10000.当当=0.05时，查表，得时，查表，得22220.9750.0251(1)(24)12.401,(24)39.364n于是于是222(1)24 100006096.94(1)39.364nsn2221(1)24 1000019353.28(1)12.401nsn故以故以1-=0.95为置信度的应力方差的置信区间为为置信度的应力方差的置信区

9、间为（6096.94，19353.28）.2、两个正态总体均值差与方差比的置信区、两个正态总体均值差与方差比的置信区间间12211222121222()(),(,),( ,),.nnxyxnynx yxxxy yyx sy s 以下假设两个相互独立的总体为，分别从总体中抽取样本它们的样本均值与方差分别为221212(1),已知，求的置信区间.1212,x yxyx y因为分别为 ，的无偏估计，则是的无偏估计.由的独立性22121212,xynnn22121212(,),(,),xnynnn及得5.2(1)xy12根据点估计法，可用去估计-，由定理，有12221212()()(0

10、,1)xynnn121212()() (2)11wxyt nnsnn222122.1(2)假定未知,求的置信区间12即得的一个置信水平为1的置信区间22222212121212,xyzxyznnnn由定理由定理5.2(2)知知2121211(2)wxytnnsnn其中其中22221212(1)(1),.2xywwwnsnssssnn从而得 1- 2 的一个置信水平为1-的置信区间2121211 (2)wxytnnsnn22x11222y2s (1,1)sf nn222212121-2212/ p f(1,1)(1,1)1/xyssnnf nn 2122(3).求方差比的置信区间2212225.

11、3xyss根据点估计，可采用去估计，由定理知得得212222222212121- 1 ,(1,1f(1,1)xyxyssssf nnnn于是得的置信区间为）即即222221222122121111(1,1)(1,1)xxyysspsf nnsfnn 例例4 设总体设总体xn(1,52),从中任取一个容量为从中任取一个容量为10的样的样本，其平均值为本，其平均值为219.8;(,36),24.0 xyny总体是其容量为是其容量为12的样本均值；如果所取两个样本相的样本均值；如果所取两个样本相互独立，试求互独立，试求90%为置信度的为置信度的1-2的置信区间的置信区间.解解 由于由于1-=0.90

12、，=0.1，查表，得，查表，得2121.645,10,12,znn又于是于是2221212253619.824.0 1.651012xyznn故所求均值差故所求均值差1-2的置信区间为（的置信区间为（-8.07，-0.33）例例5 为提高某一化学生产过程的得率，试图采用为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂，为慎重起见，首先在试验工厂进一种新的催化剂，为慎重起见，首先在试验工厂进行试验行试验.设采用原来的催化剂进行了设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验，次试验，得到得率的平均值得到得率的平均值191.73,x 样本方差样本方差213.89s 又采用新的催化剂进行又采用新的催化剂

13、进行n2=8次试验，得到得率的平次试验，得到得率的平均值为均值为93.75。样本方差为。样本方差为4.02假设两总体都服从正假设两总体都服从正态分布且方差相等，两样本独立，试求两总体均值态分布且方差相等，两样本独立，试求两总体均值差差1-2的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间的置信区间.解解 由题设，有由题设，有222112212(1)(1)3.96,3.961.9892wwnsnsssnn对于对于=0.05，查表，得，查表，得2120.025(2)(14)2.1448,tnnt于是于是120.02511(14)2.022.1388wxxts 故所求均值差故所求均值差1-2的置信区间为（的置信区间为（-4.15，0.11）.例例 6 某大学从甲，乙两市招收的新生中分别抽取某大学从甲，乙两市招收的新生中分别抽取5名男生和名男生和6名男生，测得其身高（名男生，测得其身高（cm)为为 甲市：甲市：172 178 180.5 174 175 乙市：乙市：174 171 176.5 168 172.5 170假设两市学生身高都服从正态分布假设两市学生身高都服从正态分布221122(,),(,),nn 解