勾股定理知识点及典型例题

1、八下第18章勾股定理勾股定理知识点导航-、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边长为c,那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形a, b , c有下面关系：a2+ b2c2，那么这个三角形是直角2.勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数(注意：若a , b , c、为勾股数，那么ka , kb , kc同样也是勾股数组。)* 附：常见勾股数：3,4,5 ;6,8,10 ;9,12,15 ;5,12,133.判断

2、直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。(经典直角三角形：勾三、股四、弦五)其他方法：(1)有一个角为90 °的三角形是直角三角形。(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：(1 )确定最大边(不妨设为 c)；(2)若c2= a2+b2UMBC是以/C为直角的三角形;若a2+ b2< c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；若a2+ b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4. 注意：(1 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中，如果一个

3、锐角等于(3 )在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30 °。5. 勾股定理的作用：(1 )已知直角三角形的两边求第三边。(2 )已知直角三角形的一边，求另两边的关系。(3 )用于证明线段平方关系的问题。(4)利用勾股定理，作出长为 n的线段6. 2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。BbC7、错误的描述方法:勾股定理：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形(一)结合三角形:2 21. 已知 abc的三边a、b、c满足(a b) (b c) 0，

4、贝U abc为三角形22. 在 abc 中，若 a = ( b+c)( b-c),贝U abc 是三角形，且 903. 在 ABC 中，AB=13 ，AC=15，高 AD=12，贝U BC 的长为 4. 已知x 12 x y 25与z210z25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。5、.已知：在abc中，三条边长分别为 a、b、ca = n221，b=2 n，c = n1 ( n >1 )试说明：c= 902 26.若 abc的三边a、b、c满足条件a b2c 33810a24b26c，试判断ABC的形状7.已知 Ja 6 2b 8 (c 10)20,则以a、b、c为边的

5、三角形是(二)、实际应用:1. 梯子滑动问题：(1) 一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 米第1题图A、第3题图（2） 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3） 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC，AC=BC，当梯子的顶端 A沿AC方向下滑x米时，梯足B 沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A. X+yB. x>yC. x < yD.不

6、能确定（4） 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开 5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米CD=h111求证：（1）2ab2h2(2 )a bch(3 )以ab，h， c h为三边的三角形是直角三角形2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系: 1 22 . 2 21111 11a. ab bb. a b 2hC. 一D. a2 b2h2abh变：直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（)如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 °,CD 丄 AB2 11试一试：（1）只需证明h ( 2）1

7、，从左边推到到右边ab22.2(2)abch(3)ah2 h2c2h ，注意面积关系ab ch的应用3. 爬行距离最短问题:1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ,得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙 （盒 壁的忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点Ci处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱 BBl的中点E,再连结AE、ECi，昆虫乙如果沿途径 A EC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图b，假设昆虫甲从点 C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿

8、C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点 沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行， 利用勾股定理建立时间方程，通过比较得岀昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2. 如图，一块砖宽 AN=5 cm，长ND=10 cm，CD上的点F距地面的高FD=8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，a和b是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到

9、 B点的最短路程是 分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从点 A爬到点B，则它走过的路程最短为（）a. . 3ab. 1、2 ac. 3ad. . 5aB5、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（n取3）6、如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从

10、下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟?7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招, 就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？8、如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为 d（已知d2=400000m2），现要在

11、公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最 小。冋最小是多少?4、实际问题1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4 丁3米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是米。3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 是。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点 A，使AC垂直江岸，测得 BC = 50米，/B = 60 °，则江面的宽度为 。5、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学

12、，AP=160 米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向18千米/小时，那么学校行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是受到影响的时间为多少?5、求边长:一 0 01. 如图所示，在四边形 ABCD 中，/BAD=90，/DBC=90 , AD=3 , AB=4 , BC=12，求 CD6、方向问题:1. 有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛 M，测得/MAN = 30 当他到B点时，测得/ MBN = 45 °,AB = 100米，你能算出

13、AM的长吗？2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米. 此时轮船离开岀发点多少 km?若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？7、折叠问题:1.如图，矩形纸片 ABCD的长AD=9的长是多少？cm，宽 AB=3cm,DE2. 如图，在长方形 ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。(1 )试说明：AF=FC ; (2 )如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长3. 如图，在长方形 ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点 E,沿直线 AE把AABC折叠，使点 D恰好在BC边上，设此点为尸，若厶

14、ABF的面积为30，4. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 你能求出CD的长吗？43ABCD 的边 AB=10cm ，BC=6cm ，E 为 BC 上一AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 , BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）252275A.B. C.436、如图，矩形纸片点，将矩形纸片沿 的长.8、利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长 着一根芦苇，出水部分 BC的长是0.5米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池 的深度AC.9、旋转问题1、如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3 ,pc=4,求ABC的边长。2、如图 1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD ,长为8cm ,宽为4cm ,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A