《逻辑的引擎》读书笔记

1、【莱布尼兹】1 奇思妙想：找到一个人类思想的真正的符号系统，以及操纵这些符号的恰当 的计算工具上帝对所有可能的世界都无所布置， 他选取创造了其中最好的一个给我们 -任何 事物都遵循了一个计划 -我们当然可以用逻辑知识对任何一种知识加以揭示 （理 性的人们，坐下来算一算）2 三个元素：百科大全书 -涵盖人类所有的知识 普遍文字：表示概念（而非语音）的符号系统，不仅真实，而且包含了人类全 部思想领域；有助于判断和发明（使用门槛就是理性） -亚里士多德的范畴理论 演绎规则：推理演算 calculus ratiocinator ，符号逻辑3 机器：把推理归结为一种演算，并且最终支撑能够完成这些演算的机

2、器（把 优秀的大脑从繁复的计算中解脱出来）【布尔】1 把逻辑变成代数：逻辑代数（以亚里士多德三段论为蓝本） - 一劳永逸地证明 了逻辑演绎可以成为数学的一个分支（ true /false ）与 或 非 =逻辑问题代数化2 莱布尼兹对恰当是数学符号体系的信念 + 当时人们对代数科学的普遍接受 = 规 律的力量【弗雷格】1 概念文字：模仿算数语言构造的纯思维的形式语言 - 莱布尼兹普遍语言为导向 - 人工语言 -所有计算机语言的前身2 试图找到一个能够包含数学实践中的全部演绎推理的逻辑系统，并以他的逻 辑系统为基础把代数构造出来-不用逻辑的方法来发展逻辑：机械化演算过程：通过对符号的直接操作是的逻

3、 辑推理自动进行-用逻辑来构造出一切数学3 罗素悖论 / 集合论悖论【康托尔】1 对实无穷的追寻：一个完成了的极限2 无限集合的基数：莱布尼兹认为谈论无限集合的元素数目是没有意义的； 康托尔沿着“一一对应”的思路继续研究下去：有理数 -代数数 -实数（连续统 问题）3 对角线方法：如果用自然数来做标签，那么我们可以发现没有一种对应可以 包含自然数集的一切自己（由一切自然数集做组成的集合的基数要大于自然数 的基数，我们可以证明这个基数就是实数的基数） -实数也是这样 -也许我们可 以永不止步4 康托尔悖论 / 罗素悖论 / 集合论悖论5 实证主义怀疑论 - 对康德、黑格尔的绝对唯心论的反抗希尔伯

4、特】1 抽象思维的力量：不必构造出一个数学对象 -反证-希尔伯特基本定理-解决果 尔单问题，彻底说明不变量理论的终结2 几何抽象的本性：那些定理通过纯逻辑就可以从公理中推到出来，而不必受到我们 从图形中所看到的东西影响一致性：其实就是算数的一致性3 信念：每一个明确的数学问题都必定可以完全得到解决 （希尔伯特 1930 年演 说）23 个问题：连续统假设；*实数算数一致性的证明：往常我们把某个公理集合 的一致性归结为另外一个集合的一致性-而算数却已经抵达了逻辑的根底-证明 数学对象存在可以通过证明其一致性来达到4 战争：实无限-算数一致性-存在-逻辑符号体系还原-抽象证明（舍弃对意义的 考虑）

5、希尔伯特数学与逻辑将通过一种纯形式逻辑的符号语言被发展出来 -内部：数 学演绎；外部：不考虑意义的符号操作*元数学：一致性证明在元数学内部完成 *希尔伯特纲领：算数的一致性问题*完备性：任何一个从外部看来有效的公式都可以只用某种规则从系统内部导出 （从皮亚诺公理系统开始 PA）罗素希望能够够发展出一种符号逻辑体系，并利用其将弗雷格把算数还原为 春逻辑的计划而不会导致悖论（层次）-证明了：在一个符号体系中对数学进行 完全的形式化是绝对可能的-庞加莱-布劳威尔-忧伤的数学观点：数学在数学家的意识中，在于直观的构造（拒斥 排中律，有些命题不是真的也不是假的）-数学不是逻辑，不在于语言表达（直 觉主义

6、）-在没有连续统和排中律的情况下要重建数学-外尔-存在与可计算【哥德尔】1 维也纳学派： 哲学的目的就是发展处怀特海罗素那样的符号系统， 并对其进 行研究，这些膝盖痛不仅仅可以包含数学，而且也可以包含经验科学。2 循着希尔伯特纲领，博士论文给出证明：不论对公式中的字母做何种解释， 只要其前提是真陈述，则它的结论就是真的。然而实数算数系统的一致性是不可证明的（不可判定性） 外部|=真假/意义 内部卜演绎证明维也纳学派认为除了可证明性之外，数学真理的任何其他观念都是无意义的， 都只是唯心论形而上学的怪胎-哥德尔的不可判定性证明了一种有意义的数学 真理的观念不仅是存在的，而且范围还超出了任何给定的形

7、式系统的证明能力 3 编码思想沟通了内部和外部，同时也是证明的关键：一个外部的形式符号通 过编码方式在内部表现出来康托尔对角线法则的运用：使被断言为不可证明的命题和那个做出这个断言的命题是同一个命题 ;u 说某个命题在 pm 中不可证明，那个特殊命题就是 u 本身（自我指涉思想） 说明真和可证明不完全是重叠的（反对维也纳学派的纲领）4 编码的意义：从某个程度上完成了莱布尼兹的梦想，把元数学的概念植入到 与语言本身中去5 哲学问题 - 柏拉图主义问题 在我们判断 2+2=4 之前，它是不是真的？抽象的 对象是否是客观存在的（人们只能发现，不能发明）？心灵问题： 人类心灵本质上是否等同于一台计算机

8、？ -假如人的心灵所有部分都 可以用一台有限的机器模拟出来， 那么我就可以利用哥德尔不完全性定理说明， 某个命题虽然是真的，但是不能被人类所证明。 -假如人的心灵不能被还原为机 械装置，那么说明心灵超越了物理实在（心灵不是蛋白质分子） 。【图灵】1 判定性问题：图灵试图证明这些算法是不存在的 两个惯常的解决路径：考虑一般问题的特殊情形；把一般问题还原为某些特殊 情形 不完备性理论：我们的数学活动（也可以扩展到所有的理性活动）不可能仅仅 还原成某种机械装置的计算2 图灵机：思路 尝试把人的理性活动还原为机械过程 -证明仅仅执行某些运算的机器不可 能判定一个给定的结论是否可以用弗雷格的规则从给定的前提中导出 -结论：判 定问题的算法是不存在的关键通过某种算法程序可计算的任何东西都可以通过一台图灵机来计算，于 是如果有一种计算是不能通过图灵机来计算的，那么就说明它不能被计算 #考虑人类计算过程的限制：a 在计算的每个阶段，只有少数符号受到了注意b 每一个阶段所采取的行动仅仅取决与收到主意的那些符号以及计算人当前的 心灵状态#发现计算的本质过程：a 写下符号b 每一步关注一个单一的符