高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例同步练习 湘教版选修11

1、3.4 生活中的优化问题举例1甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法：前三年该产品产量的增长速度越来越快；前三年该产品产量的增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品的产量保持不变其中说法正确的有()a b c d2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为()acm b100 cm c20 cm dcm3设底为等边三角形的直棱柱的体积为v，那么其表面积最小时，底面边长为()a b c d24某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r(x)则总利润最

2、大时，每年生产的产量是()a100 b150 c200 d3005用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？此时的高和它的最大容积分别是()a1.2 m,1.8 m3 b1.1 m,1.8 m3 c1.8 m,1.2 m3 d1.2 m,2.1 m36某厂生产某种商品x单位的利润是l(x)500x0.001x2，生产_单位这种商品时利润最大，最大利润是_7做一个无盖的圆柱形水桶，若要求体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_8一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10 海里时，燃料费

3、是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问：轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？此时的速度为_，般行1海里所需的费用总和为_参考答案1b2a如图，设底面半径为r，高为h，则有sin ，cos ，v()r2·h8 000sin2cos .v()16 000sin cos28 000sin3.令v()0，解得tan ，得唯一极值点cos .h.3c设底面边长为x，则表面积sx2(x0)，所以s(x34v)令s0，得唯一极值点x.4d设总利润为y，则yf(x)当x(400，)时，f(x)1000，此时y无最值当x0,400时，f(x)x300.令f(x)0，得x3

4、00.由f(x)在x300处由正变负，故y在x300处有唯一极值点又f(0)0，f(400)0，f(300)为最大值5a设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x0.5) m，高为3.22x.由3.22x0和x0，得0x1.6.设容器的容积为y m3，则有yf(x)x(0.5x)·(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)f(x)6x24.4x1.6.令f(x)0，有6x24.4x1.60，解得x11，x2(不合题意，舍去)当x1时，y取最大值，y最大22.21.61.8(m3)，这时高为3.22×11.2(m)当高为1.2 m时容器的容积最大为1.8 m3.65

5、00750l(x)10.002x.令l(x)0，得x500，此时l(500)750.由已知，l(x)在其定义域0，)上只有一个极值点，所以生产500单位这种商品时利润最大，最大利润为750.73设底面半径为r，母线长为l，则vr2l27.l.要使用料最省，只需使圆柱的表面积最小s表r22rlr22·，由s表2r0，得r3.因为s表有唯一极值点，故当r3时，s表最小820海里/小时4.92元设速度为每小时v海里时燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系，得pk·v3，其中k为比例常数，它可以由v10，p6求得，即k0.006.于是有p0.006v3.又设当船的速度为每小时v海

6、里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么因每小时所需的总费用是0.006v396(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用q(0.006v396)0.006v2.所以q0.012v(v38 000)令q0，解得v20.又当v20时，q0；当v20时，q0，所以当v20时q取得最小值，即当速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用的总和最小，qmin0.006×204.92(元)6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756e