高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 第2课时 正弦定理2学案 新人教A版必修5

1、第2课时正弦定理(2)学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1正弦定理及其变形(1)定理内容：2r(r为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：sin asin bsin cabc；2r；a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c；sin a，sin b，sin c.思考：在abc中，已知acos bbcos a你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示：可借助正弦定理把边化成

2、角：2rsin acos b2rsin bcos a，移项后就是一个三角恒等变换公式sin acos bcos asin b0.2对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和a解三角形为例说明图形关系式解的个数a为锐角absin a；ab一解bsin a<a<b两解a<bsin_a无解思考：在abc中，a9，b10，a60°，判断三角形解的个数提示sin bsin a×，而<<

3、1，所以当b为锐角时，满足sin b的角有60°<b<90°，故对应的钝角b有90°<b<120°，也满足ab<180°，故三角形有两解3三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)sabcbcsin aacsin babsin c，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)sabcah，其中a为abc的一边长，而h为该边上的高的长(3)sabcr(abc)rl，其中r，l分别为abc的内切圆半径及abc的周长基础自测1思考辨析(1)在abc中，等式bsin aasin b总能成立()(2)

4、在abc中，若a30°，a2，b2，则b60°.()(3)在abc中，已知a，b，a，则此三角形有唯一解()答案(1)(2)×(3)×提示：(2)由正弦定理可知，即，所以sin b，则b60°或120°，又因为b>a，所以b>a，故b60°或120°.(3)当bsin a<a<b时，abc有两解2在abc中，sin asin c，则abc是() 【导学号：91432015】a直角三角形b等腰三角形c锐角三角形 d钝角三角形b由正弦定理可得sin asin c，即ac，所以abc为等腰三角形3

5、在abc中，下列式子与的值相等的是()a. b.c. d.c由正弦定理可得，故选c.4在abc中，a30°，a3，b2，则这个三角形有() 【导学号：91432016】a一解 b两解c无解 d无法确定a由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解合 作 探 究·攻 重 难三角形解的个数的判断已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，a80°；(2)a2，b6，a30°. 【导学号：91432017】解(1)a10，b20，a<b，a80°<90°，讨论如下：bs

6、in a20sin 80°>20sin 60°10，a<bsin a，本题无解(2)a2，b6，a<b，a30°<90°，bsin a6sin 30°3，a>bsin a，bsin a<a<b，三角形有两解由正弦定理得sin b，又b(0°，180°)，b160°，b2120°.当b160°时，c190°，c14；当b2120°时，c230°，c22.b160°时，c190°，c14；b2120°

7、;时，c230°，c22.规律方法已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0°180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 跟踪训练1abc中，ax，b2，b45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是_2<x<2由asin b<b<a，得x<2<x，2<x<2.三角形的面积在abc中，若a2，c，cos ，求abc的面积s.思路探究：根据c及

8、cos .利用sin asin(bc)求出sin a的值然后利用正弦定理求出c值利用sacsin b求解解cos ，cos b2cos2 1.b，sin b.c，sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c.，c×.sacsin b×2××.规律方法已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为s跟踪训练2(1)在abc中，若a3，cos c，sabc4，则b_. 【导学号：91432018】(2)在abc中，ab，ac1，b30°，则abc的面积等于_(1)2(2)或(1)cos c，c(0°，90&

9、#176;)，sin c，又sabcabsin c·3·b·4，b2.(2)由正弦定理得sin c，又c(0°，180°)，c60°或120°，a90°或30°，sabcab·ac·sin a或.正弦定理的综合应用探究问题1你能用坐标法证明sabcabsin cbcsin aacsin b吗？提示：(以已知a，b，c为例)以abc的顶点c为原点，射线cb的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点a的坐标为(bcos c，bsin c)过点a作bc边上的高ae，则根据三角函数的定义可得

10、aebsin c，所以abc的面积s·bc·ae·a·bsin cabsin c.同理可得sbcsin a，sacsin b.故sabcabsin cbcsin aacsin b.2应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？提示：(1)在abc中，abcsin(ab)sin c，cos(ab)cos c；sin cos .(2)若abc为锐角三角形，则ab>，ac>，bc>；ab>a>bsin a>cos b，cos a<sin b. 在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，m(sin a，s

11、in b)，n(cos b，cos a)，m·nsin 2c.(1)求c的大小；(2)若c2，a，求abc的面积. 【导学号：91432019】思路探究：(1)由m·nsin 2c，利用三角恒等变换求出c的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解解(1)由题意，m·nsin acos bsin bcos asin 2c，即sin(ab)sin 2c，sin c2sin ccos c.由0<c<，得sin c>0.所以cos c.c.(2)由c，a，得bac.由正弦定理，即，解得b2.所以abc的面积sbcsin a×2

12、×2×sin .母题探究：(变条件，结论)将例题中的条件“m(sin a，sin b)，n(cos b，cos a)，m·nsin 2c”换为“若ac2b,2cos 2b8cos b50”求角b的大小并判断abc的形状解2cos 2b8cos b50，2(2cos2b1)8cos b50.4cos2b8cos b30，即(2cos b1)(2cos b3)0.解得cos b或cos b(舍去)0<b<，b.ac2b.由正弦定理，得sin asin c2sin b2sin .sin asin，sin asin cos acos sin a.化简得sin

13、acos a，sin1.0<a<，<a<，a.a，c.abc是等边三角形规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.当 堂 达 标·固 双 基1满足a4，b3和a45°的abc的个数为()a0b1c2 d无数多b因为a45°<90°，a4>3b，所以abc的个数为1.2在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，c60°，则abc的面积为() 【导学号：91432020】a3 b3c6 d6b由sabsin c×4×3×得s3，故选b.3在abc中，a，ac，则_.1由得sin c×，又0<c<，所以c，b(ac).所以1.4在abc中，若b5，b，tan a2，则sin a_，a_. 【导学号：91432021】2由tan a2，得sin a2cos a，由sin2acos2a1，得sin a，b5，b，由正弦定理，得a2.5在abc中，若abc135，求的值解由条件得，s