高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.1 简单形式的柯西不等式活页作业8 北师大版选修45

1、活页作业(八)简单形式的柯西不等式一、选择题1已知a，b(0，)，且ab1，则p(axby)2与qax2by2的大小关系是()apqbp<qcpqdp>q解析：设m(x，y)，n(，)，则|axby|m·n|m|n|··，(axby)2ax2by2，即pq.答案：a2设x>0，y>0，m>0，n>0，且1，则uxy的最小值是()a()2 bc d(mn)2解析：根据柯西不等式，得xy(xy)2()2，当且仅当时，等号成立，这时u取最小值为()2.答案：a3已知x，y(0，)，且xy1，则的最小值为()a4 b2 c1 d解析：2

2、2224.答案：a4已知r，则4cos 的最大值是()a2 b3 c d解析：4cos ·3，当且仅当 4cos ，即sin ±，cos 时等号成立答案：b二、填空题5若x2y5，则x2y2的最小值为_.解析：由柯西不等式，得(x2y2)(1222)(x2y)2，当且仅当x时取等号所以5(x2y2)25.所以x2y25.答案：56已知a2b24，则|acos bsin |的最大值是_.解析：因为(acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2)4，当且仅当asin bcos 时等号成立，所以|acos bsin |2.答案：2三、解答题7已知函数y34，求函数的定义

3、域和最大值解：易知函数的定义域为5,6，且y>0.y34·5，当且仅当34，即x时取等号故函数的定义域为5,6，最大值为5.8若0<x<1,0<y<1，求证：2.证明：如图，设p(x，y)，o(0,0)，a(0,1)，b(1,0)，c(1,1)，其中点p(x，y)为以1为边长的正方形obca内任一点，则|2.一、选择题1已知为锐角，a，b均为正实数则下列不等式成立的是()a(ab)2b(ab)2ca2b2d(ab)2<解析：设m，n(cos ，sin )，则|ab|·，当且仅当asin2bcos2时取等号所以(ab)2.答案：a2若长方形

4、abcd是半径为r的圆的内接长方形，则长方形abcd的周长的最大值为()a2rb2rc4r d4r解析：如图，设内接长方形abcd的长为x，则宽为.于是长方形abcd的周长l2(x)2(1·x1·)由柯西不等式，得l2x2()2(1212)2×2r·4r，当且仅当x·1·1，即xr时等号成立此时，r，即长方形abcd为正方形故周长最大的内接长方形是正方形，其周长为4r.答案：d二、填空题3函数y3sin x2的最大值是_.解析：y3sin x23sin x45，当且仅当4sin x3时取等号，ymax5.答案：54已知x，y均为正数，

5、且xy2，则x44y的最大值为_.解析：x44y(2)2(1222)()2()25(xy)5×210，当且仅当1·2·，即y4x(x>0)时等号成立，x44y10.由得x，符合x>0.x44y的最大值为10.答案：10三、解答题5已知a1，a2，b1，b2为正实数求证：(a1b1a2b2)(a1a2)2.证明：2(a1a2)2.6已知x，y为正实数，且xy1，求x2y2的值解：法一依题意，有0<x<1,0<y<1.令xsin ，ysin ，则xysin cos sin cos sin()1.0<<，即.x2y2sin2sin2sin2sin2sin2cos21.法二有1xy，令tx2y2(t>0)，则有t(2t)1，即t22t10(t1)20.t>0，t10，即t1.x2y21.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc31