【步步高高考数学总复习】§__1.3__简单的逻辑联.

1、 13简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 要点梳理 1.命题中的“或”、“且”、“非”叫做逻辑联结词. 2 用来判断复合命题的真假的真值表： P q Ml （pv q） 氏 真 假 假 真 A- 假 假 假 假 真 假 假 真 直 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 真 真 真 3 全称量词与存在量词 (1) 常见的全称量词有： “任意一个”、 “一切”、 “每一个”、 “任 给”、“所有的等. (2) 常见的存在量词有： “存在一个”、 “至少有一个”、 “有些”、 “有一个”、“某个”、“有的等. (3) 全称量词用符号“ V表示；存在量词

2、用符号“日”表示. 4 仝称命题与存在性命题 (1) 含右全称量词的命题叫全称命题. (2) 含右存丫E磺词的命题口H特称命题. 5 命题的否定 (1) 全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2) ”或q的否定为：非且非q； 自主学习 P且q的否定为：非或非q 基础自测 1 已知命题 P： V nER.sinl ,贝I (C ) A. p： 3 aC R sinal B. p： V QW R,sinrrMl C. r p：弓 RsinQl I).p： V :reR,sinHl 解析 命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题. 2.已知命题 加33;中34,则下列选项正确的是

3、 (I) A. p/ q为假,pf q为假，-*为真 B. V q为真,pKq为假，“为真 C. V q为假 A 9为假，P 为假 DpV q为真9 pK q为假，P为假 解析 .命题p：33是真命题，g：34是假命题， p! q为真， A q为假,p为假.3. （2008 广东理，6）已知命题 Q：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数则下列命题中为真命题的是（I） A. （Q） V q B.少/ q C. （ 卫）/ （ q） D. （ V （ q） 解析 不难判断命题为真命题，命题q为假命题，从而上 述叙述中只有（/） V（-q）为真命题. 4. 下列命题中是全称命题的是 A.

4、圆有内接四边形 B. 挖 C. 氐匝 D. 若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三 角形 解析由全称命题的定狡可知：“圆有内接四边形， 即为“所有圆都有内接四边形，是全称命题.5. 命题：“至少有一个点在函数y=kx 的图象上”的否 定是 （D ） A.至少有一个点在函数y=kx （ kO）的图象上 B至少有一个点不在函数y=k （上工0）的图象上 C所有点都在函数的图象上 D. 所有点都不在函数y=k（kO）的图象上 解析 因特称命题P： 3 PT）的否足为全称命题 rr G M,、（工）. 典例剖析 题型一 复合命题的构造及 其真假性的判断 .例分别指出由下列命题构成的“p

5、V q”、“pA q”、“ - Pn 形式的命题的真假. （1） 少：3是9的约数，中3是18的约数； （2） 加菱形的对角线相等，中菱形的对角线互相垂直； （3） p：方程T2 4-父一 1 = 0的两实根符号相同， q：方程卫+工一1=0的两实根绝对值相等. （4） fi：K是有理数，q：尺是无理数. 【，电维启迪】 由含逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的形 式及其真值表直接判断.解 （1） p是真命题9 q是真命题， V q是真命题，pN q是真命题，是假命题. （2） V p是假命题，q是真命题， /. pv q是真命题，p l q是假命题，/是真命题. （3） 是假命题，q是假命题

6、， pV q是假命题 是假命题，Q 是真命题. （1）力是假命题，q是真命题， *. p V q是真命题9 Q八q是假命题，P是真命题. 探究拓展 判断含有逻辑联结词“或”“且“非”的命题的真 假：必须弄清构成它的命题的真假；弄清结构形式；根 据真值表判断其真假. 题型二以复合命题的真假 . 为背景，求解参對 112 （12分）已知两个命题 广（h） ： sinH+ COSm, s（兀）：of +加攵+ l0.如果对V夂 R, r（工）与、（父）有且仅有一个是 真命题求实数川的取值范围. 【思维启迪】 由已知先求出对v R时，厂（工），$（工）都是 真命题时夜的范围， 再由要求分情况讨论出所求

7、川的范围. 解 T si门工COSH=挖8山（工 ）N 匹, 当K父）是真命题时，?7i C 匹. 2分 又/对V QW R s（ x）为真命题，即殳 ）nx + 1（）恒成立， 有= in 4V0, /. 2 mC2. 1 分 当？（夂）为真，s（工:）为假时,?nZ J2 , 同时 7用二一2 或 mZ- 2 9 即 I71C：- 2 ； 6 分 当r（工）为假，工）为真时，初二一挖且一2V”2, 即一庖5 mC2. 8分 综上，实数択的取值范围是mW 2或 迈 Wm、q是全称命题，？、，是特称 命题. 全称命题p： V hW Mt pa）,它的否定p： d工 M,力（h）. 特称命题q：

8、 3 hW A4 （/（ r），它的否定 r q： V工W M,q（）.解 工+ VO ,这是假命题, 因为V nW R,疋一工+冷-=(工 - )三()恒成立. (2) - q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3) r： V hW R ar +2工+ 2O,是真命题，这是由于V工 R, /亠2兀+2 =(工一I) +1仝1()成立. (4) *、： V工6 R, r + I/O,是假命题，这是由于工= 1时， 玄+ 1=0. 探究拓展 (1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定 的区别，仝(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词 (或存在量词改为仝称量词，并把结论否定；而命

9、题的否定 则是直接否定结论即可. (2) 要判断”命题的真假，可以直接判斷，也可以判断/ 的真假，因为与少的真假相对. 方法与技巧 1常见的全称量词有：“所有的 J任意一个”、“一切化“每 -个”、“任给”；常见的存在量词有严存在一个”、“至少有 个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等. 2.同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能 有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择. 命题 全称命题V尤W A, Q（ x） 特称命题3 :rW 对所有的工A,少（工） 存在A,使p（ J） 成立 成立 对一切戈C A, Q （工）成 至少有一个rrC A, 立 使”（工）成立 表

10、述 对每一个工C A, p （工） 对有些工e A，使 方法 成立 炉（工）成立 任选一个HC A,使 对某个H C A,使 Qj）成立 pC久）成立 凡工C A,都有少（工）成 有一个X A，使 卫（久）成立 失误与防范 1一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下: 正面词语 等于（=） 大于（） 小于（V） 是 都是 解 工+ VO ,这是假命题, 否定词语 不等于（工） 不大于（） 不小于（） 不是 不都是 正面词语 至多有 一个 至少有 一个 任意的 所有的 一定 否定词语 至少有 两个 一个也 没有 某个 某些 一定不 另外：或q的否定为：非且非q且q的否定为：非P 或非q 2.

11、 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称 命题. - 知能迁移 一 - 1. 分别指出由下列命题构成的JV (、“pA “”形式的命题 的真假. (1) /：4G 2,3,q：2E 2,3 ； (2) /： 1是奇数，q：l是质数； (3) p ： 0 G 0 9 q： 工I / 3 x 5 VO U R ； (4) /：5W5,q：27 不是质数； (5) /：不等式 3? +2T. 8V0 的解集是 4V:tV2, q：不等式/ + 2 x 8 V0的M集是rd nV 4或2 解 (1 ) I 0是假命题，q是真命题， /. pv q为真、p ! q为假，P为真. (2) VI是奇

12、数，是真命题9 又T不是质数，q是假命题， 因此卫V q为真,p ! q为假，-1少为假. (3) OG0,p为假命题， 知空一3工一50=工|上护*：吐浮匚1 C5为真命题，q：27不是质数为真命题， / p V(I为真命題，p /(J为真命題9“为假命題. (5) / r -2 X 8 V0 9 (x+4 )(2) VO9 即 1 Vx为真，q为假. / V q为真 p A rj为假9 p为假. 2. 已知a0,设命题 触函数$=/在R上单调递减，中不等式 rt+|x-2u|l的解集为R若卫和q中有且只有一个命题 为真命题，求u的取值范围. 解 由函数y/在R上单调递减知OVaVl,所以命

13、题p 为真命题的的取值范围是O 1的解集 2 a ( 2 a). 为R,只要min 1即可，而函数，在R上的最小值为2s,所 以 2al ,即 即 q 真Uu - 所以命题力和q有且只有一个命题正确的a的取值范围是 或 1. 3写出下列命题的否定并判断真假. 又 T 工 3 工 5 V 0 / rr 0 ； (3) r：存在一个三角形，它的内角和大于180 ； (4) z：某些梯形的对角线互相平分. 解 (1)卫：存在一个末位数字是0的整数不能被整除, 假命题. (2) q： 3 xO , JT 0 9 真命题 (3) -门所有三角形的内角和都小于等于18() ,真命题. (1)-九每一个梯形

14、的对角线都不互相平分，真命题. 活页作业一 一、选择题 1今有命题、q，若命题加为且q ”，则=卜或q”是加 的 (C ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 “P且g”的否定是“或q”，反之也成立. 2.已知命题”：0UO,q：lGl,2,由它们组成的“p或 q”p且q”和P”形式的复合命题中，真命题的个数为 (C ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析 因为命题是真命题，命题q是假命题，所以命题“ 或q”是真命题，命题“卩且q”和“少”報是假命题. 3. “力Vq为真命题”是up/ q为真命题的 (B ) A.充分不必要条件

15、B必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若e V q为真命题9则“9 q至少有一个为真， 但p / q不一定为真9 若p / q为真命题，则q 都为真命题, I “ V q 定为真， /. P V q为真”是“力八q为真的必要不充分条件. 4. （2009安徽怀远三中月考） 命题“对任意的a-6R,x3- + 1M0”的否定是 （C ） A. 不存在 xE R, T3 jr +1 0 B. 存在hW R, h 分十1W0 （：.存在 nW R, :r?十 I 0 D.对任意的 nW R , h x2 + 1 0 5 .若命题 /： HC A n R,则是 （B） A

16、.工W A且工 13 B.工& A或工$ 13 C. ng A 且 it g U D. xC AU U 解析 “HC An HUW A且IT, pt HG A 或 rr G R 6若是两个简单命题，且“V /的否定是真命题，则必有 A.力真真 （：.力真q假 （B ） B.步假q假 D.力假q真 解析“/于的否定是真命题, /? V q是假命题，；左9 q都假. 二、填空题 7. （2008扬州模拟）命题“mHCRrWl 或,4”的否定是 V 工1“1 且 *4 . 解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题. 8. 令ru) : ax： +2工+ 1 0 9若对V R皿(工)是真命

17、题9则实 数4的取值范围是01 解析.对V x6R, p0恒成立， 当a= 0时9不等式为2工+丨二0不恒成立9 当工0时， 若不等式恒成立， 三、解答题 9 指出下列命题的真假： (1) 命题“不等式(文+2)20没有实数解”； (2) 命题“1是偶数或奇数”； (3) 命题“伦属于集合Q,也属于集合R”； (4) 命题“AAU 解 (1)此命题为护的形式，其中 伙“不等式(工+2)W0 有实数解，因为工=一2是该不等式的一个解，所以/)是真 命题，即Q 是假命题，所以原命题是假命题. (2)此命题是V q的形式，其中 加“1是偶数”，q：“l是奇 数”，因为P为假命题，q为真命题， 所以pV q是真命题，故原命题是真命题. (3)此命题是“p/ q”的形式，其中伏“任属于集合Q ,q： “血 属于集合R,因为/为假命题，q为真命题，所以p!q是假 命题，故原命题是假命题. (1)此命题是“的