角动量守恒定律

1、第四章 角动量守恒定律3434-1质量为1.0 kg的质点沿着由r =2t i t -3t j决定的曲线运动，其中t是时间，单位为s，r的单位为m求此质点在t = 1.0 s时所受的相对坐标原点O的力矩。解：叮=2t3' t4 -3t3 j呻dr2彳j 32呻.v6t i 4t -9t jdtl=£mv |2t3, t4 3t3 j m 6t2?4t39t2 "J=m 2t3 4t4 9t2 k-6t3 t4 -3t3 k66 斗 6 呻=m 8t -6t k =2t mkM-dl 12t5mk=12t5 dt当t =1.0S寸：M 1 =12.0曲m = 0.1k

2、g方向沿z轴方向或:M=12.0kNh424-2质量为1.0 kg的质点在力F = 2t-3丨 3t -2 j的作用下运动，其中t是时间，单位为s, F的单位是N,质点在t = 0时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在t = 2.0 s时所受的相对坐标原点O的力矩。解:由牛顿第二定律:dvF = mdtv11dv F dt0m 01 . _ 2t -3 i3-2 j dtm 0解得：mv Pt2 -3t : 3t2 -2t j12丿而：drdt2t-33t-2 j dt0 _1t3IL,33t- 2r 1t3-故得:J 心 1t3 m3-|t2ft3t2 j 2t3； 3t240 仁-13.

3、3k N m4-3如果忽略空气的影响，火箭从地面发射后在空间作抛物线运动。设火箭的质量为m以与水平面成:-(1)火箭在离开发射点的瞬间相对于地心的角动量;RR角的方向发射，发射速度为 vi。到达最高点的速度为 V2，最高点距离地面为 h。假设地球是半径为 R的 球体，试求：(2)火箭在到达最高点时相对于地心的角动量。4 44解: 1 I 二 r mv设：火箭在o-xy平面上运动二 I发=Rmv1 sin (a +90)k pRmwcosa )k2 l 高二 h R myk4-4求题4-1中的质点在t = 1.0 s时相对于坐标原点 O的角动量。解:l 二-壬孑盘# 广 2. 10(kg m.2

4、s? =r mv = acos ti bsin tj m -acos ti b cos tj)4-5求题4-2中的质点在t = 2.0 s时相对于坐标原点 O的角动量。d：T t Tt 55 T解:M l M dt -t3kdtt4kdt00 3m12m202 J故：I |t=2.o=-k =-6.67k(kg.m .s )4-6质量为m的小球用长度为I的细绳悬挂于天花板之下。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动，圆心为O点，小球的角速度为-，细绳与竖直方向的夹角为，试求:(1)小球相对于O点的角动量;(2)角速度 与夹角之间的关系解:1 R=lsi nL角动量 =R mv2 2L = R

5、mR = mR m l sin2 2由右手定则L的方向竖直向上。即：L = mlsin : k(2)小球作匀速圆周运动2F向二 mg tan 二 mRg tan- l 2R -2I sin即得：cos 為或由角动量守恒定律:Cml2sin2 '4-7 一个质量为 m的质点在O-xy平面上运动，其位置矢量随时间的关系为r 二 acos t i bsin，t jO的角动量是守恒的。中a、b和 都是常量。从质点运动和角动量定理两个方面证明此质点对坐标原点证：(1)从质点运动方面:7 r a cos t i bsinjdrva s in t i b c o s jdt=mab k =常矢量(2

6、 )由角动量定理:二dLa2cosbsindt由牛顿第二定律：F=m-m.2r故，质点改变的力矩为：M =r F =r-m 2cos tk absin tkr 1=0证毕dlM =0 即得：I =常矢量 dt4-8不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮， 两端分别吊有重物和小猴， 并且由于两者质量相等, 所以开始时重物和小猴都静止地吊在绳端。试求当小猴以相对于绳子的速度v沿绳子向上爬行时，重物相 对于地面的速度。解：根据题意，小猴向上爬行过程中系统的角动量守恒:r猴m猴v猴 - r物 m物v物二0而：-r猴二r物m猴=m物（如图示）'二7猴=-V物（相对地面的速度）v猴 “八即得：

7、赚"2又：猴对绳子的速度为：V4-9不可伸长的轻绳跨过一个质量可以忽略的定滑轮，轻绳的一端吊着托盘（如图），托盘上竖直放着一个用细线缠缚而压缩的小弹簧，轻绳的另一端系一重物与托盘和小弹簧相平衡，因而整个系统是静止的。设 托盘和小弹簧的质量分别为 M和m，被细线缠缚的小弹簧在细线断开时在桌面上竖直上升的最大高度为h。现处于托盘上的小弹簧由于缠缚的细线突然被烧断，能够上升的最大高度是多大？解：小弹簧在桌面上可上升的最大高度为h1 2贝U：由机械能守恒定律：mghmv2丨川|1 1处于托盘的小弹簧 由于细线突然被烧断设：弹簧上升速度为 v,托盘和重物的速度为 v'，由角动量守恒:-

8、rmv rMv r M m v= 0rmv +r （2M +m ）v=0f2M +m '得：vv或：mvvm2M +m1由能量守恒：mMv'2 】Mv'21 2 . mv 二 mgh2221 m 2M v21 mv22 2=mgh1 m 2M i2 2M m22 1 2v mv2mgh即得：2M m Imvmgh2M +m 21 2由此得：mv22M mmgh2 M m1由机械能守恒：mv2比较（2） （3）得：H2M mh2 M m4-10我国的第一颗人造地球卫星于1970年4月24日发射升空，其近地点离地面439 km，远地点离地面2384 km。如果将地球看为半径为6378 km的均匀球体，试求卫星在近地点和远地点的运动速率。解:卫星运动过程中万有引力作用（有心力），由角动量守恒:在近地点和远地点 v与r垂直439 6378106817 8762v近二 2384 6378103v远6817v 近 =8762v 远近远即：v远Mm 12由机械能守恒定律：-G-mv近-GMm 1