绕任意轴旋转的矩阵推导总结

1、绕任意轴旋转的矩阵推导总结、八 、-前言常用的几何变换中旋转是较为复杂的一种，最近看 Physically Based Rendering, Second Edition: FromTheory To Implementation 一书涉及绕任意轴旋转的实现， 也给出了大体思路，但具体的推导过程及最后的旋转矩阵并 未直接地给出，故根据参考 Animated CGEM: RotationAbout an Arbitrary Axis 总结（欢迎指正） 。（一）基础1.点乘与叉乘点乘（dot）亦称作内积或数量积，如图，a b = |a|b|cos $图 1 ：两向量的内积坐标形式： a = （ax

2、, ay, az） ， b = （bx, by, bz）a b = axbx + ayby + azbz叉乘（cross ）亦称作外积，如图，叉乘满足|a x b| = |a|b|sin$图 2 ：表示两向量的叉积图 3 ：左手系示意 由此，叉乘所得向量模为以两叉乘向量为邻边构成的平行四 边形的面积大小，叉乘所得的向量与两向量垂直，方向在左 手坐标系下依左手定则， pbrt 用的是左手系， 故手掌与 a、b向量构成的平面垂直，除拇指外四指由 b 转向 a ，此时拇指 的方向即叉乘向量的方向(左手系三个坐标轴亦按上述方法 确定)叉乘的坐标形式： a=(a1,b1,c1) ， b=(a2,b2,c

3、2)a x b = (b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)2.矩阵 对于线性变换 ( Linear Transformation )，矩阵的三列就是在 该变换下的三个坐标轴的反映，如果 T 是线性变换， M 是对 应的矩阵，那么矩阵 M( 4x4 )中第一列即把 T 应用到( 1,0,0, ) 的结果。在齐次空间( Homogeneous Space )下， M 描述一个线性 变换，将 M 作用到坐标系中的 x 轴向量( 1,0,0 )，恰好得到 M 的第一列，依次类推第二列即作用到 y 轴的结果，最后一 列表示的是位置相关的信息。即 Mx = M 1 0 0 0T =

4、 m00 m10 m20 m30T(二)绕任意轴旋转的推导直观形象：图 4 ：绕任意轴旋转的直观形象v 为被旋转向量， a 为给定的任意的旋转轴容易想象 v 绕 a 旋转一周形成一个圆锥，更明确地说，将 沿旋转轴和垂直旋转轴方向分解为两个分向量，平行旋转轴v的分向量并不旋转，是垂直分向量在平面内旋转 图 5 沿正面看 从 a 的方向往下看推导：图 6 ：各向量间的关系下列推导在 a 为单位向量的情况下进行，否则得到的是错误 的结果如上图，a是旋转轴，v是被旋转向量，v绕a旋转B度，旋 转平面与 a 垂直， vc 为 v 沿着 a 方向分解的分量， v1 为 v 沿着 a 的垂直方向分解的分量以

5、a的起点为原点；以a为竖轴；v1为横轴（纵轴）；与v1、 a 垂直的向量 v2 为纵轴 （横轴） 建立坐标系， 可以写旋转后 得到的结果v '的向量表达式：v' = vc + v1 ' 图 7 ：从正面看俯视易知：vc = a|v|cos a = (v a)av1 = v - vcv2 = v1 x a (注意 a 是单位向量，所以 |v2| = |v1| )v' = vc + v1 'v1' = |v ' |cos 1/|v1| v1 + |v ' |sin 1/|v2| v2但由于 |v1| = |v2|= |v'| ，故消去后得到： v' = vc + v1cosv2sin 0再整理成矩阵形式，我们将这个矩阵应用到坐标系中，那么 就实现了原来点或向量的旋转，最后完成旋转再将坐标系恢 复为原坐标系。令 a= ( ax, ay, az )， v = (1,0,0 )vc = (ax2 ， axay, axaz)v1 = v - vc = (1-ax2, -axay, -axaz)v2 = v1 x a = (0, az, -ay)代入 v' = vc + vIcos 0 + v2si得: 0令 a=(ax,