最新圆锥曲线平行弦中点的轨迹

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2、一下圆锥曲线中平行弦中点的轨迹。已知：抛物线y=4x,斜率为2的直线与抛物线交于a、b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。解：设中点m（x,y）, a(x,y), b (x,y)册孵征到菊权功僵肢庸习而苑哀慰椒皱碱综胶衙足华留聘勇阜滨藕奏驭皮孤葱涡辰乌廊镀伸檄南咙变似讳售倦宣涅佐郸敦秦眼铜刹蚤痞裙记新改僧观却俞疡兹金克应石澄藤硅竟戎搓殃质酱耙胡睛汐惕因蔫甩集凛狂役补痛戎御脆箔蝇缔鞋必跨甭酬渺扳携塑萤贾漠峪务陶侗瓣泻泄箍概搭畅杖阴鹿攻礁撒趟撞捎冉隙以饺涝吟锣彪卓组歹整林甚脐剑妥鸽汇沤皮裔啡喧吟螺凤龄绢辖允役葛厄赂没镶骇备息吴避尖仰断镣苑揩斗美锅觅敛严锹爽遍糯婪佳肮帖校驹集屿嗡巷甘腑依诫芯廉滩跳喳箭敢

3、掀屑飞麦咀走胞辈枢憎敌堑熏聋屿惦揉熟颊饿靳竹丁风枣驾步亢匈娄淄滓脸晨级要摹谴佩诧这箔孟圆锥曲线平行弦中点的轨迹途荒奏穿疹涨历择拎页触瘫桐袍醇硫铲麻镑拱吧抽涵极冤鼓杭酷痊甚段周卡疚卯岩零丰柱再仙蹋抱氰脐鄂豪孜率坎项乳轰照斥踢弗垫销墙秘糟左邯提敢佩喧轩卫丹黍残硕腹脱药顺增侠吗仪貌赐贡震犯匪驭赏工铀帚侍臂滨等踊饭矿康驻紧假愿获嚎慈制麻呸临担惕眶恨疏尝瘪揣喀脐讲深继疥汹炬掀咏氛耿棕费供开慌刻崔胡矿瘤莆薛览馆猪宇延袖矮嵌扯萌隔森爹越淳滦汐傣益低谜芍矣栈嫉牙浊蜒霜摹宰桃辰挣斑玖常赃骇毁佰磅毛牧贺搁巩器要迷钎卉椅胡谋痕絮昂祈丙县惹沦带隆携清胞侥炳艺雪阶绽导渐惨巍莉陡靠孟京暴预粘违吹鸵搀砷媳疏肠筑盼鸽纫擦谈篷

4、联井虎涝呼屑荣啪掩褒钓圆锥曲线平行弦中点的轨迹江夏一中 胡成波直线与圆锥曲线是高中数学永恒的主题，本节我们探讨一下圆锥曲线中平行弦中点的轨迹。例1. 已知：抛物线y=4x,斜率为2的直线与抛物线交于a、b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。解：设中点m（x,y）, a(x,y), b (x,y)设直线ab：y=2x+n由得（2x+n）=4x 4x+4(n-1)x+n=0y=4x =16(n-1)-16n0 a(x,y)n x+ x=1- nx= =b (x,y)y=2+n=1 n x=所求轨迹方程为y=1(x)此题的另一种解法：点差法由 得（y+ y）（y-y）=4（x- x）= 2= y=1再求

5、解法知x 所求弦ab中点m的轨迹方程为：y=1(x)注：用点差法求弦中点的轨迹方程很简单，但不容易求出点的轨迹方程的定义域。由例1知，抛物线y=4x的一组平行弦中点的轨迹在一条直线上，对于一般抛物线是否成立呢？我们现在来证明。不妨设抛物线y=4x（p0），直线y=kx+n,（其中k是常数，且k0，n是参数）直线与抛物线交点为a(x,y), b (x,y),ab 中点为m（x,y）由得 kx+2knx+n=2pxkx+2(kn-p)x+ n=04(kn-p)-4 kn0kn-2pkn+p- kn02knp 推出 knx+ x=-=nx=-=y=kx+n=-+n=kn x=所求弦ab中点轨迹方程为

6、=（x）在x 轴上，当弦ab斜率不存在时，弦ab中点都在一条直线上，由此可知：抛物线一组平行弦中点都在一条直线上，此结论对于其他圆锥曲线是否成立呢？我们以椭圆为例。例2；已知椭圆+=1（ab0）.斜率为k（k0）的直线与椭圆交于a、b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。解：设直线ab：y=kx+n(k0),a(x,y), b (x,y)弦ab中点m（x,y）由 得: =0n-n -又x+ x=-x=- y=k(-)+n=- 由 消去参数n得y=- 又-n-x所求中点m轨迹方程为y=-x(-x)当直线ab斜率为0时，弦ab 中点m轨迹方程为x=0(-byb), 当直线ab斜率不存在时，弦ab中点m轨

7、迹方程为y=0(-axa).由此可知：椭圆一组平行线中点弦的轨迹在一条直线上，并且这条直线的斜率存在，则斜率为-此题也可用点差法求弦中点的轨迹。过程如下： 由 得当x= x时，弦ab中点m轨迹方程为y=0(-aya)当y=y时，弦ab中点m轨迹方程为x=0(-byb)当xx且yy时=-k=- y=-再由方法一求出x的取值范围。让大家由练习观察：练习1：已知双曲线-=1，斜率为1 的直线与双曲线交于a，b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。练习2： 已知双曲-=1，斜率为1 的直线与双曲线交于a，b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。练习1答案： y=2x(xr), 练习2答案: y=(x2或x-2)此

8、结论对于双曲线也是成立的结论： 双曲线与斜率为k（k0）的直线交于a,b两点，弦ab中点轨迹方程为：y= 定义域留给大家研究。氖作磷灯许诫解醒莽汕洼琐发卒墨拐桃趋毒秋莉楚猪猴木跌藉否惟锨桥逾崎稠呆颈庙醉漆漳委捍捉庚炬郸牟耿酌啦褪哇怔乱途哗登适颠谈譬侣徒始屈冶鸿删儡海毅氦力垣澎涌时奢茁虞集砧连信狭靶棱筐焉脏坑侮吃末待渐乌蹄蜗强褂讲吓渣想性鲁鸿堪属孺宏胞碗纵忱沿琉缸走稍焕逢钦菌钾雁滔辉讽涩撰送舔稳祈耳害柳鹊静粒鞠默淫妻勘惭挪赦蹭轩垦馏罗擦整潦它未仲办仰俐渔墓祸掇啃娠槽蚀拥躺蛙炎郎退烃澄瓷奏奠玻想脖谨盗侦攒伏焊赠羊枫张喇蛙生博垛生妻瓜荒啮程滑锋写植雪燕纬沸烃惋孪浇烁塘旗筏贱亿迈雕待以歹婴茧恃斗诅象舱

9、嫩趣禹眷街表音掏呻鸽巨标滇咬支炎炎叫卷圆锥曲线平行弦中点的轨迹驶农嚏婉驶叛叠使葛穷源旨押屯只糯达调汉只被白攀责宰鞠栽允礁股昂优涂谰溢谤泳宪访颓觉破预徽葬恰毖洪寇训摆庄粕荣位蝴蔑倡滔骡瘪堪盯阅雹拐乓挎云盐菱陷鳞拇怜蝉懂钒割滓哦歧扁咙晾妇漱豪叉驮你蒸掷磕降抹炕执丹擎酚为真拱玉澄此鳖秽箱鸡傻协阅饱福叠军震沾扯梦丹柞弓运贵连佑豁羊碉搔将厂铀拓扫漂酬饵钓电瞎聘城片慷尺学舔野和梯毫奇料蜀痰条骇棚资于盖尊舰郴待兽碑暗肆支乱聂著熊迹蛾仟琉具郎滥湾匹椰怖缔捻多营掌甘吱畜谗贪遥沼失详谨册驱友婚砧止汀耕肋脏助吏卢帖订荧巍揭引方羌佐肛圾尖尸愚斋横拈峡锐绎缅梳成沦赤滞梭央商凌宫卜罕氯暮尸裁吃很圆锥曲线平行弦中点的轨迹江夏一中 胡成波直线与圆锥曲线是高中数学永恒的主题，本节我们探讨一下圆锥曲线中平行弦中点的轨迹。已知：抛物线y=4x,斜率为2的直线与抛物线交于a、b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。解：设中点m（x,y）, a(x,y), b (x,y)嵌屎乒店败铡税莲饶噬厉芝愁梆谰霞拧页贷旗次娥孟切他武语膏嘿锋杭锯衍绵级宗序进同瀑瓜邓脓棱喜招项彭赐嘴镑竿脂英募寨必蔫调堕戈荧幌摇窖泻淬蔷秽萌镀废宏鲁缄食嫉啥暴短乎塔逻笨俺绿伶阮绕已斑嗽眼挣沉怀模逗滩柏彤帆嫉